Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quy tắc đếm, hoán vị/chỉnh hợp/tổ hợp (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Dùng bù trừ. Tổng số cách chọn 7 từ 15 học sinh: $C_{15}^7=6435$. Số cách chọn không có khối A: $C_{11}^7=330$; không có khối B: $C_{10}^7=120$; không có khối C: $C_9^7=36$. Không thể chọn 7 học sinh chỉ từ một khối (vì mỗi khối có ít hơn 7 học sinh), nên không cần cộng lại. Kết quả: $6435-330-120-36=5949$. Khớp với đáp án nguồn 5949.

Xét số có hình thức $\overline{0bcde}$. Số cách hoán đổi vị trí hai chữ số 1, 4 (cùng nhóm $X$) là 2. Số cách hoán đổi vị trí của $X$ với các chữ số 2, 3 là: $3!$. Vậy số các số được lập theo hình thức này là $2.3!=12$.

Xét số có hình thức $\overline{abcde}$ trong đó $a$ được phép bằng 0. Số cách hoán đổi vị trí của hai chữ số 1, 4 (cùng nhóm $X$) là 2. Số cách hoán đổi vị trí của $X$ với các chữ số 0, 2, 3 là: $4!$. Số các số được lập theo hình thức này là $2.4!=48$.

Vậy số các số tự nhiên thỏa mãn đề bài là $48-12=36$. (0,25 + 0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số cách chọn 3 học sinh từ 7 em là $C_7^3=35$. Số cách chọn 3 học sinh trong đó không có nữ (tức cả 3 đều nam) là $C_5^3=10$. Vậy số cách chọn 3 học sinh có cả nam và nữ là $35-10=25$. Đáp án A, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Nhóm có 5 nam, 3 nữ (tổng 8 học sinh).
a) Xếp 3 học sinh nữ thành hàng dọc: số cách là $3!=6$, không phải $8!$. → Sai.
b) Chọn 1 nam và 1 nữ: $5\times 3=15$ cách, không phải 20. → Sai.
c) Chọn ngẫu nhiên 2 nam từ 5 nam: không gian mẫu có $C_5^2=10$ phần tử. → Đúng.
d) Chọn 2 học sinh từ 8: $C_8^2=28$. Xác suất chọn được 1 nam và 1 nữ: $\frac{C_5^1\cdot C_3^1}{C_8^2}=\frac{15}{28}\ne \frac{3}{64}$. → Sai.
Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) S, b) S, c) Đ, d) S.
a) (AI giải đề cho tôi)
Xếp 3 học sinh nữ thành hàng dọc có $3!=6$ cách, không phải $8!$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Số cách chọn 1 nam và 1 nữ là $5\times 3=15$, không phải 20.
c) (AI giải đề cho tôi)
Chọn 2 nam từ 5 nam: không gian mẫu có $C_5^2=10$ phần tử.
d) (AI giải đề cho tôi)
Xác suất là $\frac{C_5^1{C}_3^1}{C_8^2}=\frac{15}{28}\ne \frac{3}{64}$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 3 bi khác màu nghĩa là chọn đúng 1 bi mỗi màu. Số cách chọn 1 bi xanh là 7, 1 bi đỏ là 5, 1 bi vàng là 6. Theo quy tắc nhân, số cách chọn là $7\cdot 5\cdot 6=210$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (210).

(AI giải đề cho tôi)
Tổng các phần tử của $X=\{1;2;3;4;5;6;7\}$ là $1+2+3+4+5+6+7=28$. Số cần lập có 6 chữ số khác nhau từ $X$, tức là bỏ đi đúng một phần tử $d\in X$. Số được lập chia hết cho 3 khi tổng các chữ số của nó chia hết cho 3, tức $28-d\equiv 0(\mathrm{mod}3)$. Vì $28\equiv 1(\mathrm{mod}3)$ nên $d\equiv 1(\mathrm{mod}3)$, suy ra $d\in \{1;4;7\}$: có 3 cách chọn chữ số bị bỏ. Với mỗi cách chọn, có $6!=720$ cách sắp xếp 6 chữ số còn lại thành số có 6 chữ số khác nhau. Vậy tổng số số thỏa mãn là $3\cdot 720=2160$, trùng với đáp án nguồn (2160).

(AI giải đề cho tôi)
Theo quy tắc nhân: Tâm có 5 cách đi từ nhà mình đến nhà Huyền, sau đó có 6 cách đi từ nhà Huyền đến nhà Linh. Vậy tổng số cách đi từ nhà Tâm đến nhà Linh qua nhà Huyền là $5\times 6=30$ cách. Đáp án B, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Số tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử là $C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$, khớp với đáp án B (đáp án A là công thức chỉnh hợp, C thiếu $k!$, D sai).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 3 học sinh trực từ 40 học sinh là chọn tổ hợp 3 phần tử từ 40 (thứ tự không quan trọng): $C_{40}^3=\frac{40!}{3!\cdot 37!}=\frac{40\cdot 39\cdot 38}{6}=\frac{59280}{6}=9880$. Vậy đáp án C, trùng với đáp án nguồn (Câu 9: C).

(AI giải đề cho tôi)
Số tập hợp con gồm 3 phần tử của tập $A$ có 8 phần tử là số tổ hợp chập 3 của 8 phần tử: $C_8^3=\frac{8!}{3!5!}=56$. Đây là chọn 3 phần tử không kể thứ tự, nên không dùng chỉnh hợp $A_8^3$. Đáp án khớp với đáp án nguồn (Đề 102, Câu 10: D).

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác cần 3 đỉnh không thẳng hàng. Vì các điểm trên cùng một đường thẳng thẳng hàng nên tam giác phải có 2 đỉnh trên một đường thẳng và 1 đỉnh trên đường thẳng kia. Số tam giác có 2 đỉnh trên $m$ và 1 đỉnh trên $n$: $C_{11}^2\cdot 9=55\cdot 9=495$. Số tam giác có 2 đỉnh trên $n$ và 1 đỉnh trên $m$: $C_9^2\cdot 11=36\cdot 11=396$. Tổng: $495+396=891$ tam giác. Khớp với đáp án đề cho.

(AI giải đề cho tôi)
Đội bóng rổ: 4 nữ, 5 nam; đội bóng đá: 6 nam; hai đội rời nhau.
a) Đúng: chọn 3 nữ từ 4 nữ của đội bóng rổ: $C_4^3=4$ cách.
b) Sai: chọn 3 nam trong đội bóng đá (6 người) trong đó 1 người làm đội trưởng: $C_6^3\cdot 3=20\cdot 3=60$ cách, không phải 20.
c) Sai: phải nhân chứ không cộng: $C_5^2\cdot C_6^1=10\cdot 6=60$ cách.
d) Đúng: cần đội 3 người có đủ 2 môn và đủ cả nam, nữ. Vì đội bóng đá toàn nam nên phải có ít nhất 1 nữ (thuộc bóng rổ) và ít nhất 1 người bóng đá.
- TH1: 1 người bóng đá + 2 người bóng rổ có ít nhất 1 nữ: $C_6^1\left(C_9^2-C_5^2\right)=6(36-10)=156$.
- TH2: 2 người bóng đá + 1 nữ bóng rổ: $C_6^2\cdot 4=15\cdot 4=60$.
Tổng: $156+60=216$ cách.
a) (AI giải đề cho tôi)
Chọn 3 nữ từ 4 nữ đội bóng rổ: $C_4^3=4$ cách, đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Chọn 3 nam từ 6 người đội bóng đá và cử 1 đội trưởng: $C_6^3\cdot 3=60$ cách, không phải 20.
c) (AI giải đề cho tôi)
Phải là tích: $C_5^2\cdot C_6^1=60$ cách, không phải tổng $C_5^2+C_6^1=16$.
d) (AI giải đề cho tôi)
TH1: 1 bóng đá + 2 bóng rổ (có nữ): $6\cdot (C_9^2-C_5^2)=156$; TH2: 2 bóng đá + 1 nữ bóng rổ: $C_6^2\cdot 4=60$. Tổng $216$ cách.

Số cách xếp 10 người tùy ý là $10!=3628800$. Ta tìm số cách xếp sao cho có ít nhất 1 cặp anh em sinh đôi ngồi cạnh nhau. Ta xét 3 trường hợp sau:

Trường hợp 1: "cặp anh em sinh đôi thứ nhất ngồi cạnh nhau và cặp anh em sinh đôi thứ hai ngồi cạnh nhau". Có 2! cách xếp cặp anh em sinh đôi thứ nhất ngồi cạnh nhau. Có 2! cách xếp cặp anh em sinh đôi thứ hai ngồi cạnh nhau. Khi đó, có 8! cách sắp xếp thứ tự của 2 cặp anh em sinh đôi này và 6 người còn lại. Suy ra, TH1 có $2!\cdot 2!\cdot 8!=161280$ cách.

Trường hợp 2: "cặp anh em sinh đôi thứ nhất ngồi cạnh nhau và cặp anh em sinh đôi thứ hai không ngồi cạnh nhau". Có 2! cách xếp cặp anh em sinh đôi thứ nhất ngồi cạnh nhau. Có 7! cách xếp thứ tự cặp anh em sinh đôi thứ nhất và 6 người còn lại. Khi đó tạo ra 8 khoảng trống. Có $A_8^2$ cách xếp 2 anh em sinh đôi của cặp thứ hai vào 2 trong 8 khoảng trống này. Suy ra TH2 có $2!\cdot 7!\cdot A_8^2=564480$ cách.

Trường hợp 3: "cặp anh em sinh đôi thứ hai ngồi cạnh nhau và cặp anh em sinh đôi thứ nhất không ngồi cạnh nhau". Tương tự như TH2, có $2!\cdot 7!\cdot A_8^2=564480$ cách.

Suy ra, số cách xếp thoả yêu cầu bài toán là $3628800-161280-2\cdot 564480=2338560$ cách xếp.

(AI giải đề cho tôi)
Số tập hợp con có 4 phần tử của tập hợp có 7 phần tử là số tổ hợp chập 4 của 7 phần tử: $C_7^4=\frac{7!}{4!3!}=35$. Đây là chọn 4 phần tử không kể thứ tự, nên không dùng chỉnh hợp $A_7^4$. Đáp án khớp với đáp án nguồn (Đề 101, Câu 10: A).

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác cần 3 đỉnh không thẳng hàng. Vì các điểm trên cùng một đường thẳng không lập được tam giác, mỗi tam giác phải có 2 điểm trên một đường và 1 điểm trên đường kia. Trường hợp 1: 2 điểm trên $a$ và 1 điểm trên $b$: $C_{10}^2\cdot 15=45\cdot 15=675$. Trường hợp 2: 1 điểm trên $a$ và 2 điểm trên $b$: $10\cdot C_{15}^2=10\cdot 105=1050$. Tổng: $675+1050=1725$ tam giác. Kết quả khớp với đáp án nguồn là C.

(AI giải đề cho tôi)
Đội bóng rổ: 3 nữ, 7 nam; đội bóng đá: 4 nam; hai nhóm rời nhau.
a) Chọn 3 học sinh nữ trong đội bóng rổ: chỉ có $C_3^3=1$ cách, không phải 3 cách → Sai.
b) Chọn 3 nam trong đội bóng đá: $C_4^3=4$ cách → Đúng.
c) Chọn 2 nam bóng rổ và 1 nam bóng đá phải nhân (quy tắc nhân): $C_7^2\cdot C_4^1=21\cdot 4=84$ cách, không phải $C_7^2+C_4^1=25$ → Sai.
d) Đội 3 người có đủ 2 môn và đủ cả nam, nữ:
- 2 học sinh bóng rổ + 1 nam bóng đá: cặp bóng rổ phải có ít nhất 1 nữ: $C_3^1{C}_7^1+C_3^2=21+3=24$ cặp; nhân với $C_4^1=4$ cách chọn nam bóng đá: $24\cdot 4=96$ cách.
- 1 học sinh bóng rổ + 2 nam bóng đá: học sinh bóng rổ phải là nữ: $3\cdot C_4^2=3\cdot 6=18$ cách.
Tổng: $96+18=114$ cách $\ne 84$ → Sai.
Khớp với đáp án nguồn: a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Chọn 3 nữ trong 3 nữ đội bóng rổ: $C_3^3=1$ cách, không phải 3 cách.
b) (AI giải đề cho tôi)
Chọn 3 nam trong 4 nam đội bóng đá: $C_4^3=4$ cách.
c) (AI giải đề cho tôi)
Phải nhân: $C_7^2\cdot C_4^1=84$, không phải tổng $C_7^2+C_4^1=25$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đếm đúng là $24\cdot 4+3\cdot C_4^2=96+18=114$ cách $\ne 84$ → Sai.

Số cách xếp 10 người tùy ý là $10!=3628800$. Ta tìm số cách xếp sao cho có ít nhất 1 cặp anh em sinh đôi ngồi cạnh nhau. Ta xét 3 trường hợp sau:

Trường hợp 1: "cặp anh em sinh đôi thứ nhất ngồi cạnh nhau và cặp anh em sinh đôi thứ hai ngồi cạnh nhau". Có 2! cách xếp cặp anh em sinh đôi thứ nhất ngồi cạnh nhau. Có 2! cách xếp cặp anh em sinh đôi thứ hai ngồi cạnh nhau. Khi đó, có 8! cách sắp xếp thứ tự của 2 cặp anh em sinh đôi này và 6 người còn lại. Suy ra, TH1 có 2!.2!.8! = 161280 cách.

Trường hợp 2: "cặp anh em sinh đôi thứ nhất ngồi cạnh nhau và cặp anh em sinh đôi thứ hai không ngồi cạnh nhau". Có 2! cách xếp cặp anh em sinh đôi thứ nhất ngồi cạnh nhau. Có 7! cách xếp thứ tự cặp anh em sinh đôi thứ nhất và 6 người còn lại. Khi đó tạo ra 8 khoảng trống. Có $A_8^2$ cách xếp 2 anh em sinh đôi của cặp thứ hai vào 2 trong 8 khoảng trống này. Suy ra TH2 có $2!.7!.A_8^2=564480$ cách.

Trường hợp 3: "cặp anh em sinh đôi thứ hai ngồi cạnh nhau và cặp anh em sinh đôi thứ nhất không ngồi cạnh nhau". Tương tự như TH2, có $2!.7!.A_8^2=564480$ cách.

Suy ra, số cách xếp thoả yêu cầu bài toán là $3628800-161280-2.564480=2338560$ cách xếp.

a) Sai. Lấy ra 2 viên bi màu xanh thì có $C_3^2=3$ cách.
b) Sai. Lấy ra 2 viên bi màu vàng thì có $C_4^2=6$ cách.
c) Đúng. Lấy ra 2 viên bi tùy ý $C_7^2=21$ cách.
d) Đúng. Lấy ra 2 viên bi khác màu là $C_3^1\cdot C_4^1=12$ cách.
Chọn đáp án [a sai | b sai | c đúng | d đúng]
a) Sai. Lấy ra 2 viên bi màu xanh thì có $C_3^2=3$ cách.
b) Sai. Lấy ra 2 viên bi màu vàng thì có $C_4^2=6$ cách.
c) Đúng. Lấy ra 2 viên bi tùy ý $C_7^2=21$ cách.
d) Đúng. Lấy ra 2 viên bi khác màu là $C_3^1\cdot C_4^1=12$ cách.

Mỗi cách xếp một tiểu đội gồm 5 bạn học sinh thành một hàng dọc là một hoán vị của 5 phần tử. Vậy có $5!=120$ cách.

Xét hình 1:
Số cách chọn một số vào kí tự $C$ là $C_{10}^1=10$ cách.
Số cách chọn các số vào 4 kí tự $D$ là $C_9^1=9$ cách
Theo quy tắc nhân thì có $10\cdot 9=90$ cách. Tức là có 90 bảng số xe “Đẹp”.
Xét hình 2:
Số cách chọn các số vào 5 kí tự $E$ là 9 cách. Tức là có 9 bảng số xe “Đẹp”.
Vậy xã Bình Sơn có $90+9=99$ bảng số xe “Đẹp”.