Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quy tắc đếm, hoán vị/chỉnh hợp/tổ hợp (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Số có ba chữ số đôi một khác nhau lập từ 5 chữ số 1,2,3,4,5 là hoán vị chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử: $A_5^3=5\cdot 4\cdot 3=60$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 2: Hộp có 7 quả trắng, 5 quả đỏ (tổng 12 quả, đôi một khác nhau).

a) Chọn 4 quả bất kỳ từ 12 quả:
$$C_{12}^4=\frac{12\cdot 11\cdot 10\cdot 9}{4!}=495.$$

b) Chọn đúng 1 quả trắng và 3 quả đỏ:
$$C_7^1\cdot C_5^3=7\cdot 10=70.$$

c) Nhiều nhất 2 quả đỏ, tức số quả đỏ là 0, 1 hoặc 2 (suy ra số trắng tương ứng 4, 3, 2):
$$C_7^4+C_7^3{C}_5^1+C_7^2{C}_5^2=35+35\cdot 5+21\cdot 10=35+175+210=420.$$

d) Có đủ cả 2 màu nghĩa là có ít nhất 1 quả trắng và ít nhất 1 quả đỏ; lấy tổng trừ đi các trường hợp chỉ có 1 màu:
$$C_{12}^4-C_7^4-C_5^4=495-35-5=455.$$

(AI giải đề cho tôi)
Hộp có 6 bi xanh, 5 bi đỏ, 4 bi vàng (tổng 15 bi). a) Chọn 1 viên bi từ 15 bi: có $C_{15}^1=15$ cách → Đúng. b) Chọn 2 bi xanh từ 6 và 1 bi đỏ từ 5: $C_6^2\cdot C_5^1=15\cdot 5=75$ cách → Đúng. c) Chọn đúng 2 bi đỏ từ 5 và 2 bi còn lại từ 10 bi không đỏ: $C_5^2\cdot C_{10}^2=10\cdot 45=450$ cách → Đúng. d) Chọn 1 bi xanh và 1 bi vàng: $6\cdot 4=24$ cách, không phải 10 cách → Sai. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 102 (DDDS).
a) (AI giải đề cho tôi)
Tổng số bi là $6+5+4=15$, chọn 1 viên bi có $C_{15}^1=15$ cách.
b) (AI giải đề cho tôi)
Chọn 2 bi xanh từ 6 và 1 bi đỏ từ 5: $C_6^2\cdot C_5^1=15\cdot 5=75$ cách.
c) (AI giải đề cho tôi)
Chọn 2 bi đỏ từ 5 và 2 bi từ 10 bi không đỏ: $C_5^2\cdot C_{10}^2=10\cdot 45=450$ cách.
d) (AI giải đề cho tôi)
Chọn 1 bi xanh và 1 bi vàng: $6\cdot 4=24$ cách, không phải 10 cách.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 3 quyển sách từ 15 quyển khác nhau, không kể thứ tự, nên số cách chọn là tổ hợp: $C_{15}^3=\frac{15!}{3!\cdot 12!}=\frac{15\cdot 14\cdot 13}{6}=\frac{2730}{6}=455$. Vậy đáp án là D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 2: D).

Lời giải

[Hình cần kiểm tra lại: p11_f1]

Chọn 1 bánh ngọt có: 5 cách.

Chọn 1 loại đồ uống có: 4 cách.

Vậy số cách chọn một combo gồm một bánh ngọt và một loại đồ uống là: $5\cdot 4=20$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn một học sinh nam hoặc một học sinh nữ: số cách chọn là $280+325=605$ (quy tắc cộng). Đáp án khớp với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 3: C).

(AI giải đề cho tôi)
Hộp có 6 bi xanh, 5 bi đỏ, 4 bi vàng, tổng 15 bi. a) Chọn 1 bi trong 15 bi: có $C_{15}^1=15$ cách → Đúng. b) Chọn 2 bi xanh và 1 bi đỏ: $C_6^2\cdot C_5^1=15\cdot 5=75$ cách → Đúng. c) Chọn 4 bi trong đó đúng 2 bi đỏ: chọn 2 đỏ từ 5 và 2 bi còn lại từ 10 bi không đỏ (6 xanh + 4 vàng): $C_5^2\cdot C_{10}^2=10\cdot 45=450$ cách → Đúng. d) Chọn 1 bi xanh và 1 bi vàng: $6\cdot 4=24$ cách, không phải 10 cách → Sai. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 101 (DDDS).
a) (AI giải đề cho tôi)
Tổng số bi là $6+5+4=15$, nên chọn 1 bi có $C_{15}^1=15$ cách.
b) (AI giải đề cho tôi)
Số cách chọn 2 bi xanh từ 6 và 1 bi đỏ từ 5: $C_6^2\cdot C_5^1=15\cdot 5=75$ cách.
c) (AI giải đề cho tôi)
Chọn đúng 2 bi đỏ từ 5 và 2 bi còn lại từ 10 bi không đỏ: $C_5^2\cdot C_{10}^2=10\cdot 45=450$ cách.
d) (AI giải đề cho tôi)
Chọn 1 bi xanh và 1 bi vàng: $6\cdot 4=24$ cách, không phải 10 cách.

(AI giải đề cho tôi)
Số cách chọn 3 quyển sách từ 15 quyển sách khác nhau (không kể thứ tự) là tổ hợp: $C_{15}^3=\frac{15!}{3!12!}=\frac{15\cdot 14\cdot 13}{6}=455$. Vậy đáp án B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 2: B).

Lời giải

[Hình cần kiểm tra lại: p11_f1]

Chọn 1 bánh ngọt có: 5 cách.

Chọn 1 loại đồ uống có: 4 cách.

Vậy số cách chọn một combo gồm một bánh ngọt và một loại đồ uống là: $5\cdot 4=20$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn một học sinh nam hoặc một học sinh nữ: theo quy tắc cộng, số cách chọn là $280+325=605$. Vậy đáp án D, khớp với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 8: D).

(AI giải đề cho tôi)
Số cách xếp 5 người vào 5 ghế là hoán vị của 5 phần tử: $5!=120$. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa chỉnh hợp: $A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}$. Do đó đáp án B. (A là công thức tổ hợp $C_n^k$; C, D sai.)

(AI giải đề cho tôi)
Coi 3 bạn nữ như một khối. Xếp 4 nam và khối nữ: $5!=120$ cách. Xếp 3 nữ trong khối: $3!=6$ cách. Tổng: $120\times 6=720$ cách.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 4 bi từ 4 xanh, 5 đỏ, 7 trắng sao cho đủ 3 màu, tức phân loại $(2;1;1)$:
- 2 xanh, 1 đỏ, 1 trắng: $C_4^2\cdot C_5^1\cdot C_7^1=6\cdot 5\cdot 7=210$.
- 1 xanh, 2 đỏ, 1 trắng: $C_4^1\cdot C_5^2\cdot C_7^1=4\cdot 10\cdot 7=280$.
- 1 xanh, 1 đỏ, 2 trắng: $C_4^1\cdot C_5^1\cdot C_7^2=4\cdot 5\cdot 21=420$.
Tổng: $210+280+420=910$ cách.

(AI giải đề cho tôi)
Số cần lập có 4 chữ số khác nhau, lấy từ tập $A=\{0;1;2;3;4;5\}$, và phải là số chẵn nên chữ số hàng đơn vị phải là $0$, $2$ hoặc $4$.

**Trường hợp 1: chữ số tận cùng là $0$.**
Chọn 3 chữ số khác nhau (khác 0) từ 5 chữ số còn lại để xếp vào 3 vị trí đầu: $A_5^3=5\cdot 4\cdot 3=60$ số.

**Trường hợp 2: chữ số tận cùng là $2$ hoặc $4$ (2 cách chọn).**
- Chữ số hàng nghìn không được là $0$ và không trùng chữ số tận cùng: còn $4$ cách chọn.
- Hai vị trí còn lại: chọn từ $4$ chữ số còn lại, có $4\cdot 3=12$ cách.
Số số: $2\cdot 4\cdot 4\cdot 3=96$ số.

Vậy tổng số số tự nhiên chẵn có bốn chữ số khác nhau là $60+96=156$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi số vận động viên nam là $n$. Mỗi cặp đấu 2 ván. Số ván nam chơi với nhau: $2\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)=n(n-1)$. Số ván nam chơi với 2 nữ: $2\cdot n\cdot 2=4n$. Theo đề: $n(n-1)-4n=84\iff n^2-5n-84=0\iff n=12$ (nhận, $n=-7$ loại). Tổng số người là $14$, tổng số ván là $2\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{14}{2}\right)=2\cdot 91=182$. Vậy tất cả các vận động viên đã chơi 182 ván.

(AI giải đề cho tôi)
Theo quy tắc nhân: số cách chọn thực đơn = $5\times 5\times 3=75$ cách. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Công thức tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử là $C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$, tương ứng phương án D. Các phương án A, C sai về dạng; B là công thức chỉnh hợp $A_n^k$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo quy tắc nhân: An chọn 1 trong 4 đường từ nhà An đến nhà Bình, sau đó chọn 1 trong 6 đường từ nhà Bình đến nhà Cường. Số cách chọn đường đi là $4\times 6=24$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $a$ là số học sinh nhận (sách, sổ), $b$ là số nhận (sách, bút), $c$ là số nhận (sổ, bút). Điều kiện số phần thưởng: $a+b=4$ (sách), $a+c=4$ (sổ), $b+c=6$ (bút). Giải hệ được $b=c=3$, $a=1$. Vậy cấu trúc bắt buộc: 1 người nhận (sách, sổ), 3 người nhận (sách, bút), 3 người nhận (sổ, bút). Tổng số cách phát: chọn người nhận (sách, sổ): 7 cách, rồi chọn 3 trong 6 người còn lại nhận (sách, bút): $C(6,3)=20$, tổng 140 cách. Trường hợp An và Bình nhận cùng loại: - Cùng (sách, sổ): không thể vì chỉ có 1 suất. - Cùng (sách, bút): chọn 1 trong 5 người còn lại nhận suất (sách, bút) thứ ba: 5 cách, rồi chọn 3 trong 5 người còn lại nhận (sổ, bút): $C(5,3)=10$, được 50 cách. - Cùng (sổ, bút): tương tự 50 cách. Tổng: $50+50=100$ cách.