Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quy tắc đếm, hoán vị/chỉnh hợp/tổ hợp (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp 5 học sinh (3 nam, 2 nữ, mỗi người là một cá nhân khác nhau) vào 5 ghế trên bàn dài là một hoán vị của 5 phần tử: $5!=120$ cách. Không cần chia $3!2!$ vì các học sinh phân biệt nhau, không phải chỉ phân biệt theo giới tính. Đáp án khớp với mã đề 132: C.

(AI giải đề cho tôi)
Đoàn gồm 3 người, phải có đủ cả hai môn Toán và Vật lý, và phải có cả nam lẫn nữ. Toán có 3 nữ, 5 nam; Vật lý có 4 nam (không có nữ).

Trường hợp 1: chọn 2 giáo viên Toán và 1 giáo viên Vật lý. Vì Vật lý chỉ có nam nên để có nữ thì 2 giáo viên Toán phải có ít nhất 1 nữ: số cách chọn 2 Toán là $C_8^2=28$, không có nữ tức chọn 2 trong 5 nam: $C_5^2=10$, vậy có $28-10=18$ cách. Chọn 1 Vật lý: $C_4^1=4$ cách. Số cách: $18\cdot 4=72$.

Trường hợp 2: chọn 1 giáo viên Toán và 2 giáo viên Vật lý. Vì Vật lý chỉ có nam nên giáo viên Toán phải là nữ: 3 cách. Chọn 2 Vật lý nam: $C_4^2=6$ cách. Số cách: $3\cdot 6=18$.

Tổng: $72+18=90$ cách. Đáp án D, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Số lẻ có 5 chữ số khác nhau từ các chữ số $0,1,2,7,8,9$. Chữ số lẻ là $1,7,9$ (3 chữ số). Chọn chữ số cuối (hàng đơn vị) để số lẻ: $3$ cách. Chọn chữ số đầu tiên (khác $0$ và khác chữ số đã chọn): $4$ cách. Ba chữ số còn lại chọn từ $4$ chữ số còn lại: $A_4^3=24$ cách. Tổng: $3\times 4\times 24=288$ số. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Số có 2 chữ số lập từ các chữ số 1,2,3,4,5: chữ số hàng chục có 5 cách chọn, chữ số hàng đơn vị có 5 cách chọn (được phép lặp lại vì đề không cấm). Theo quy tắc nhân, số số lập được là $5\times 5=25$. Đáp án D, khớp với đáp án nguồn (mã đề 243, câu 12: D).

(AI giải đề cho tôi)
Bạn Tâm cần chọn 1 hộp sữa và 1 cái bánh quy. Có 14 cách chọn hộp sữa và 8 cách chọn bánh quy. Theo quy tắc nhân, số cách chọn là $14\times 8=112$ cách.

(AI giải đề cho tôi)
Mai có 3 cái áo và 2 cái quần. Một bộ quần áo gồm một áo và một quần, theo quy tắc nhân số cách chọn là $3\times 2=6$ cách. Đáp án A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 243, câu 3: A).

(AI giải đề cho tôi)
Nhóm có 6 nam + 9 nữ = 15 học sinh. Chọn 1 học sinh từ 15 học sinh có $C_{15}^1=15$ cách. Vậy đáp án A, khớp với đáp án nguồn (mã đề 243, câu 6: A).

(AI giải đề cho tôi)
Nhóm có 7 nam + 10 nữ = 17 học sinh. Chọn 1 học sinh bất kỳ từ 17 người nên có 17 cách (quy tắc cộng: 7 + 10 = 17). Khớp đáp án D theo bảng mã đề 132.

(AI giải đề cho tôi)
Bạn An cần chọn 1 hộp sữa (12 cách) và 1 món bánh quy (8 cách). Theo quy tắc nhân, số cách chọn là $12\times 8=96$ cách.

(AI giải đề cho tôi)
Mai chọn một áo trong 4 cách và một quần trong 3 cách. Theo quy tắc nhân, số cách chọn một bộ quần áo là $4\times 3=12$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 132, câu 7: C).

(AI giải đề cho tôi)
Số có 2 chữ số lập từ 6 chữ số 1,2,3,4,5,6 (chữ số được lặp lại): có 6 cách chọn chữ số hàng chục và 6 cách chọn chữ số hàng đơn vị, theo quy tắc nhân ta được $6\times 6=36$ số. Khớp với đáp án B (mã đề 132, câu 9: B).

(AI giải đề cho tôi)
Số hoán vị của 10 phần tử của tập hợp $X$ là $10!$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Mỗi hành khách có 3 cách chọn toa, nên tổng số khả năng lên tàu tùy ý là $3^3=27$, không phải 9 → ý a sai. Cả 3 khách lên cùng một toa: chọn toa chung trong 3 toa nên có 3 khả năng, không phải 1 → ý b sai. Mỗi khách lên một toa (khác nhau từng người): số cách là hoán vị $3!=6$ → ý c đúng. Có 2 khách cùng toa và khách thứ ba lên toa khác: chọn cặp 2 khách $C_3^2=3$, chọn toa của cặp (3 cách), chọn toa của khách thứ ba (2 cách còn lại) → $3\cdot 3\cdot 2=18$ → ý d đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Mỗi khách có 3 lựa chọn toa nên tổng số khả năng là $3^3=27$, không phải 9.
b) (AI giải đề cho tôi)
Cả 3 khách lên cùng một toa: chọn 1 trong 3 toa, nên có 3 khả năng, không phải 1.
c) (AI giải đề cho tôi)
Mỗi khách lên một toa khác nhau: số cách xếp 3 khách vào 3 toa là $3!=6$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Chọn cặp 2 khách cùng toa: $C_3^2=3$; chọn toa của cặp: 3 cách; khách thứ ba lên 1 trong 2 toa còn lại: 2 cách. Tổng $3\cdot 3\cdot 2=18$.

(AI giải đề cho tôi)
Nhóm có: 5 nhà hoá học nam, 3 nhà hoá học nữ, 4 nhà vật lý nam (tổng 9 nam, 3 nữ). Đoàn 3 người cần có cả nam và nữ, và cả nhà hoá học lẫn nhà vật lý.

Xét theo số nam/nữ:

**Trường hợp 1: 2 nam, 1 nữ.** Nữ được chọn từ 3 nhà hoá học nữ (3 cách). Để đoàn có cả hoá và vật lý, trong 2 nam phải có ít nhất 1 nhà vật lý:
- 1 hoá nam + 1 vật lý nam: $5\cdot 4=20$ cách.
- 2 vật lý nam: $C_4^2=6$ cách.
Tổng: $(20+6)\cdot 3=78$ cách.

**Trường hợp 2: 1 nam, 2 nữ.** 2 nữ chọn từ 3 nhà hoá học nữ: $C_3^2=3$ cách. Vì 2 nữ đều là hoá học, nam bắt buộc phải là nhà vật lý: 4 cách.
Tổng: $4\cdot 3=12$ cách.

Vậy tổng số cách lập đoàn: $78+12=90$ cách.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 5 học sinh từ 40 học sinh, không phân biệt thứ tự nên số cách chọn là tổ hợp chập 5 của 40: $C_{40}^5$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Số cách chọn 3 học sinh từ 6 học sinh là tổ hợp: $C_6^3=\frac{6!}{3!3!}=20$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Số hoán vị của 4 chữ cái A, B, C, D là $P_4=4!=24$. Vậy chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
a) Xếp 10 học sinh thành hàng ngang là hoán vị 10 phần tử: $P_{10}=10!$ → đúng. b) Chọn 5 học sinh trong đó đúng 2 nam: $C_5^2\cdot C_5^3=10\cdot 10=100$ cách, không phải $C_5^2=10$ → sai. c) Để 5 nam luôn cạnh nhau và 5 nữ luôn cạnh nhau: coi mỗi nhóm là một khối, hoán vị 2 khối $2!$, trong mỗi khối xếp $5!$ và $5!$, tổng $2!\cdot 5!\cdot 5!$, không phải $5!\cdot 5!$ → sai. d) Để 5 nữ luôn cạnh nhau: coi khối nữ là 1 phần tử, cộng 5 nam được 6 phần tử, xếp $6!$ cách, trong khối nữ xếp $5!$ cách, tổng $5!\cdot 6!$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Xếp 10 học sinh thành hàng ngang là hoán vị của 10 phần tử phân biệt: $P_{10}=10!$ cách.
b) (AI giải đề cho tôi)
Chọn 5 học sinh có đúng 2 nam (và 3 nữ): $C_5^2\cdot C_5^3=10\cdot 10=100$ cách, không phải $C_5^2=10$ cách.
c) (AI giải đề cho tôi)
Cần $2!\cdot 5!\cdot 5!$ cách (hoán vị 2 khối nam, nữ rồi xếp trong từng khối), không phải $5!\cdot 5!$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Coi 5 nữ là một khối: có 6 phần tử xếp được $6!$ cách, trong khối nữ xếp $5!$ cách, tổng $5!\cdot 6!$ cách.

(AI giải đề cho tôi)
Số cách sắp xếp vị trí của 3 học sinh trong 5 học sinh là chỉnh hợp chập 3 của 5: $A_5^3=\frac{5!}{2!}=5\cdot 4\cdot 3=60$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi số bóng đèn loại I lấy ra là $k$, thì số bóng đèn loại II là $5-k$. Yêu cầu loại I nhiều hơn loại II tức $k>5-k\iff k\ge 3$. Vì chỉ có 5 đèn loại I nên $k\le 5$; các trường hợp thỏa mãn là $k=3,4,5$.
- $k=3$: lấy 3 đèn loại I và 2 đèn loại II: $C_5^3\cdot C_7^2=10\cdot 21=210$.
- $k=4$: lấy 4 đèn loại I và 1 đèn loại II: $C_5^4\cdot C_7^1=5\cdot 7=35$.
- $k=5$: lấy 5 đèn loại I và 0 đèn loại II: $C_5^5\cdot C_7^0=1$.
Tổng số khả năng: $210+35+1=246$. Vậy chọn đáp án A.