Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quy tắc đếm, hoán vị/chỉnh hợp/tổ hợp (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Combo gồm một loại bánh mì và một loại nước. Có 4 loại bánh mì và 5 loại nước. Theo quy tắc nhân, số combo khác nhau là $4\times 5=20$. Đáp án A, khớp với đáp án nguồn (mã đề 210, câu 2: A).

(AI giải đề cho tôi)
Mật khẩu gồm 6 kí tự đôi một khác nhau: 2 kí tự đầu là chữ cái (26 chữ cái in thường), 4 kí tự sau là chữ số (10 chữ số 0–9). Vì các kí tự đôi một khác nhau nên: chọn và sắp xếp 2 chữ cái từ 26 chữ cái: $A_{26}^2=26\cdot 25=650$ cách; chọn và sắp xếp 4 chữ số từ 10 chữ số: $A_{10}^4=10\cdot 9\cdot 8\cdot 7=5040$ cách. Theo quy tắc nhân, số cách tạo mật khẩu là $650\cdot 5040=3276000$. Vậy đáp án C, khớp với đáp án nguồn (mã đề 210, câu 3: C).

(AI giải đề cho tôi)
Lớp 10T có $23$ nam $+12$ nữ $=35$ học sinh. Chọn $1$ học sinh bất kỳ làm lớp trưởng có $35$ cách (quy tắc cộng). Khớp đáp án A theo bảng đáp án mã đề $210$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ 6 chữ số 1; 3; 4; 6; 7; 8 lập số tự nhiên có 4 chữ số, các chữ số được phép lặp lại (đề không yêu cầu đôi một khác nhau). Mỗi vị trí có 6 cách chọn, nên số số lập được là $6^4=1296$. Khớp với đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì đề không yêu cầu các chữ số khác nhau, mỗi vị trí trong số 4 chữ số đều có 7 cách chọn (từ 7 chữ số 1; 2; 3; 4; 6; 7; 8). Theo quy tắc nhân, số số tự nhiên gồm 4 chữ số lập được là $7^4=2401$. Khớp với đáp án nguồn: A.

Đáp án chính thức (theo thứ tự a, b, c, d): Đúng - Sai - Sai - Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Số có ba chữ số khác nhau lập từ các chữ số 0;1;2;3;4;5: chữ số hàng trăm không thể là 0 nên có 5 cách chọn; hàng chục có 5 cách (trừ chữ số đã dùng, gồm cả 0); hàng đơn vị có 4 cách. Tổng: $5\times 5\times 4=100$ số. Kết quả trùng với đáp án nguồn (100).

(AI giải đề cho tôi)
Cụm từ NGUYEN HUE có 9 chữ cái: N, G, U, Y, E, N, H, U, E, trong đó N xuất hiện 2 lần, U xuất hiện 2 lần, E xuất hiện 2 lần, các chữ cái G, Y, H xuất hiện 1 lần. Số cách sắp xếp (các chữ cái giống nhau không phân biệt) là hoán vị của 9 phần tử có lặp: $N=\frac{9!}{2!2!2!}=\frac{362880}{8}=45360$. Suy ra $T=\frac{N}{100}=\frac{45360}{100}=453,6\approx 454$ (làm tròn đến hàng đơn vị). Kết quả khớp với đáp án nguồn 454.

(AI giải đề cho tôi)
Một tam giác không thể có 3 đỉnh cùng nằm trên một đường thẳng, nên mỗi tam giác phải có 2 điểm trên một đường và 1 điểm trên đường kia.
- Trường hợp 1: 2 điểm trên $d_1$ và 1 điểm trên $d_2$: $$\begin{gathered} C_{10}^2 \\ cdot12=45 \\ cdot12=540 \end{gathered}$$.
- Trường hợp 2: 1 điểm trên $d_1$ và 2 điểm trên $d_2$: $$\begin{gathered} 10 \\ cdot{C}_{12}^2=10 \\ cdot66=660 \end{gathered}$$.
Tổng số tam giác: $540+660=1200$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 110, câu 4: 1200).

1) Trường hợp 1: 1 nam, 2 nữ: $C_{14}^1.C_{11}^2$ — 0,25 điểm. Trường hợp 2: 2 nam, 1 nữ: $C_{14}^2.C_{11}^1$ — 0,25 điểm. Vậy có $C_{14}^1.C_{11}^2+C_{14}^2.C_{11}^1=1771$ cách chọn một nhóm tam ca đi biểu diễn, trong đó có cả nam và nữ. — 0,25 điểm.
2) $(3x+2{)}^5=C_5^0(3x{)}^5+C_5^1(3x{)}^4.2+C_5^2(3x{)}^3.2^2+C_5^3(3x{)}^2.2^3+C_5^4(3x).2^4+C_5^5{2}^5=243x^5+810x^4+1080x^3+720x^2+240x+32$ — 0,25/0,25 điểm. Khi đó hệ số của số hạng chứa $x^4$ là 810 — 0,25 điểm.

(AI giải đề cho tôi)
Lớp có $17+23=40$ học sinh. Chọn 1 học sinh làm lớp trưởng có $40$ cách (quy tắc cộng). Khớp đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 3 quyển có ít nhất 2 quyển truyện tranh (7 quyển tranh, 6 quyển trinh thám). Trường hợp 1: đúng 2 tranh và 1 trinh thám: $C_7^2\cdot C_6^1=21\cdot 6=126$. Trường hợp 2: cả 3 đều tranh: $C_7^3=35$. Tổng: $126+35=161$ cách. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 110, câu 4: B).

(AI giải đề cho tôi)
Mật khẩu gồm 5 kí tự đôi một khác nhau: 2 kí tự đầu là chữ cái (26 chữ cái in thường), 3 kí tự sau là chữ số. Vì các kí tự khác nhau nên chọn và sắp xếp có thứ tự (hoán vị): số cách chọn 2 chữ cái khác nhau là $A_{26}^2=26\cdot 25=650$; số cách chọn 3 chữ số khác nhau là $A_{10}^3=10\cdot 9\cdot 8=720$. Theo quy tắc nhân, số cách tạo mật khẩu là $650\cdot 720=468000$. Khớp với đáp án nguồn C.

(AI giải đề cho tôi)
Có 5 loại bánh mì và 6 loại nước. Mỗi combo gồm 1 bánh mì và 1 nước, theo quy tắc nhân số combo là $5\times 6=30$. Đáp án D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 110, câu 7: D).

(AI giải đề cho tôi)
Nhớ công thức tổ hợp: $C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$, nên mệnh đề B đúng. Kiểm tra các mệnh đề khác: A sai vì $C_n^k=\frac{A_n^k}{k!}$ (không phải $(n-k)!$); C sai vì $A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}$; D sai vì $P_n=A_n^n$ (không phải $A_n^k$). Đáp án khớp với bảng đáp án mã đề 110, câu 9: B.

(AI giải đề cho tôi)
Số cách xếp 4 bạn vào 4 ghế theo hàng ngang là số hoán vị của 4 phần tử: $4!=4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=24$. Vậy đáp án D, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1020, câu 10: D).

(AI giải đề cho tôi)
Số cần lập có 4 chữ số đôi một khác nhau, lấy từ $\{1,2,3,4,5,6,7\}$ và không vượt quá 2026. Xét chữ số hàng nghìn: nếu là 2 thì số có dạng $2abc$ với $a\ge 1$, tức $21xx$ trở lên, đều lớn hơn 2026 (vì $2111>2026$); các chữ số 3–7 cũng bị loại. Vậy chữ số hàng nghìn phải là 1. Ba chữ số còn lại chọn từ $\{2,3,4,5,6,7\}$ (6 chữ số) và đôi một khác nhau: số cách $=A(6,3)=6\cdot 5\cdot 4=120$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 1020: 120).

Tổng số quả cầu trong hộp là: $6+5+4=15$.

a) Số cách lấy ra 3 quả cầu từ hộp là: $C_{15}^3=455$ cách. Kết luận: 455 cách. (0,5 điểm)

b) Ta thực hiện theo các bước sau: Chọn 1 quả cầu vàng có 4 cách. Chọn 1 quả cầu đỏ (không cùng số với quả vàng đã chọn) có 4 cách. Chọn 1 quả cầu xanh (không cùng số với quả vàng và đỏ đã chọn) có 4 cách. (0,25 điểm)

Theo quy tắc nhân, ta có: $\mathrm{4.4.4}=64$ cách. Kết luận: 64 cách. (0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Khách chỉ chọn một món. Theo quy tắc cộng: số cách chọn = số loại phở + số loại bún + số loại bánh cuốn = $3+4+2=9$ cách. Đáp án khớp với mã đề 1020: D.

(AI giải đề cho tôi)
Số chẵn nên chữ số tận cùng phải là 0, 2 hoặc 4. TH1: tận cùng là 0, chọn 3 chữ số từ 5 chữ số còn lại xếp vào 3 vị trí đầu: $A_5^3=60$. TH2: tận cùng là 2 hoặc 4 (2 cách), chữ số hàng nghìn khác 0 và khác chữ số tận cùng nên có 4 cách, hai vị trí còn lại chọn từ 4 chữ số còn lại: $A_4^2=12$, suy ra $2\cdot 4\cdot 12=96$. Tổng: $60+96=156$ số. Khớp với đáp án B của đề (mã đề 1020, câu 4: B).