Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quy tắc đếm, hoán vị/chỉnh hợp/tổ hợp (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Xếp 5 vận động viên vào 5 đường chạy là một hoán vị của 5 phần tử, số cách là $5!=120$. Đáp án khớp với mã đề 2022, câu 1: C.

(AI giải đề cho tôi)
Theo quy tắc nhân: từ Hà Nội vào Huế có 3 cách, từ Huế vào Quảng Nam có 2 cách, nên tổng số cách chọn là $3\times 2=6$ cách. Vậy đáp án D, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 2022, Câu 10: D).

(AI giải đề cho tôi)
Khách mua áo hoặc mua quần: có 2 loại áo và 3 loại quần, hai việc này không thể xảy ra đồng thời nên áp dụng quy tắc cộng: $2+3=5$ cách lựa chọn. Vậy đáp án là D, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 2022, Câu 12: D).

(AI giải đề cho tôi)
Phần II, Câu 4 (Mã đề 2022). a) Chọn 1 học sinh bất kì từ 45 học sinh có 45 cách chọn → đúng. b) Chọn 1 lớp trưởng và 1 lớp phó là chọn có thứ tự (phân biệt chức vụ), số cách là $A_{45}^2=45\cdot 44=1980$, không phải $C_{45}^2=990$ → sai. c) Chọn 3 học sinh bất kì (không thứ tự) có $C_{45}^3=\frac{45\cdot 44\cdot 43}{6}=14190$ cách → đúng. d) Chọn 3 học sinh gồm 2 nam và 1 nữ có $C_{20}^2\cdot C_{25}^1=190\cdot 25=4750$ cách, khác $C_{45}^3$ → sai. Kết quả Đúng–Sai–Đúng–Sai khớp với đáp án chính thức (ĐSĐS) của mã đề 2022.
a) (AI giải đề cho tôi)
Có 45 học sinh nên chọn 1 học sinh bất kì có 45 cách chọn.
b) (AI giải đề cho tôi)
Lớp trưởng và lớp phó là hai chức vụ khác nhau nên chọn có thứ tự: $A_{45}^2=45\cdot 44=1980$ cách, không phải $C_{45}^2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Chọn 3 học sinh bất kì không kể thứ tự: $C_{45}^3=14190$ cách.
d) (AI giải đề cho tôi)
Số cách là $C_{20}^2\cdot C_{25}^1=190\cdot 25=4750$ cách, không phải $C_{45}^3$.

(AI giải đề cho tôi)
Xếp 5 bạn nam thành hàng: $5!=120$ cách. Sau khi xếp nam, có 6 khoảng trống (trước, sau, giữa các nam) để chèn 2 bạn nữ sao cho không cạnh nhau: chọn 2 trong 6 khoảng và xếp 2 nữ vào: $A_6^2=30$ cách. Tổng: $120\times 30=3600$ cách. Kết quả trùng với đáp án nguồn (3600).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 2 học sinh từ 12 để làm tổ trưởng và tổ phó là chọn có xét thứ tự (hai vai trò khác nhau), nên số cách là chỉnh hợp $A_{12}^2=12\cdot 11=132$. Đáp án khớp với mã đề 2022, câu 3: A.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 3 bi khác màu nghĩa là chọn đúng 1 bi mỗi màu: 1 xanh, 1 đỏ, 1 vàng. Số cách chọn là $3\cdot 6\cdot 7=126$. Vậy đáp án A, khớp với đáp án nguồn (Mã đề 2022, Câu 4: A).

Đáp án chính thức (a–d): ĐSSĐ.

(AI giải đề cho tôi)
Xếp 5 bạn nam thành hàng ngang: $5!=120$ cách. Sau khi xếp nam, có 6 khoảng trống (kể cả hai đầu) để đặt 2 bạn nữ sao cho không cạnh nhau: chọn và xếp 2 vị trí từ 6 khoảng là $A_6^2=30$ cách. Tổng: $120\times 30=3600$ cách. Kết quả trùng với đáp án nguồn (3600).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 2 học sinh từ 12 để làm tổ trưởng và tổ phó là một chọn có thứ tự (hai vai trò khác nhau), nên số cách là $A_{12}^2=12\cdot 11=132$. Điều này khớp với đáp án A trong bảng đáp án (Mã đề 2014, Câu 3: A).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 3 bi khác màu nghĩa là chọn 1 bi xanh, 1 bi đỏ, 1 bi vàng. Số cách: $3\cdot 6\cdot 7=126$. Vậy đáp án C, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Khách mua áo hoặc quần: quy tắc cộng. Có 2 loại áo (áo thun, áo sơ mi) và 3 loại quần (trắng, đen, xanh), hai nhóm lựa chọn không giao nhau nên số cách là $2+3=5$. Đáp án D, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 2014, Câu 7: D).

(AI giải đề cho tôi)
Xếp 5 vận động viên vào 5 đường chạy là một hoán vị của 5 phần tử, số cách là $5!=120$. Đáp án khớp với mã đề 2014, câu 8: C.

(AI giải đề cho tôi)
Theo quy tắc nhân: đi từ Hà Nội vào Huế có 3 cách (máy bay, tàu lửa, ô tô), từ Huế vào Quảng Nam có 2 cách (tàu lửa, ô tô). Vậy tổng số cách chọn để đi từ Hà Nội vào Quảng Nam là $3\times 2=6$ cách. Đáp án B, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 2014, Câu 9: B).

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số cách chọn 7 học sinh từ 15 học sinh là $C_{15}^7=6435$. Số cách chọn không có học sinh khối A: $C_{11}^7=330$; không có khối B: $C_{10}^7=120$; không có khối C: $C_9^7=36$. Các trường hợp này đôi một khác nhau (không thể thiếu cùng lúc hai khối vì chỉ còn 9 học sinh < 7... thực tế thiếu hai khối chỉ còn tối đa 6 học sinh nên không thể chọn đủ 7). Vậy số cách chọn thỏa mãn mỗi khối ít nhất 1 học sinh là $6435-(330+120+36)=5949$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Lớp có 15 nam + 20 nữ = 35 học sinh. Chọn 3 học sinh làm ban cán sự lớp (không phân biệt vai trò, thứ tự) nên số cách chọn là tổ hợp chập 3 của 35: $C_{35}^3=\frac{35\cdot 34\cdot 33}{3!}=\frac{39270}{6}=6545$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 6545.

(AI giải đề cho tôi)
Theo quy tắc nhân, mỗi thực đơn gồm: chọn 1 trong 5 món ăn, 1 trong 5 loại quả tráng miệng, 1 trong 3 loại đồ uống. Số cách chọn là $5\times 5\times 3=75$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (75).

Xét số có hình thức $\overline{0bcde}$. Số cách hoán đổi vị trí hai chữ số 1, 4 (cùng nhóm $X$) là 2. Số cách hoán đổi vị trí của $X$ với các chữ số 2, 3 là: $3!$. Vậy số các số được lập theo hình thức này là $2.3!=12$.

Xét số có hình thức $\overline{abcde}$ trong đó $a$ được phép bằng 0. Số cách hoán đổi vị trí của hai chữ số 1, 4 (cùng nhóm $X$) là 2. Số cách hoán đổi vị trí của $X$ với các chữ số 0, 2, 3 là: $4!$. Số các số được lập theo hình thức này là $2.4!=48$.

Vậy số các số tự nhiên thỏa mãn đề bài là $48-12=36$. (0,25 + 0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Lớp có 15 nam + 20 nữ = 35 học sinh. Chọn 3 học sinh làm ban cán sự lớp (không phân biệt chức vụ) nên số cách chọn là tổ hợp chập 3 của 35 phần tử: $C_{35}^3=\frac{35\cdot 34\cdot 33}{3!}=\frac{39270}{6}=6545$. Kết quả trùng với đáp án nguồn 6545.

(AI giải đề cho tôi)
Theo quy tắc nhân: chọn 1 trong 5 món ăn, 1 trong 5 loại quả tráng miệng, 1 trong 3 loại đồ uống, nên số cách chọn thực đơn là $5\times 5\times 3=75$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (75).