Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quy tắc đếm, hoán vị/chỉnh hợp/tổ hợp (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Theo hình vẽ, có 4 con đường nối từ $A$ đến $B$ và 2 con đường nối từ $B$ đến $C$. Muốn đi từ $A$ đến $C$ mà qua $B$ đúng một lần, ta chọn 1 trong 4 đường từ $A$ đến $B$ và 1 trong 2 đường từ $B$ đến $C$. Theo quy tắc nhân, số cách đi là $4\times 2=8$. Vậy đáp án là D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1020, câu 5: D).

(AI giải đề cho tôi)
Xếp 4 bạn vào 4 ghế theo hàng ngang là số hoán vị của 4 phần tử: $4!=4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=24$ cách. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 1010, câu 11: B).

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ trang 2, thành phố $A$ được nối với thành phố $B$ bởi 4 con đường cong, và thành phố $B$ được nối với thành phố $C$ bởi 2 con đường cong. Muốn đi từ $A$ đến $C$ và qua $B$ đúng một lần, ta chọn một trong 4 đường từ $A$ đến $B$, sau đó chọn một trong 2 đường từ $B$ đến $C$. Theo quy tắc nhân, số cách đi là $4\times 2=8$ cách. Kết quả này khớp với đáp án chính thức của mã đề 1010 (trang 7 và trang 8): câu 12 là D.

(AI giải đề cho tôi)
Số có 4 chữ số đôi một khác nhau từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7 và không vượt quá 2026. Vì các chữ số đều khác 0, số bắt đầu bằng 2 sẽ có dạng $2abc\ge 2000$ nhưng chữ số thứ hai nhỏ nhất là 1 nên số nhỏ nhất dạng này là $2134>2026$, do đó chữ số đầu tiên phải là 1. Khi đó 3 chữ số còn lại chọn từ $\{2,3,4,5,6,7\}$ đôi một khác nhau và khác 1: có 6 cách chọn chữ số hàng trăm, 5 cách chọn chữ số hàng chục, 4 cách chọn chữ số hàng đơn vị. Tổng: $6\times 5\times 4=120$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (120).

a) Hướng dẫn: Tổng số học sinh khối 10 là: $46+45+48=139$. Suy ra: số cách để chọn một học sinh lớp 10 là 139 cách. (0,5 điểm)

b) Hướng dẫn: Thời gian trung bình để mỗi học sinh chạy được 100m là $$\overline{x}=\frac{12.5+13.7+14.10+15.8+16.6}{5+7+10+8+6}\approx 14,1.$$ (HS có thể bấm máy tính ra kết quả giá trị trung bình) (0,5 điểm)

Tổng số quả cầu trong hộp là: $6+5+4=15$.

a) Số cách lấy ra 3 quả cầu từ hộp là: $C_{15}^3=455$ cách. Kết luận: 455 cách. (0,5 điểm)

b) Ta thực hiện theo các bước sau: Chọn 1 quả cầu vàng có 4 cách. Chọn 1 quả cầu đỏ (không cùng số với quả vàng đã chọn) có 4 cách. Chọn 1 quả cầu xanh (không cùng số với quả vàng và đỏ đã chọn) có 4 cách. (0,25 điểm)

Theo quy tắc nhân, ta có: $\mathrm{4.4.4}=64$ cách. Kết luận: 64 cách. (0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Số chẵn nên chữ số tận cùng phải là 0, 2 hoặc 4.
- Chữ số tận cùng là 0: chọn 3 chữ số còn lại từ 5 chữ số khác 0 theo thứ tự: $5\cdot 4\cdot 3=60$ số.
- Chữ số tận cùng là 2 hoặc 4: có 2 cách chọn chữ số tận cùng; chữ số hàng nghìn không được là 0 và không trùng chữ số tận cùng nên có 4 cách; hai chữ số còn lại chọn từ 4 chữ số còn lại: $4\cdot 3=12$ cách. Tổng: $2\cdot 4\cdot 4\cdot 3=96$ số.
Vậy tổng số số chẵn là $60+96=156$. Đáp án B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1010, câu 3: B).

(AI giải đề cho tôi)
Khách chọn một món trong ba nhóm: phở (3 loại), bún (4 loại), bánh cuốn (2 loại). Các nhóm rời nhau nên áp dụng quy tắc cộng: $3+4+2=9$ cách lựa chọn. Khớp với đáp án nguồn (mã đề 1010, câu 5: A).

(AI giải đề cho tôi)
Tổ có 6 học sinh nữ và 5 học sinh nam, tổng cộng $6+5=11$ học sinh. Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh đi trực nhật nên có đúng $11$ cách chọn (quy tắc cộng). Đáp án khớp với đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
Theo quy tắc nhân: có 4 kiểu mặt và 3 kiểu dây nên số cách chọn một chiếc đồng hồ gồm một mặt và một dây là $4\times 3=12$ cách. Kết quả trùng với đáp án nguồn B.

(AI giải đề cho tôi)
Một chiếc đồng hồ gồm một mặt và một dây. Có 3 cách chọn mặt và 4 cách chọn dây. Theo quy tắc nhân, số cách chọn là $3\times 4=12$. Vậy đáp án đúng là C, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Tổ có 5 học sinh nữ và 6 học sinh nam, tổng cộng $5+6=11$ học sinh. Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh đi trực nhật nên số cách chọn là $11$ cách (quy tắc cộng). Vậy đáp án D, trùng với đáp án nguồn (đề 101, câu 5: D).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 2 bạn trực nhật sao cho có cả nam và nữ: chọn 1 nam trong 6 bạn và 1 nữ trong 5 bạn, nên số cách chọn là $6\cdot 5=30$ cách. Kết quả trùng với đáp án nguồn B.

(AI giải đề cho tôi)
Hộp có 3 bi đỏ, 4 bi vàng, 5 bi xanh (tổng 12 bi).
a) Đúng. Chọn 4 bi có đủ 3 màu nghĩa là phân bố (1,1,2): đỏ1 vàng1 xanh2: $3\cdot 4\cdot C_5^2=120$; đỏ1 vàng2 xanh1: $3\cdot C_4^2\cdot 5=90$; đỏ2 vàng1 xanh1: $C_3^2\cdot 4\cdot 5=60$. Tổng $120+90+60=270$, và mọi cách đều có ít nhất 1 bi xanh (vì đủ 3 màu).
b) Đúng. Chọn 1 viên bi bất kỳ trong 12 bi: 12 cách.
c) Đúng. Chọn 2 bi khác màu: $3\cdot 4+3\cdot 5+4\cdot 5=12+15+20=47$ cách.
d) Sai. Chọn 2 bi cùng màu: $C_3^2+C_4^2+C_5^2=3+6+10=19$ cách, không phải 12. Kết quả khớp với đáp án nguồn (a Đ, b Đ, c Đ, d S).
a) (AI giải đề cho tôi)
Đủ 3 màu: $3\cdot 4\cdot C_5^2+3\cdot C_4^2\cdot 5+C_3^2\cdot 4\cdot 5=120+90+60=270$, đều có ít nhất 1 bi xanh.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tổng số bi là $3+4+5=12$, nên có 12 cách chọn 1 viên bi.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hai bi khác màu: $3\cdot 4+3\cdot 5+4\cdot 5=47$ cách.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hai bi cùng màu: $C_3^2+C_4^2+C_5^2=3+6+10=19\ne 12$ cách.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 3 học sinh từ 12 người: $C_{12}^3=220$. Số cách chọn không có nữ (cả 3 nam): $C_7^3=35$. Vậy số cách có ít nhất một nữ: $220-35=185$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (185).

1) 3 điểm vừa chọn thẳng hàng. (0,5 điểm)
Chọn 3 điểm trên từng cạnh ta được: $C_7^3,C_8^3,C_9^3$ (0,25 điểm)
Số cách chọn: $C_7^3+C_8^3+C_9^3=175$. (0,25 điểm)
2) 3 điểm vừa chọn tạo thành một tam giác. (0,5 điểm)
Số cách chọn 3 điểm trong 23 điểm bằng: $C_{23}^3$ (0,25 điểm)
Số tam giác tạo thành: $C_{24}^3-(C_7^3+C_8^3+C_9^3)=1849$. (0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Công thức đúng: $C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{A_n^k}{k!}=\frac{A_n^k}{P_k}$ (vì $P_k=k!$). Do đó B, C, D đều đúng. Mệnh đề A sai vì thiếu thừa số $(n-k)!$ ở mẫu: $C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}\ne \frac{n!}{k!}$ (trừ khi $k=n$). Vậy mệnh đề sai là A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1002, câu 5: A).

(AI giải đề cho tôi)
Mỗi vectơ xác định bởi điểm đầu và điểm cuối là hai điểm phân biệt trong 12 điểm, nên số vectơ khác vectơ - không là $A_{12}^2=12\cdot 11=132$. Điều này khớp với đáp án D (theo bảng đáp án mã đề 1002, câu 7 là D).

(AI giải đề cho tôi)
Hộp có 3 bi đỏ, 4 bi vàng, 5 bi xanh (tổng 12 bi).
a) Chọn 1 viên bi bất kỳ: có $3+4+5=12$ cách → Đúng.
b) Chọn 4 viên bi đủ 3 màu nghĩa là phân bố $(1,1,2)$ giữa ba màu, với ít nhất 1 bi xanh. Các trường hợp: 1 đỏ, 1 vàng, 2 xanh: $3\cdot 4\cdot C_5^2=120$; 1 đỏ, 1 xanh, 2 vàng: $3\cdot 5\cdot C_4^2=90$; 1 vàng, 1 xanh, 2 đỏ: $4\cdot 5\cdot C_3^2=60$. Tổng $120+90+60=270$ → Đúng.
c) Chọn 2 viên bi khác màu: $3\cdot 4+3\cdot 5+4\cdot 5=12+15+20=47$ → Đúng.
d) Chọn 2 viên bi cùng màu: $C_3^2+C_4^2+C_5^2=3+6+10=19\ne 12$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tổng số bi là $3+4+5=12$ nên có 12 cách chọn 1 viên bi bất kỳ.
b) (AI giải đề cho tôi)
Phân bố $(1,1,2)$: $3\cdot 4\cdot C_5^2+3\cdot 5\cdot C_4^2+4\cdot 5\cdot C_3^2=120+90+60=270$ cách.
c) (AI giải đề cho tôi)
$3\cdot 4+3\cdot 5+4\cdot 5=47$ cách chọn 2 bi khác màu.
d) (AI giải đề cho tôi)
$C_3^2+C_4^2+C_5^2=3+6+10=19\ne 12$ nên khẳng định sai.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số cách chọn 3 học sinh từ 12 học sinh là $C_{12}^3=\frac{12\cdot 11\cdot 10}{6}=220$. Số cách chọn 3 học sinh trong đó không có học sinh nữ (tức cả 3 đều nam) là $C_7^3=35$. Vậy số cách chọn để có ít nhất một học sinh nữ là $220-35=185$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (185).