Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quy tắc đếm, hoán vị/chỉnh hợp/tổ hợp (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Mỗi vecto khác vecto - không được xác định bởi cặp điểm đầu - điểm cuối phân biệt, và thứ tự là quan trọng vì $\overrightarrow{AB}\ne \overrightarrow{BA}$. Vậy số vecto là $A_{12}^2=12\cdot 11=132$. Đáp án C, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1001, Câu 2: C).

1) 3 điểm vừa chọn thẳng hàng. (0,5 điểm)
Chọn 3 điểm trên từng cạnh ta được: $C_7^3,C_6^3,C_{10}^3$ (0,25 điểm)
Số cách chọn: $C_6^3+C_7^3+C_{10}^3=175$. (0,25 điểm)
2) 3 điểm vừa chọn tạo thành một tam giác. (0,5 điểm)
Số cách chọn 3 điểm trong 23 điểm bằng: $C_{23}^3$ (0,25 điểm)
Số tam giác tạo thành: $C_{23}^3-\left(C_6^3+C_7^3+C_{10}^3\right)=1596$. (0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Công thức đúng: $C_n^k=\frac{A_n^k}{k!}=\frac{A_n^k}{P_k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$. Do đó A, C, D đúng. Mệnh đề B sai vì $C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}\ne \frac{n!}{k!}$ (ví dụ $n=3,k=2$: $C_3^2=3$ nhưng $\frac{3!}{2!}=3$... xét $n=4,k=2$: $C_4^2=6\ne \frac{4!}{2!}=12$). Khớp với đáp án nguồn B.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 2 bạn trực nhật sao cho có cả nam và nữ: chọn 1 nam trong 6 bạn và 1 nữ trong 5 bạn, nên số cách chọn là $6\cdot 5=30$ cách. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Câu 8, mã đề 1001: B).

(AI giải đề cho tôi)
Không gian mẫu: chọn 2 bạn từ 45 học sinh, $n=C_{45}^2=\frac{45\cdot 44}{2}=990$. Chọn 2 bạn cùng giới tính: 2 nam hoặc 2 nữ, số cách $C_{25}^2+C_{20}^2=300+190=490$. Vậy $P=\frac{490}{990}=\frac{49}{99}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: D.

(AI giải đề cho tôi)
Minh chọn áo cỡ 39 hoặc cỡ 40 (hai khả năng rời nhau). Áo cỡ 39 có 5 lựa chọn màu, áo cỡ 40 có 4 lựa chọn màu. Theo quy tắc cộng, số sự lựa chọn là $5+4=9$. Đáp án C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 209, Câu 1: C).

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai. Trong khai triển $(x+3{)}^5$, số hạng chứa $x^4$ ứng với $k=1$: $C_5^1{x}^4\cdot 3=15x^4$, là số hạng thứ hai (theo thứ tự số mũ của $x$ giảm dần), không phải số hạng thứ ba.
b) Sai. Từ các chữ số 1, 5, 6, 7 lập số tự nhiên có 4 chữ số (chữ số được lặp lại): mỗi vị trí có 4 cách chọn nên có $4^4=256$ số, không phải 24. (Chỉ khi các chữ số đôi một khác nhau mới được $4!=24$.)
c) Đúng. Số lẻ có 4 chữ số khác nhau từ các chữ số 0,1,2,3,4,5: chữ số cuối (hàng đơn vị) là lẻ có 3 cách (1, 3, 5); chữ số đầu khác 0 và khác chữ số cuối nên có 4 cách; hai chữ số còn lại chọn từ 4 chữ số còn lại: $A_4^2=12$ cách. Tổng: $3\cdot 4\cdot 12=144$ số.
d) Đúng. Chọn 4 học sinh từ 12 học sinh (5 nam + 7 nữ): $C_{12}^4=\frac{12!}{4!8!}=495$ cách.
a) (AI giải đề cho tôi)
Số hạng chứa $x^4$ trong $(x+3{)}^5$ là $C_5^1{x}^4\cdot 3=15x^4$, là số hạng thứ hai (theo số mũ của $x$ giảm dần), không phải số hạng thứ ba.
b) (AI giải đề cho tôi)
Mỗi trong 4 vị trí có 4 cách chọn chữ số (1, 5, 6, 7) nên có $4^4=256$ số, không phải 24.
c) (AI giải đề cho tôi)
Chữ số cuối lẻ: 3 cách (1, 3, 5); chữ số đầu khác 0 và khác chữ số cuối: 4 cách; hai chữ số giữa: $A_4^2=12$ cách. Tổng $3\cdot 4\cdot 12=144$ số.
d) (AI giải đề cho tôi)
Chọn 4 học sinh từ 12 học sinh: $C_{12}^4=495$ cách.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số điểm đã cho là 24 điểm (20 điểm trên 4 cạnh + 4 đỉnh $A$, $B$, $C$, $D$). Số tam giác lập được từ 24 điểm, với 3 điểm bất kỳ không thẳng hàng: $$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{24}{3}\right)=2024.$$ Các bộ 3 điểm thẳng hàng chỉ xảy ra khi cả 3 điểm cùng nằm trên một cạnh của hình vuông. Mỗi cạnh có 5 điểm đã lấy cộng thêm 2 đỉnh nên có 7 điểm, do đó mỗi cạnh cho $$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{3}\right)=35$$ bộ ba thẳng hàng. Bốn cạnh cho tất cả $$4\cdot \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{3}\right)=140$$ bộ ba (các cạnh chỉ cắt nhau tại đỉnh nên không có bộ ba thẳng hàng nào bị đếm trùng; hai đường chéo $AC$, $BD$ chỉ chứa 2 đỉnh nên không tạo bộ ba thẳng hàng). Vậy số tam giác là $$2024-140=1884.$$ Kết quả trùng với đáp án nguồn 1884.

Có 5 cách lấy 1 bi đỏ. Có 4 cách lấy 1 bi xanh. Vậy, số cách lấy 2 bi có đủ cả hai màu là $5.4=20$ cách.

(AI giải đề cho tôi)
Đoàn gồm 3 người, phải có đủ cả hai môn Toán và Vật lý, và phải có cả nam lẫn nữ. Giáo viên Toán: 3 nữ, 5 nam; giáo viên Vật lý: 4 nam (chỉ có nam).

Trường hợp 1: chọn 2 giáo viên Toán và 1 giáo viên Vật lý. Vì Vật lý chỉ có nam nên để có nữ thì 2 giáo viên Toán phải có ít nhất 1 nữ: $C_3^2+C_3^1{C}_5^1=3+15=18$ cách. Chọn 1 giáo viên Vật lý nam: $C_4^1=4$ cách. Số cách: $18\cdot 4=72$.

Trường hợp 2: chọn 1 giáo viên Toán và 2 giáo viên Vật lý. Để có nữ thì giáo viên Toán phải là nữ: $C_3^1=3$ cách. Chọn 2 giáo viên Vật lý nam: $C_4^2=6$ cách. Số cách: $3\cdot 6=18$.

Tổng: $72+18=90$ cách. Khớp với đáp án nguồn C.

Chọn 4 học sinh nam, có $C_{20}^4=4845$ cách chọn. Chọn 3 học sinh nữ, có $C_{15}^3=455$ cách chọn. Số cách để chọn ra một đội gồm 4 học sinh nam và 3 học sinh nữ để trực trường là: $C_{20}^4.C_{15}^3=2204475$ cách chọn.

Gọi số tự nhiên cần tìm là $\overline{abc}$. $c\in \{1;2;3;4;6\}$ nên có 5 cách chọn chữ số $c$; có 5 cách chọn $a$; có 4 cách chọn $b$. Vậy có $\mathrm{5.5.4}=100$ số.

(AI giải đề cho tôi)
Số lẻ nên chữ số tận cùng phải là 1, 7 hoặc 9: có 3 cách chọn. Chữ số hàng chục nghìn khác 0 và khác chữ số đã chọn ở vị trí tận cùng: còn 4 cách. Ba vị trí còn lại chọn từ 4 chữ số còn lại: $A_4^3=24$ cách. Tổng: $3\cdot 4\cdot 24=288$ số. Khớp với đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp 5 học sinh (3 nam, 2 nữ, mỗi người là một cá nhân khác nhau) vào 5 ghế trên bàn dài là một hoán vị của 5 phần tử: $5!=120$ cách. Đáp án khớp với mã đề 209, Câu 9: A.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai. Trong khai triển $(x+3{)}^5={\sum }_{k=0}^5{C}_5^k{x}^{5-k}{3}^k$, số hạng chứa $x^4$ ứng với $k=1$: $C_5^1{x}^4\cdot 3=15x^4$, đây là số hạng thứ hai (theo thứ tự số mũ của $x$ giảm dần), không phải số hạng thứ ba.
b) Sai. Từ các chữ số 1, 5, 6, 7 (đều khác 0, được lặp lại) lập số có 4 chữ số: mỗi vị trí có 4 cách chọn nên có $4^4=256$ số, không phải 24 (24 chỉ đúng nếu các chữ số không lặp: $4!=24$).
c) Đúng. Số lẻ có 4 chữ số khác nhau từ các chữ số 0,1,2,3,4,5: chọn chữ số hàng đơn vị lẻ có 3 cách (1, 3, 5); chọn chữ số hàng nghìn khác 0 và khác chữ số hàng đơn vị có 4 cách; hai chữ số còn lại từ 4 chữ số còn lại có $4\cdot 3=12$ cách. Tổng: $3\cdot 4\cdot 12=144$ số.
d) Đúng. Chọn 4 học sinh từ 12 học sinh (5 nam + 7 nữ): $C_{12}^4=\frac{12!}{4!8!}=495$ cách.
a) (AI giải đề cho tôi)
Số hạng chứa $x^4$ là $C_5^1{x}^4\cdot 3=15x^4$, là số hạng thứ hai theo thứ tự số mũ của $x$ giảm dần, không phải thứ ba.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì các chữ số được lặp lại, số số có 4 chữ số là $4^4=256$, không phải 24.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàng đơn vị: 3 cách (1,3,5); hàng nghìn: 4 cách; hai vị trí còn lại: $4\cdot 3=12$ cách. Tổng $3\cdot 4\cdot 12=144$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$C_{12}^4=495$ cách chọn 4 học sinh từ 12 học sinh.

(AI giải đề cho tôi)
Có 24 điểm trên bốn cạnh hình vuông (mỗi cạnh 5 điểm). Chọn 3 điểm bất kỳ: $C_{24}^3=\frac{24\cdot 23\cdot 22}{6}=2024$. Ba điểm không tạo thành tam giác khi và chỉ khi chúng thẳng hàng, tức là cùng nằm trên một cạnh (các cạnh khác nhau chỉ gặp nhau tại đỉnh, mà không có điểm nào trùng đỉnh). Số bộ ba thẳng hàng: mỗi cạnh có $C_5^3=10$ bộ ba, bốn cạnh nên $4\cdot 10=40$. Vậy số tam giác là $2024-40=1884$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 1884.

Có 5 cách lấy 1 bi đỏ. Có 4 cách lấy 1 bi xanh. Vậy, số cách lấy 2 bi có đủ cả hai màu là $5.4=20$ cách.

(AI giải đề cho tôi)
Minh chọn áo cỡ 39 hoặc cỡ 40, hai trường hợp rời nhau. Theo quy tắc cộng: số lựa chọn = $5+4=9$. Đáp án C, khớp với đáp án nguồn (Mã đề 132, Câu 2 = C).

Chọn 4 học sinh nam, có $C_{20}^4=4845$ cách chọn. Chọn 3 học sinh nữ, có $C_{15}^3=455$ cách chọn. Số cách để chọn ra một đội gồm 4 học sinh nam và 3 học sinh nữ để trực trường là: $C_{20}^4.C_{15}^3=2204475$ cách chọn.

Gọi số tự nhiên cần tìm là $\overline{abc}$. $c\in \{1;2;3;4;6\}$ nên có 5 cách chọn chữ số $c$; có 5 cách chọn $a$; có 4 cách chọn $b$. Vậy có $\mathrm{5.5.4}=100$ số.