Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quy tắc đếm, hoán vị/chỉnh hợp/tổ hợp (Toán học Lớp 10)

Trường THPT có 3 khối, mỗi khối 4 lớp, mỗi lớp có đúng 1 bí thư. Suy ra có tổng cộng 12 bí thư (4 bí thư lớp 12, 4 bí thư lớp 11, 4 bí thư lớp 10). Chọn 1 nhóm có 10 bí thư. Điều kiện: bắt buộc phải có đầy đủ 4 bí thư lớp 12. Công đoạn 1: Có 1 cách chọn tất cả 4 bí thư lớp 12. Công đoạn 2: Có $C_6^4$ cách chọn 6 bí thư còn lại trong 8 bí thư (khối 10 và 11). Vậy có: $1\cdot C_6^4=28$ cách chọn. Đáp án: 28

Số có 2 chữ số khác nhau thì chữ số thứ nhất có 4 cách chọn thì chữ số thứ hai có 3 cách chọn (tránh lặp số đã chọn với chữ số thứ nhất). Áp dụng quy tắc nhân có tổng cộng 12 cách lập. Chọn đáp án (A)

(AI giải đề cho tôi)
Bạn An chọn 1 quyển sách trong tổng số 5 quyển Tiếng Anh và 6 quyển Toán. Theo quy tắc cộng, số cách chọn là $5+6=11$ cách. Kết quả trùng với đáp án nguồn: B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 (7 chữ số).
a) Số có 4 chữ số khác nhau và lớn hơn 5000: chữ số đầu là 5 hoặc 6 (2 cách), sau đó chọn 3 chữ số khác nhau từ 6 chữ còn lại: $6\cdot 5\cdot 4=120$. Tổng $2\cdot 120=240$ → ĐÚNG.
b) Số tự nhiên có 1 chữ số lập từ các chữ số đã cho gồm: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 → có 7 số (0 cũng là số tự nhiên có 1 chữ số), không phải 6 → SAI.
c) Số có 2 chữ số khác nhau: chữ số hàng chục có 6 cách (khác 0), hàng đơn vị có 6 cách → $6\cdot 6=36$ → ĐÚNG.
d) Số chẵn có 2 chữ số khác nhau: nếu chữ số tận cùng là 0 có 6 cách; nếu tận cùng là 2; 4; 6 có $3\cdot 5=15$ cách. Tổng $6+15=21$, không phải 18 → SAI.
a) (AI giải đề cho tôi)
Chữ số đầu là 5 hoặc 6 (2 cách), ba chữ số sau chọn từ 6 chữ còn lại: $6\cdot 5\cdot 4=120$; tổng $2\cdot 120=240$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Có 7 số tự nhiên có 1 chữ số: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 (0 cũng là số tự nhiên có 1 chữ số), không phải 6.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàng chục: 6 cách (khác 0), hàng đơn vị: 6 cách → $6\cdot 6=36$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tận cùng 0: 6 cách; tận cùng 2; 4; 6: $3\cdot 5=15$ cách; tổng $21\ne 18$.

(AI giải đề cho tôi)
Số cần tìm là số có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 2, tức chữ số tận cùng chẵn. Chữ số hàng trăm khác 0.

TH1: Chữ số tận cùng là 0. Chọn hàng trăm: 9 cách (1–9); hàng chục: 8 cách (còn lại, khác 0 đã dùng). Suy ra $9\cdot 8=72$ số.

TH2: Chữ số tận cùng là 2, 4, 6 hoặc 8 (4 cách chọn). Hàng trăm: 8 cách (khác 0 và khác chữ số tận cùng); hàng chục: 8 cách (khác hai chữ số đã dùng, được phép là 0). Suy ra $4\cdot 8\cdot 8=256$ số.

Tổng: $72+256=328$ số. Kết quả trùng với đáp án nguồn (328).

a) Chọn 5 hs trong đó có 2 nam và 3 nữ: $C_{15}^2.C_{20}^3=119.700$ cách (0,5đ). b) Chọn 5hs luôn có cả nam và nữ: $C_{35}^5-\left(C_{15}^5+C_{20}^5\right)=306.125$ (0,25đ).

(AI giải đề cho tôi)
Tổ 1 có tất cả $6+5=11$ học sinh. Chọn 2 học sinh để trực nhật (không phân biệt vai trò, thứ tự) là tổ hợp chập 2 của 11 phần tử: $C_{11}^2=\frac{11\cdot 10}{2}=55$ cách. Vậy đáp án A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 5: A).

(AI giải đề cho tôi)
Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 (7 chữ số).
a) Số chẵn có 2 chữ số khác nhau: chữ số tận cùng là 0 thì có 6 cách chọn chữ số hàng chục; tận cùng là 2, 4, 6 thì mỗi trường hợp có 5 cách (hàng chục khác 0 và khác chữ số tận cùng), tổng $6+3\cdot 5=21\ne 18$ → Sai.
b) Số có 4 chữ số khác nhau và lớn hơn 5000: chữ số đầu là 5 hoặc 6 (2 cách), sau đó $6\cdot 5\cdot 4$ cách, tổng $2\cdot 6\cdot 5\cdot 4=240$ → Đúng.
c) Số có 2 chữ số khác nhau: hàng chục có 6 cách (khác 0), hàng đơn vị có 6 cách, tổng $6\cdot 6=36$ → Đúng.
d) Số tự nhiên có 1 chữ số lập được từ các chữ số 0;1;2;3;4;5;6 là 0,1,2,3,4,5,6 tức 7 số (nếu không tính 0 thì là 6 số, nhưng 0 là số tự nhiên có 1 chữ số) → khẳng định 6 số là Sai, phù hợp đáp án nguồn.
a) (AI giải đề cho tôi)
Số chẵn 2 chữ số khác nhau: tận cùng 0 có 6 cách; tận cùng 2,4,6 có 5 cách mỗi trường hợp; tổng $6+15=21\ne 18$ → Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Chữ số đầu là 5 hoặc 6: $2\cdot 6\cdot 5\cdot 4=240$ → Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàng chục 6 cách (khác 0), hàng đơn vị 6 cách: $6\cdot 6=36$ → Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Các số tự nhiên có 1 chữ số từ bộ chữ số đã cho là 0,1,2,3,4,5,6: có 7 số, không phải 6 → Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Đếm số có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 2 (chữ số tận cùng chẵn). Trường hợp 1: chữ số tận cùng là 0, chọn chữ số hàng trăm có 9 cách (khác 0), chữ số hàng chục có 8 cách (khác hai chữ số đã chọn) → $9\cdot 8=72$ số. Trường hợp 2: chữ số tận cùng là 2, 4, 6 hoặc 8 (4 cách), chữ số hàng trăm có 8 cách (khác 0 và khác chữ số tận cùng), chữ số hàng chục có 8 cách → $4\cdot 8\cdot 8=256$ số. Tổng: $72+256=328$ số, khớp với đáp án nguồn 328.

a) Chọn 5 hs trong đó có 2 nam và 3 nữ: $C_{15}^2.C_{20}^3=119.700$ cách (0,5đ). b) Chọn 5hs luôn có cả nam và nữ: $C_{35}^5-\left(C_{15}^5+C_{20}^5\right)=306.125$ (0,25đ).

(AI giải đề cho tôi)
Bạn An chọn 1 quyển sách từ 5 quyển Tiếng Anh hoặc 6 quyển Toán. Theo quy tắc cộng, số cách chọn là $5+6=11$ cách. Đáp án khớp với đáp án nguồn (Câu 5, Mã đề 101: A).

(AI giải đề cho tôi)
Tổ 1 có tất cả $6+5=11$ học sinh. Chọn 2 học sinh để trực nhật (không phân biệt vai trò, thứ tự) là chọn tổ hợp 2 phần tử từ 11 phần tử: $C_{11}^2=\frac{11\cdot 10}{2}=55$ cách. Vậy đáp án là C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 7: C).

- Công đoạn 1: Chọn 3 tem thư, 3 bì thư có: $C_5^3\cdot C_6^3$ (cách) - Công đoạn 2: Số cách dán 3 tem thư lên 3 bì thư đã chọn có $3\cdot 2\cdot 1=6$ cách. (Bì thư 1 có 3 cách chọn tem, bì thư 2 còn 2 cách chọn tem, bì thư 3 còn 1 cách chọn tem) Vậy có: $6\cdot C_5^3\cdot C_6^3=1200$. Đáp án: 1200

Có 24 quyển sách trên kệ nên sẽ có 24 cách chọn 1 quyển sách (Không có điều kiện gì thêm). Chọn đáp án A

1. Gọi số được tạo có dạng là $\overline{abcde}$ thỏa điều kiện $\{\begin{array}{l}a\ne 0\\ a\ne b\ne c\ne d\ne e\\ e\in \{0;2;8\}\end{array}$. Trường hợp 1: $e=0$ thì ta có $A_5^4=120$ (Dùng chỉnh hợp bởi vì tập còn 5 chữ số khác 0 nên ta sẽ chọn ra 4 số từ 5 số còn lại và xếp vào 4 vị trí của 4 chữ số $a,b,c,d$ (do có sự phân biệt)) (cách tạo). Trường hợp 2: $e=2$ thì ta có: $4\cdot A_4^3=96$ (Trong đó $a$ có 4 cách chọn và 3 số $b,c,d$ có $A_4^3$ cách chọn). Trường hợp 3: $e=8$ thì ta có: $4\cdot A_4^3=96$ (Trong đó $a$ có 4 cách chọn và 3 số $b,c,d$ có $A_4^3$ cách chọn). Vậy có $120+96+96=312$ cách tạo. 2. Không gian mẫu của phép thử là: $n(\Omega )=C_{100}^3$. Đếm số kết quả thuận lợi: Để tổng của 2 số trong bộ số đó gấp đôi số còn lại thì 2 số đó phải cùng lẻ hoặc cùng chẵn để tổng của chúng chẵn (gấp đôi số còn lại). Trường hợp 1: Có 2 số cùng lẻ có $C_{50}^2$ (cách) (Do từ 1 đến 100 có 50 số lẻ). Trường hợp 2: Có 2 số cùng chẵn có $C_{50}^2$ (cách) (Do từ 1 đến 100 có 50 số chẵn). Vậy số kết quả thuận cho biến cố là: $2\cdot C_{50}^2$. Suy ra xác suất bằng $\frac{2\cdot C_{50}^2}{C_{100}^3}=\frac{1}{66}$. Đáp án: $312;\frac{1}{66}$

Gọi số được lập có dạng là $\overline{abcde}$ với $a\ne b\ne c\ne c\ne d\ne e$ và $a\ne 0$. Vậy có $A_9^5=15120$ (chọn ra 5 số từ trong tập và phân vào 5 vị trí của 5 chữ số). Chọn đáp án (B)

Số cách chọn 1 học sinh nam và 1 học sinh nữ là: $C_{20}^1\cdot C_{15}^1=300$ trong đó $C_{20}^1$ là số cách chọn 1 học sinh nam và $C_{15}^1$ là số cách chọn 1 học sinh nữ. Chọn đáp án (A)

Chọn đáp án (B). (Nguồn không cung cấp nội dung lời giải chi tiết cho câu này.)

Có $C_{10}^2=45$. (Nguồn không ghi dòng "Chọn đáp án"; kết quả 45 theo lời giải không khớp với bất kỳ phương án nào trong A–D, nên đáp án chính thức được để không xác định.)

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa tổ hợp: $C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ với $1\le k\le n$. Kiểm tra: các phương án A, B, C đều sai vì mẫu/tử bị đảo hoặc sai vị trí giai thừa. Vậy đáp án đúng là D.