Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quy tắc đếm, hoán vị/chỉnh hợp/tổ hợp (Toán học Lớp 10)

Theo định nghĩa, số chỉnh hợp chập $k$ của $n$ phần tử là $A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}$. Do đó đáp án đúng là A. Lưu ý: bảng đáp án ở trang 5 (mã đề 101) ghi C cho câu 9, mâu thuẫn với công thức chuẩn; đáp án được sửa thành A theo đúng toán học.

(AI giải đề cho tôi)
Số tập con gồm 5 phần tử của tập hợp $M$ có 30 phần tử là số cách chọn không xét thứ tự 5 phần tử từ 30 phần tử, tức là $C_{30}^5$. Đáp án khớp với đáp án nguồn (C).

(AI giải đề cho tôi)
Hộp bút có tất cả $8+6+10=24$ cây bút. Chọn ra một cây bút từ hộp nên có $24$ cách chọn (quy tắc cộng). Vậy đáp án A, khớp với đáp án nguồn (Mã đề 1001, câu 12: A).

(AI giải đề cho tôi)
Tập A có 7 phần tử. a) Chọn 1 chữ số từ A: có 7 cách → Đúng. b) Số có 4 chữ số đôi một khác nhau lập từ A: $A_7^4=840$; không chứa chữ số 5: $A_6^4=360$; nên có mặt chữ số 5: $840-360=480$ → Đúng. c) Chữ số 2 cố định ở hàng đơn vị, chọn 3 chữ số khác từ 6 chữ số còn lại: $A_6^3=120$ → Đúng. d) Số chẵn có 4 chữ số đôi một khác nhau: hàng đơn vị chọn từ {2;4;6} có 3 cách, 3 vị trí còn lại chọn từ 6 chữ số còn lại: $A_6^3=120$; tổng $3\cdot 120=360\ne 630$ → Sai. Kết quả khớp đáp án mã đề 1001: ĐĐĐS.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tập A có 7 phần tử nên có 7 cách chọn một chữ số.
b) (AI giải đề cho tôi)
$A_7^4-A_6^4=840-360=480$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Chữ số 2 ở hàng đơn vị, 3 chữ số còn lại chọn từ 6 chữ số: $A_6^3=120$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Số chẵn: hàng đơn vị có 3 cách (2;4;6), ba vị trí còn lại $A_6^3=120$, tổng $3\cdot 120=360\ne 630$.

(AI giải đề cho tôi)
Hộp có 6 bi xanh, 5 bi đỏ, 4 bi vàng (tổng 15 bi), chọn ngẫu nhiên 4 bi.
a) Cùng một màu: chỉ có thể chọn 4 bi xanh (vì đỏ chỉ có 5, vàng chỉ có 4, không đủ 4 bi đỏ... thực tế đỏ có 5 nên chọn được C(5,4)=5). Số cách = C(6,4)+C(5,4)+C(4,4) = 15+5+1 = 21. Đúng.
b) 2 xanh, 1 đỏ, 1 vàng: C(6,2)·C(5,1)·C(4,1) = 15·5·4 = 300 cách, không phải 600. Sai.
c) Đủ cả ba màu, các phân phối (xanh, đỏ, vàng) là (2,1,1), (1,2,1), (1,1,2): C(6,2)·5·4 + 6·C(5,2)·4 + 6·5·C(4,2) = 300+240+180 = 720 cách, không phải 760. Sai.
d) Ít nhất 1 bi xanh = tổng cách chọn 4 bi từ 15 trừ trường hợp không có bi xanh (chọn từ 9 bi đỏ và vàng): C(15,4) − C(9,4) = 1365 − 126 = 1239 cách. Đúng.
Kết quả khớp với đáp án mã đề 1001: a Đúng, b Sai, c Sai, d Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Cùng một màu: C(6,4)+C(5,4)+C(4,4)=15+5+1=21 cách.
b) (AI giải đề cho tôi)
C(6,2)·C(5,1)·C(4,1)=15·5·4=300 cách, không phải 600.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đủ ba màu: 300+240+180=720 cách, không phải 760.
d) (AI giải đề cho tôi)
C(15,4)−C(9,4)=1365−126=1239 cách.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 1 bí thư nam: có $C_{10}^1=10$ cách. Chọn 2 phó bí thư nữ từ 6 nữ: có $C_6^2=\frac{6\cdot 5}{2}=15$ cách. Vì hai việc diễn ra độc lập nên tổng số cách chọn là $10\times 15=150$ cách.

Số cách chọn vị trí cho chữ số 6 là: 6. Số cách chọn số (trừ 0, 9, 8, 6) cho 5 vị trí còn lại là $A_6^5$. Vậy số điện thoại có thể lập ra là: 4320. (Điểm: 0,25 + 0,25)

(AI giải đề cho tôi)
Vì không có ba điểm nào thẳng hàng, mỗi tam giác tương ứng với một cách chọn 3 điểm từ 6 điểm. Số tam giác là $C_6^3=\frac{6!}{3!3!}=20$. Vậy đáp án D, trùng với đáp án nguồn.

Cách chọn 4 học sinh trong 32 học sinh là: $C_{32}^4$. (Điểm: 0,1) Chọn ra 4 bạn, trong đó có 1 cặp song sinh, không có mặt cặp còn lại: $2.C_{28}^2$. Chọn ra 4 bạn, trong đó có 3 trong 4 bạn song sinh, 1 bạn trong 28 bạn còn lại: $\mathrm{2.2.}{C}_{28}^1$. Chọn ra 4 bạn, trong đó có đủ 2 cặp song sinh: 1. Vậy số cách chọn thỏa ycbt: $C_{32}^4-(2.C_{28}^2+\mathrm{2.2.}{C}_{28}^1+1)=35091$. (Điểm: 0,2; 0,2) Cách khác: TH1: Chọn ra 4 bạn, không có bạn nào trong 2 cặp sinh đôi: $C_{28}^4$. TH2: Chọn ra 1 bạn trong 2 cặp sinh đôi, 3 bạn trong 28 bạn còn lại: $4.C_{28}^3$. TH3: Chọn ra 2 bạn trong 2 cặp sinh đôi, nhưng không phải anh em, chọn 2 bạn trong 28 bạn còn lại: $4.C_{28}^2$. Vậy có $C_{28}^4+4.C_{28}^3+4.C_{28}^2=35091$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 2 học sinh từ 10 để giữ 2 chức vụ khác nhau (tổ trưởng, tổ phó) là một chỉnh hợp chập 2 của 10 phần tử, số cách là $A_{10}^2=10\cdot 9=90$. Nếu chỉ chọn 2 người không phân biệt chức vụ thì mới là $C_{10}^2=45$, còn $10^2$ cho phép trùng người. Đáp án khớp với đáp án của đề (mã 1001, câu 3: B).

(AI giải đề cho tôi)
Số hoán vị của tập hợp gồm 4 phần tử là $4!=4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=24$. Đáp án khớp với đáp án nguồn (C).

(AI giải đề cho tôi)
Số cách chọn 1 học sinh nam từ 6 bạn là $C_6^1=6$, số cách chọn 1 học sinh nữ từ 4 bạn là $C_4^1=4$. Theo quy tắc nhân, số cách chọn 2 học sinh gồm 1 nam và 1 nữ là $6\times 4=24$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 1001, câu 9: A).

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề: A. $A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}$ là công thức chỉnh hợp đúng. B. $P_n=n!$ là hoán vị, còn $A_n^k$ là chỉnh hợp chập $k$, nên $P_n=A_n^k$ sai. C. $C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$, không phải $\frac{n!}{(n-k)!}$, nên sai. D. $C_n^k=\frac{A_n^k}{k!}$, không phải $\frac{A_n^k}{(n-k)!}$, nên sai. Vậy mệnh đề đúng là A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 210, câu 1: A).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 3 quyển trong đó có ít nhất 2 quyển Toán gồm hai trường hợp:
- 2 Toán và 1 Anh: $C_5^2\cdot C_4^1=10\cdot 4=40$ cách.
- 3 Toán: $C_5^3=10$ cách.
Tổng: $40+10=50$ cách. Khớp với đáp án nguồn (mã đề 210, câu 10: B).

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2 (mã đề 210), đáp án Đúng-Sai-Sai-Đúng khớp bảng đáp án trang 9.
a) Chọn 3 học sinh bất kỳ từ 18: $C_{18}^3=\frac{18\cdot 17\cdot 16}{6}=816$ cách → ĐÚNG.
b) Mỗi khối đúng một học sinh: $9\cdot 5\cdot 4=180$ cách, không phải 25 → SAI.
c) Chọn mỗi khối một học sinh (180 cách) rồi tặng 3 suất học bổng khác nhau: $180\cdot 3!=1080$ cách, không phải 1008 → SAI.
d) Chọn 4 học sinh có ít nhất 2 khối 12: tổng $C_{18}^4=3060$; trừ trường hợp 0 khối 12: $C_9^4=126$ và đúng 1 khối 12: $9\cdot C_9^3=9\cdot 84=756$; kết quả $3060-126-756=2178$ cách → ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
$C_{18}^3=816$ cách, mệnh đề đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Số cách là $9\cdot 5\cdot 4=180\ne 25$, mệnh đề sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
$180\cdot 3!=1080\ne 1008$, mệnh đề sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
$C_{18}^4-C_9^4-9C_9^3=3060-126-756=2178$, mệnh đề đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Số có 4 chữ số khác nhau từ các chữ số 0;1;2;3;4;5: chữ số đầu tiên không được là 0 nên có 5 cách chọn; sau đó chọn 3 chữ số khác nhau từ 5 chữ số còn lại, có $A_5^3=5\cdot 4\cdot 3=60$ cách. Tổng số: $5\cdot 60=300$ số. Kết quả trùng với đáp án nguồn (300).

(AI giải đề cho tôi)
Cụm từ QUANG TRUNG có 10 chữ cái: Q, U, A, N, G, T, R, U, N, G. Trong đó U xuất hiện 2 lần, N xuất hiện 2 lần, G xuất hiện 2 lần, các chữ cái Q, A, T, R xuất hiện 1 lần. Số cách sắp xếp (hoán vị có lặp) là $N=\frac{10!}{2!\cdot 2!\cdot 2!}=\frac{3628800}{8}=453600$. Suy ra $T=\frac{N}{1000}=453,6\approx 454$ (làm tròn đến hàng đơn vị). Kết quả khớp với đáp án nguồn 454.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác không thể có 3 đỉnh cùng nằm trên một đường thẳng, nên mỗi tam giác phải có 2 đỉnh trên một đường và 1 đỉnh trên đường kia. Trường hợp 1: 2 đỉnh trên $d_1$ và 1 đỉnh trên $d_2$: $C_{12}^2\cdot C_8^1=66\cdot 8=528$. Trường hợp 2: 1 đỉnh trên $d_1$ và 2 đỉnh trên $d_2$: $C_{12}^1\cdot C_8^2=12\cdot 28=336$. Tổng số tam giác: $528+336=864$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 864.

1) Trường hợp 1: 1 nam, 2 nữ: $C_{12}^1.C_{15}^2$ — 0,25 điểm. Trường hợp 2: 2 nam, 1 nữ: $C_{12}^2.C_{15}^1$ — 0,25 điểm. Vậy có $C_{12}^1.C_{15}^2+C_{12}^2.C_{15}^1=2250$ cách chọn một nhóm tam ca đi biểu diễn, trong đó có cả nam và nữ. — 0,25 điểm.
2) $(2x-3{)}^5=C_5^0(2x{)}^5-C_5^1(2x{)}^4.3+C_5^2(2x{)}^3.3^2-C_5^3(2x{)}^2.3^3+C_5^4(2x).3^4-C_5^5.3^5$ — 0,25 điểm. $=32x^5-240x^4+720x^3-1080x^2+810x-243$ — 0,25 điểm. Khi đó hệ số của số hạng chứa $x^3$ là 720 — 0,25 điểm.