Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quy tắc đếm, hoán vị/chỉnh hợp/tổ hợp (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Lớp 10A có 19 học sinh nữ và 28 học sinh nam, tổng cộng $19+28=47$ học sinh. Chọn một học sinh bất kỳ để tham gia cuộc thi có đúng $47$ cách chọn (quy tắc cộng). Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 2: B).

(AI giải đề cho tôi)
Coi 3 bạn nữ là một khối, ta có 5 nam + 1 khối = 6 đối tượng xếp thành hàng: $6!$ cách. Trong khối, 3 bạn nữ xếp kề nhau: $3!$ cách. Tổng số cách là $6!\cdot 3!=720\cdot 6=4320$. Khớp với đáp án C và bảng đáp án mã đề 101 (câu 9: C).

(AI giải đề cho tôi)
Vì chọn một học sinh thuộc lớp 11A HOẶC lớp 12B (hai hành động không thể xảy ra đồng thời), theo quy tắc cộng số cách chọn là $31+22=53$ cách. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Đa giác đều 10 cạnh có 10 đỉnh. Mỗi tam giác tương ứng với cách chọn 3 đỉnh trong 10 đỉnh, nên số tam giác là $C_{10}^3=\frac{10!}{3!7!}=\frac{10\cdot 9\cdot 8}{6}=120$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai. Ba khối sách (Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh) có thể hoán vị cho nhau: số cách là $3!\cdot 4!\cdot 5!\cdot 6!=6\cdot 24\cdot 120\cdot 720=1244160$, không phải $4!\cdot 5!\cdot 6!$ (thiếu hoán vị 3 khối loại sách).
b) Sai. 15 quyển sách đôi một khác nhau xếp thành hàng ngang có $15!=1307674368000$ cách, không phải 15.
c) Đúng. Chọn 2 trong 4 sách Toán, 1 trong 5 sách Ngữ Văn, 2 trong 6 sách Tiếng Anh: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{1}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{2}\right)=6\cdot 5\cdot 15=450$.
d) Đúng. Chọn 3 trong 4 sách Toán rồi tặng cho 3 người (có phân biệt người nhận): $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{3}\right)\cdot 3!=4\cdot 6=24$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Số cách là $3!\cdot 4!\cdot 5!\cdot 6!$ vì 3 khối sách cùng loại có thể đổi chỗ cho nhau; thiếu $3!$ nên khẳng định $4!\cdot 5!\cdot 6!$ là sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
15 quyển đôi một khác nhau xếp thành hàng: $15!$ cách, không phải 15.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{1}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{2}\right)=6\cdot 5\cdot 15=450$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{3}\right)\cdot 3!=4\cdot 6=24$.

(AI giải đề cho tôi)
Số chẵn nên chữ số tận cùng là 0, 2, 4 hoặc 6.
- Tận cùng là 0: chọn 3 chữ số khác từ 6 chữ số còn lại xếp vào 3 vị trí đầu: $6\cdot 5\cdot 4=120$.
- Tận cùng là 2, 4 hoặc 6 (3 trường hợp): chữ số đầu khác 0 và khác chữ số tận cùng nên có 5 cách; hai vị trí còn lại chọn từ 5 chữ số còn lại: $5\cdot 5\cdot 4=100$ mỗi trường hợp, tổng $3\cdot 100=300$.
Tổng: $120+300=420$ số.

(AI giải đề cho tôi)
Số cần lập có 3 chữ số khác nhau được chọn từ 3 chữ số 4; 5; 6, tức là số cách sắp xếp thứ tự 3 phần tử: $A_3^3=3!=6$. Các số đó là: 456, 465, 546, 564, 645, 654. Vậy có 6 số, khớp với đáp án B trong bảng đáp án (mã đề 1002, câu 10: B).

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số hoa là 13 (7 trắng, 6 hồng). a) Số cách chọn 5 hoa bất kỳ là $C_{13}^5=1287$; số cách chọn 5 hoa đều trắng là $C_7^5=21$; vậy số cách có ít nhất một hoa hồng là $1287-21=1266\ne 266$ → sai. b) Chọn 5 hoa bất kỳ từ 13 hoa: đúng $C_{13}^5$ cách → đúng. c) Chọn 2 trắng từ 7 và 3 hồng từ 6: $C_7^2\cdot C_6^3$ → đúng. d) Chọn 5 hoa trắng từ 7: $C_7^5$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Số cách chọn 5 hoa bất kỳ: $C_{13}^5=1287$; số cách chọn 5 hoa đều trắng: $C_7^5=21$. Số cách có ít nhất một hoa hồng là $1287-21=1266$ cách, không phải 266 cách.
b) (AI giải đề cho tôi)
Chọn 5 hoa bất kỳ từ 13 hoa: $C_{13}^5$ cách.
c) (AI giải đề cho tôi)
Chọn 2 hoa trắng từ 7 và 3 hoa hồng từ 6: $C_7^2\cdot C_6^3$ cách.
d) (AI giải đề cho tôi)
Chọn 5 hoa trắng từ 7 hoa trắng: $C_7^5$ cách.

(AI giải đề cho tôi)
Kết quả cuộc đua xác định bởi thứ tự của 3 con ngựa (nhanh nhất, nhanh nhì, nhanh thứ ba) chọn từ 11 con ngựa, thứ tự có ý nghĩa nên đây là chỉnh hợp chập 3 của 11 phần tử: $A_{11}^3=11\cdot 10\cdot 9=990$. Vậy có 990 kết quả có thể xảy ra.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 4 viên bi xanh từ 8 viên: $C_8^4$ cách; chọn 2 viên bi đỏ từ 15 viên: $C_{15}^2$ cách. Theo quy tắc nhân, số cách chọn 6 viên bi gồm 4 xanh và 2 đỏ là $C_8^4\cdot C_{15}^2$. Khớp với đáp án A (đáp án của đề 1002, câu 4 là A).

(AI giải đề cho tôi)
Thầy Hùng có tất cả $6+5=11$ cây bút. Chọn 1 cây bất kỳ trong 11 cây nên có $C_{11}^1=11$ cách chọn. Vậy đáp án là D, trùng với đáp án nguồn (đề 1002, câu 7: D).

(AI giải đề cho tôi)
Công thức đúng của tổ hợp là $C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$. Mệnh đề B viết $C_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}$ (thiếu $k!$) nên SAI. Các mệnh đề A, C, D đều đúng: $P_n=n!$, $C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$, $A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}$. Khớp với đáp án nguồn (đề 1002, câu 9: B).

(AI giải đề cho tôi)
Số cần lập có 3 chữ số khác nhau lấy từ tập {1; 2; 3}, tức là một hoán vị của 3 phần tử: $A_3^3=3!=6$ số. Cụ thể: 123, 132, 213, 231, 312, 321. Kết quả trùng với đáp án nguồn: B.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 4 viên bi xanh từ 15 viên: $C_{15}^4$ cách; chọn 2 viên bi đỏ từ 8 viên: $C_8^2$ cách. Theo quy tắc nhân, số cách chọn 6 viên bi gồm 4 xanh và 2 đỏ là $C_{15}^4\cdot C_8^2$. Đáp án khớp với key nguồn (B).

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số hoa là 14 (6 trắng, 8 hồng). a) Chọn 5 bông có ít nhất một bông hồng = C(14,5) − C(6,5) = 2002 − 6 = 1996 cách → đúng. b) Số bó 5 bông bất kỳ là C(14,5) = 2002 ≠ 48 → sai. c) Chọn 5 bông đều hồng là tổ hợp C(8,5) = 56 cách, không phải A(8,5) (chọn không kể thứ tự) → sai. d) Chọn 2 trắng từ 6 và 3 hồng từ 8: C(6,2)·C(8,3) = 15·56 = 840 cách → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
C(14,5) − C(6,5) = 2002 − 6 = 1996 cách, đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
C(14,5) = 2002 bó, không phải 48.
c) (AI giải đề cho tôi)
Phải dùng tổ hợp C(8,5) = 56, không phải A(8,5).
d) (AI giải đề cho tôi)
C(6,2)·C(8,3) = 15·56 = 840 cách, đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Kết quả gồm 3 vị trí có thứ tự (nhất, nhì, ba) chọn từ 10 con ngựa, nên là chỉnh hợp chập 3 của 10: $A_{10}^3=10\cdot 9\cdot 8=720$. Vậy có 720 kết quả có thể xảy ra.

(AI giải đề cho tôi)
Thầy Trung có tất cả $6+7=13$ cây bút. Muốn chọn một cây bút bất kỳ trong số đó, theo quy tắc cộng, số cách chọn là $6+7=13$ cách. Đáp án khớp với đáp án nguồn (đề 1001, câu 6: B).

(AI giải đề cho tôi)
Công thức chỉnh hợp: $A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}$. Do đó mệnh đề B (viết $A_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$) là SAI. Các mệnh đề A, C, D đều đúng. Khớp đáp án nguồn: B.

Vì xếp 5 học sinh vào 5 ghế (vừa đủ) nên ta có $5!=120$ cách. Hoặc có thể hiểu theo cách khác, chọn ra 5 vị trí và xếp 5 học sinh đó vào, suy ra $A_5^5=120$ cách. Chọn đáp án C

a) (S) Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh mà có 6 học sinh nam nên có số kết quả thuận lợi của biến cố phải bằng 6. b) (Đ) Số cách chọn 3 học sinh bất kỳ từ 10 học sinh là $C_{10}^3=120$. c) (S) Không gian mẫu của phép thử là: $n(\Omega )=C_{10}^2=45$, số kết quả thuận lợi cho biến cố "chọn được 2 học sinh nữ" là $n=C_4^2=6$. Vậy $P=\frac{6}{45}=\frac{2}{15}$. d) (S) Số hàng tổng quát của biểu thức trên là: $C_5^k\cdot x^{5-k}\cdot (2y{)}^k=C_5^k\cdot 2^k\cdot x^{5-k}{y}^k$. Để tìm số hàng chứa $x^3{y}^2$ thì tìm giá trị $k$ sao cho số hàng tổng quát phải đồng bậc với $x^3{y}^2$, vậy $k=2$. Suy ra số hàng chứa $x^3{y}^2$ là $C_5^2\cdot 2^2\cdot x^3{y}^2=40x^3{y}^2$. Chọn đáp án [a sai | b đúng | c sai | d sai]
a) (S) Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh mà có 6 học sinh nam nên có số kết quả thuận lợi của biến cố phải bằng 6.
b) (Đ) Số cách chọn 3 học sinh bất kỳ từ 10 học sinh là $C_{10}^3=120$.
c) (S) Không gian mẫu của phép thử là: $n(\Omega )=C_{10}^2=45$, số kết quả thuận lợi cho biến cố "chọn được 2 học sinh nữ" là $n=C_4^2=6$. Vậy $P=\frac{6}{45}=\frac{2}{15}$.
d) (S) Số hàng tổng quát của biểu thức trên là: $C_5^k\cdot x^{5-k}\cdot (2y{)}^k=C_5^k\cdot 2^k\cdot x^{5-k}{y}^k$. Để tìm số hàng chứa $x^3{y}^2$ thì tìm giá trị $k$ sao cho số hàng tổng quát phải đồng bậc với $x^3{y}^2$, vậy $k=2$. Suy ra số hàng chứa $x^3{y}^2$ là $C_5^2\cdot 2^2\cdot x^3{y}^2=40x^3{y}^2$.