Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quy tắc đếm, hoán vị/chỉnh hợp/tổ hợp (Toán học Lớp 10)

TH1: 1 viên đỏ, 2 viên trắng hoặc đen: có $C_2^1.C_{13}^2=156$ cách. TH2: 2 viên đỏ, 1 viên trắng hoặc đen: có $C_2^2.C_{13}^1=13$ cách. Số cách để chọn ra 3 viên bi trong đó có ít nhất một viên bi đỏ là $156+13=169$ (cách chọn). Đúng 1 trường hợp: 0,25.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 2 học sinh gồm 1 nam và 1 nữ: có $C_6^1\cdot C_4^1=6\cdot 4=24$ cách. Vậy đáp án A, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1002, câu 5: A).

(AI giải đề cho tôi)
Cử một học sinh thuộc lớp 10A hoặc lớp 10B: áp dụng quy tắc cộng, số cách là $36+35=71$. Khớp đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Việc cử một học sinh thuộc lớp 10A hoặc lớp 10B là phép cộng: có $36+35=71$ cách. Đáp án B, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Số cách chọn 2 học sinh trực nhất từ 48 học sinh là tổ hợp: $C_{48}^2=\frac{48\cdot 47}{2}=1128$. Vậy đáp án C, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1001, câu 10: C).

(AI giải đề cho tôi)
Nhóm có 5 nam, 4 nữ (tổng 9 bạn).
a) Sắp xếp 4 bạn nữ thành hàng ngang: số hoán vị là $4!=24$ cách → Đúng.
b) Chọn nhóm 3 bạn gồm 2 nam và 1 nữ: $C_5^2\cdot C_4^1=10\cdot 4=40$ cách → Đúng.
c) Chọn ngẫu nhiên 1 bạn từ 9 bạn, không gian mẫu có 9 phần tử; số kết quả thuận lợi (bạn nữ) là 4 nên $P=\frac{4}{9}$ → Đúng.
d) Số bạn nam là 5 nên $P(\text{nam})=\frac{5}{9}\ne \frac{4}{9}$ → Sai. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Đ Đ Đ S).
a) (AI giải đề cho tôi)
Số cách sắp xếp 4 bạn nữ thành một hàng ngang là hoán vị của 4 phần tử: $4!=24$ cách.
b) (AI giải đề cho tôi)
Chọn 2 nam từ 5 nam và 1 nữ từ 4 nữ: $C_5^2\cdot C_4^1=10\cdot 4=40$ cách.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tổng số bạn là 9, số bạn nữ là 4 nên xác suất chọn được bạn nữ là $\frac{4}{9}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Số bạn nam là 5 nên xác suất chọn được bạn nam là $\frac{5}{9}$, không phải $\frac{4}{9}$.

(AI giải đề cho tôi)
Số cần lập gồm 4 chữ số khác nhau chọn từ 8 chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8. Vì các chữ số phải khác nhau và thứ tự quan trọng, đây là chỉnh hợp chập 4 của 8 phần tử: $A_8^4=8\cdot 7\cdot 6\cdot 5=1680$. Vậy lập được 1680 số, khớp với đáp án nguồn (1680).

(AI giải đề cho tôi)
Đa giác $ABCDE$ có 5 đỉnh. Mỗi vectơ xác định bởi điểm đầu và điểm cuối là hai đỉnh khác nhau: có $5\times 4=20$ cách chọn (điểm đầu 5 cách, điểm cuối 4 cách còn lại). Vectơ này luôn khác $\vec{0}$ vì điểm đầu khác điểm cuối. Vậy có 20 vectơ, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1001, Phần III câu 2 = 20).

Đi từ A đến B có 4 con đường. Đi từ B đến C có 2 con đường. Đi từ C đến D có 3 con đường. Số cách đi từ A đến D mà qua B và C chỉ một lần: 4.2.3 = 24. (Lưu ý: hình vẽ ở trang đề có thể hiển thị 3 đường nối A–B, nhưng hình vẽ kèm đáp án chính thức ở trang 7 thể hiện rõ 4 đường nối A–B, nhất quán với lời giải 4.2.3 = 24.)

TH1: 1 viên đỏ, 2 viên trắng hoặc đen: có $C_2^1.C_{13}^2=156$ cách. TH2: 2 viên đỏ, 1 viên trắng hoặc đen: có $C_2^2.C_{13}^1=13$ cách. Số cách để chọn ra 3 viên bi trong đó có ít nhất một viên bi đỏ là $156+13=169$ (cách chọn). Đúng 1 trường hợp: 0,25.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 2 học sinh gồm 1 nam và 1 nữ: có $C_6^1\cdot C_4^1=6\cdot 4=24$ cách. Vậy đáp án C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1001, câu 4: C).

a) Gọi số chẵn có 5 chữ số đôi một khác nhau cần lập là $\overline{abcde}$.
TH1: $\overline{abcd0}$ có $A_4^3=120$ số.
TH2: $\overline{abcde}$, $e\in \{2,4\}$, nên có 2 cách chọn $e$, có 4 cách chọn $a$ nên có $\mathrm{2.4.}{A}_4^3=192$ số.
Vậy tất cả có $120+192=312$ số. (1,5 điểm)

b) Số cách lập được số tự nhiên gồm 9 chữ số trong đó chữ số 2 xuất hiện ba lần, chữ số 4 xuất hiện hai lần và các chữ số còn lại mỗi chữ số chỉ xuất hiện đúng một lần bao gồm cả chữ số 0 ở vị trí đầu tiên là $\frac{9!}{3!2!}=30240$ số. (0,5 điểm)

Số cách lập được số tự nhiên gồm 9 chữ số trong đó chữ số 2 xuất hiện ba lần, chữ số 4 xuất hiện hai lần và các chữ số còn lại mỗi chữ số chỉ xuất hiện đúng một lần và chữ số 0 ở vị trí đầu tiên là $\frac{8!}{3!2!}=3360$ số.
Vậy có $30240-3360=26880$ số. (1,0 điểm)

Chú ý: Học sinh làm theo cách khác nhưng đúng vẫn cho điểm tối đa.

Chọn đường từ $A$ đến $B$: có 4 cách. Chọn đường từ $B$ đến $C$: có 2 cách. Theo quy tắc nhân có tất cả $4\times 2=8$ cách.

Trường hợp 1: Lấy được 3 quả cầu xanh từ 3 hộp, số cách lấy: $C_3^1{C}_4^1{C}_5^1=60$. Trường hợp 2: Lấy được 3 quả cầu đỏ từ 3 hộp, số cách lấy: $C_4^1{C}_3^1{C}_5^1=60$. Trường hợp 3: Lấy được 3 quả cầu trắng từ 3 hộp, số cách lấy: $C_5^1{C}_6^1{C}_2^1=60$. Có $60.3=180$ cách lấy được 3 quả cùng màu từ 3 hộp.

(AI giải đề cho tôi)
Việc chọn một cây bút chì và một cuốn tập gồm hai công đoạn: chọn 1 trong 7 cây bút chì (7 cách) và chọn 1 trong 6 cuốn tập (6 cách). Theo quy tắc nhân, số cách chọn là $7\times 6=42$. Đáp án B, khớp với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 10: B).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa chỉnh hợp, số cách chọn và sắp thứ tự $k$ phần tử từ $n$ phần tử là $A_n^k=n(n-1)\cdots (n-k+1)=\frac{n!}{(n-k)!}$ với $0\le k\le n$. Do đó đáp án đúng là B. Kiểm tra: với $k=n$ thì $A_n^n=n!$, khớp công thức $\frac{n!}{0!}=n!$. Phương án A là công thức của tổ hợp $C_n^k$, không phải chỉnh hợp. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 11: B).

(AI giải đề cho tôi)
Lớp 10D có 29 học sinh nữ và 13 học sinh nam, tổng cộng $29+13=42$ học sinh. Chọn 1 học sinh bất kỳ để tham gia cuộc thi có số cách là: $29+13=42$ cách (quy tắc cộng). Vậy đáp án là C, khớp với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 5: C).

(AI giải đề cho tôi)
Coi 3 bạn nam là một khối, ghép với 4 bạn nữ thành 5 đối tượng xếp hàng: $5!$ cách. Trong khối, 3 nam xếp với nhau: $3!$ cách. Tổng: $5!\cdot 3!=120\cdot 6=720$ cách, tức $5!\cdot 3!$. Khớp đáp án A (mã đề 102, đáp án câu 7 là A).

(AI giải đề cho tôi)
Việc chọn một cây bút chì và một cuốn tập là quy tắc nhân: có 5 cách chọn bút chì và 8 cách chọn tập, nên số cách chọn là $5\times 8=40$. Đáp án D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 10: D).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa tổ hợp, với $0\le k\le n$ ta có $C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$. Kiểm tra: với $k=0$ hoặc $k=n$ thì $C_n^k=1$, đúng với công thức này. Các phương án B, C, D đều sai vì mẫu/tử không khớp định nghĩa (ví dụ B cho $C_n^0=\frac{1}{n!}\ne 1$). Đáp án trùng với bảng đáp án mã đề 101, câu 11: A.