Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quy tắc đếm, hoán vị/chỉnh hợp/tổ hợp (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 5 người từ 10 người (không ràng buộc thêm về nam/nữ), số cách là tổ hợp: $C_{10}^5=\frac{10!}{5!5!}=252$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 3 viên bi từ 13 viên bi sao cho có ít nhất một viên bi xanh. Dùng phương pháp bù trừ: tổng số cách chọn 3 viên bi từ 13 viên bi là $C_{13}^3=\frac{13\cdot 12\cdot 11}{6}=286$. Số cách chọn 3 viên bi trong đó không có viên bi xanh (tức chọn cả 3 từ 7 viên bi đỏ) là $C_7^3=35$. Vậy số cách chọn có ít nhất một viên bi xanh là $286-35=251$ (cách). Kiểm tra lại bằng cách tính trực tiếp: 1 xanh 2 đỏ: $C_6^1{C}_7^2=6\cdot 21=126$; 2 xanh 1 đỏ: $C_6^2{C}_7^1=15\cdot 7=105$; 3 xanh: $C_6^3=20$. Tổng $126+105+20=251$, khớp kết quả.

(AI giải đề cho tôi)
Lấy 2 bi đủ cả 2 màu nghĩa là chọn 1 bi đỏ và 1 bi xanh. Có $C_5^1\cdot C_4^1=5\cdot 4=20$ cách. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì có thứ tự đá (quả 1 đến quả 5) nên đây là chỉnh hợp: chọn và sắp xếp 5 cầu thủ từ 11, số cách là $A_{11}^5$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Có tất cả $8+9=17$ bạn phân biệt, xếp thành một hàng dọc là một hoán vị của 17 phần tử. Số cách xếp là $17!=355687428096000$ cách.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 13 (2,0 điểm)

a) Xếp 10 người (5 nam, 4 nữ, 1 giáo viên) vào 10 ghế, mỗi ghế đúng một người là một hoán vị của 10 phần tử:
$$10!=3628800\text{ caˊch}.$$

b) Giáo viên phải ngồi giữa 2 học sinh nữ, tức tồn tại khối 3 ghế liên tiếp với giáo viên ở ghế giữa và hai ghế hai bên là 2 học sinh nữ.
- Chọn vị trí ghế của giáo viên: để có ghế hai bên thì giáo viên phải ngồi ở ghế từ số 2 đến số 9, nên có 8 vị trí.
- Chọn và xếp 2 trong 4 học sinh nữ vào 2 ghế hai bên giáo viên: $A_4^2=\frac{4!}{2!}=12$ cách.
- Xếp 7 người còn lại (5 nam và 2 nữ còn lại) vào 7 ghế còn lại: $7!=5040$ cách.

Vậy số cách xếp thỏa mãn:
$$8\times 12\times 5040=483840\text{ caˊch}.$$

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 3 người từ 30 học sinh cho 3 chức vụ khác nhau (lớp trưởng, lớp phó học tập, lớp phó lao động) là một chỉnh hợp: $A_{30}^3=30\cdot 29\cdot 28=24360$ cách chọn.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 4 nam từ 6 nam: $C_6^4=15$ cách. Chọn 3 nữ từ 4 nữ: $C_4^3=4$ cách. Theo quy tắc nhân, số cách chọn là $C_6^4\cdot C_4^3=15\cdot 4=60$ cách. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp 6 học sinh (đối tượng khác nhau) vào 6 ghế trong 10 ghế (vị trí khác nhau, có thứ tự) là một chỉnh hợp chập 6 của 10, nên số cách là $A_{10}^6$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Số có ba chữ số đôi một khác nhau lập từ 6 chữ số 1,2,3,4,5,6 là hoán vị chập 3 của 6 phần tử: $A_6^3=6imes5imes4=120$. Vậy lập được 120 số.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 3 bông hồng có đủ hai màu nghĩa là chọn 2 bông một màu và 1 bông màu kia. Trường hợp 1: 2 bông đỏ và 1 bông vàng: $C_7^2\cdot C_8^1=21\cdot 8=168$. Trường hợp 2: 1 bông đỏ và 2 bông vàng: $C_7^1\cdot C_8^2=7\cdot 28=196$. Tổng số cách: $168+196=364$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 4 nam từ 6 nam: $C_6^4=15$ cách. Chọn 3 nữ từ 4 nữ: $C_4^3=4$ cách. Theo quy tắc nhân, số cách chọn là $C_6^4\cdot C_4^3=15\cdot 4=60$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp 6 học sinh (đối tượng khác nhau) vào 6 ghế chọn từ 10 ghế trên hàng ngang là chọn 6 ghế từ 10 và sắp xếp thứ tự, tức là chỉnh hợp chập 6 của 10: $A_{10}^6$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Ba chức vụ khác nhau nên chọn theo thứ tự từ 20 thành viên: $A_{20}^3=20\cdot 19\cdot 18=6840$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 3 bông có đủ hai màu nghĩa là chọn 2 trắng 1 đỏ hoặc 1 trắng 2 đỏ. Số cách: $C_5^2{C}_6^1+C_5^1{C}_6^2=10\cdot 6+5\cdot 15=60+75=135$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Nhóm có 13 học sinh (5 nam + 8 nữ). Chọn 5 học sinh bất kỳ từ 13 người: số cách là tổ hợp $C_{13}^5=\frac{13!}{5!8!}=\frac{13\cdot 12\cdot 11\cdot 10\cdot 9}{120}=1287$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 1 bạn nam làm tổ trưởng: 5 cách. Chọn 1 bạn nữ làm tổ phó: 5 cách. Chọn 1 thư ký từ 8 học sinh còn lại: 8 cách. Tổng: $5\times 5\times 8=200$ cách. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Số có ba chữ số đôi một khác nhau lập từ các chữ số 1,2,3,4,5,6: chọn và sắp xếp 3 chữ số từ 6 chữ số, tức hoán vị chập 3 của 6: $A_6^3=6\cdot 5\cdot 4=120$. Vậy lập được 120 số.

(AI giải đề cho tôi)
Số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau lập từ các chữ số 2, 4, 6, 8 là các hoán vị của 4 chữ số này: $4!=24$. Vậy có 24 số.

(AI giải đề cho tôi)
Xem Thảo và Linh đứng cạnh nhau như một khối. Có $2!$ cách đổi chỗ trong khối, và $4!$ cách xếp khối cùng 3 bạn còn lại thành hàng ngang. Vậy số cách là $2!\cdot 4!=2\cdot 24=48$.