Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quy tắc đếm, hoán vị/chỉnh hợp/tổ hợp (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Mỗi hình chữ nhật được tạo bởi 2 trong 4 đường thẳng song song (làm hai cạnh đối) và 2 trong 3 đường thẳng song song vuông góc (làm hai cạnh còn lại). Số cách: $C_4^2\cdot C_3^2=6\cdot 3=18$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (18).

(AI giải đề cho tôi)
Số cần lập có 4 chữ số khác nhau lấy từ 4 chữ số 2, 4, 5, 7, tức là một hoán vị của 4 phần tử: $4!=4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=24$. Vậy có 24 số, khớp với đáp án D trong hướng dẫn chấm (đề 0102, câu 4: D).

(AI giải đề cho tôi)
Bạn Hà chọn 1 quyển từ 7 quyển Toán hoặc 6 quyển Văn. Theo quy tắc cộng: số cách chọn là $7+6=13$ cách. Kết quả khớp với đáp án nguồn là D.

(AI giải đề cho tôi)
Mật mã là dãy 6 chữ số đôi một khác nhau, chọn từ 10 chữ số 0–9 và thứ tự quan trọng, nên số cách là hoán vị chỉnh hợp: $A_{10}^6=\frac{10!}{4!}=10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5=151200$. Vậy đáp án B, trùng với đáp án của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Mật mã là dãy 6 chữ số đôi một khác nhau, chọn từ 10 chữ số 0–9, thứ tự quan trọng nên đây là chỉnh hợp chập 6 của 10: $A_{10}^6=10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5=151200$. Vậy đáp án A, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Số các số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau lập từ các chữ số 2, 4, 5, 7 là số hoán vị của 4 phần tử: $4!=4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=24$. Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (đề 0101, câu 11: B).

(AI giải đề cho tôi)
Nhóm có 4 nữ, 5 nam (tổng 9 bạn).
a) Chọn 3 bạn có đúng 1 nữ: $C_4^1\cdot C_5^2=4\cdot 10=40$ cách, không phải 4 cách → Sai.
b) Xếp 9 bạn thành hàng ngang: $9!=362880$ cách → Đúng.
c) Không gian mẫu: $C_9^3=84$. Số cách chọn 3 bạn có đúng 1 nữ là 40. Xác suất $=\frac{40}{84}=\frac{10}{21}$ → Đúng.
d) Xếp sao cho không có hai bạn nữ cạnh nhau: xếp 5 nam trước: $5!=120$ cách; có 6 khe chèn 4 nữ vào: $A_6^4=360$ cách. Tổng $=120\cdot 360=43200$ cách, không phải 2 880 → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Số cách chọn 3 bạn có đúng 1 nữ: $C_4^1{C}_5^2=40$, không phải 4.
b) (AI giải đề cho tôi)
$9!=362880$ cách xếp 9 bạn thành hàng ngang.
c) (AI giải đề cho tôi)
$P=\frac{C_4^1{C}_5^2}{C_9^3}=\frac{40}{84}=\frac{10}{21}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$5!\cdot A_6^4=120\cdot 360=43200$ cách, không phải 2 880.

(AI giải đề cho tôi)
Một hình chữ nhật được tạo bởi 2 trong 4 đường thẳng song song (làm hai cạnh đối) và 2 trong 3 đường thẳng song song vuông góc (làm hai cạnh đối còn lại). Số cách: $C_4^2\cdot C_3^2=6\cdot 3=18$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (18).

(AI giải đề cho tôi)
Quy tắc cộng: chọn 1 quyển Toán (7 cách) hoặc 1 quyển Văn (6 cách), nên có $7+6=13$ cách. Khớp đáp án nguồn C.

(AI giải đề cho tôi)
Hộp có 5 + 6 = 11 quả bóng khác nhau. Số cách lấy ngẫu nhiên 2 quả từ 11 quả là tổ hợp chập 2 của 11: $C_{11}^2=\frac{11\cdot 10}{2}=55$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 4: a) Xếp 5 học sinh nữ thành hàng ngang là hoán vị: 5! = 120 cách, không phải 5^5 = 3125 cách → sai. b) Tổng cách xếp 12 người: 12!. Xác suất 5 nữ ngồi cạnh nhau: coi 5 nữ là một khối, có 8!·5! cách, nên P = 8!·5!/12! = 1/C(12,5) = 1/792 ≠ 1/99 → sai. c) Nhóm 4 người có Hồng và ít nhất 2 nữ: chọn 3 người từ 11 người còn lại (4 nữ, 7 nam) sao cho có ít nhất 1 nữ: C(11,3) − C(7,3) = 165 − 35 = 130 cách → đúng. d) Xếp 12 người thành 3 hàng (3, 4, 5 người), mỗi vị trí trong hàng là khác nhau: chọn người cho hàng 1: A(12,3), hàng 2: A(9,4), hàng 3: 5! cách, tổng A(12,3)·A(9,4)·5! = 12! → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Xếp 5 học sinh nữ thành một hàng ngang là hoán vị của 5 phần tử: 5! = 120 cách, không phải 5^5 = 3125 cách.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tổng số cách xếp 12 người thành hàng ngang là 12!. Cách thuận: coi 5 nữ thành một khối, xếp 8 đối tượng (7 nam + 1 khối): 8! cách, trong khối xếp 5 nữ: 5! cách. Xác suất P = (8!·5!)/12! = 1/C(12,5) = 1/792 ≠ 1/99.
c) (AI giải đề cho tôi)
Nhóm 4 người luôn có Hồng: chọn thêm 3 người từ 11 người còn lại (4 nữ khác và 7 nam). Cần ít nhất 1 nữ nữa: C(11,3) − C(7,3) = 165 − 35 = 130 cách.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hàng 1 có 3 vị trí, hàng 2 có 4 vị trí, hàng 3 có 5 vị trí, các vị trí phân biệt: số cách xếp là A(12,3)·A(9,4)·5! = (12!/9!)·(9!/5!)·5! = 12! cách.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số cách lấy 3 viên từ 19 viên là $C_{19}^3=969$. Số cách lấy 3 viên cùng một màu: $C_8^3+C_6^3+C_5^3=56+20+10=86$. Vậy số cách lấy 3 viên có ít nhất hai màu là $969-86=883$.

(AI giải đề cho tôi)
Lớp có $25+15=40$ học sinh. Chọn 1 bạn làm lớp trưởng nên có $40$ cách chọn (quy tắc cộng). Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số cách chọn một áo và một cà vạt là $7\cdot 5=35$ cách. Số cách chọn không hợp lệ (áo trắng và cà vạt vàng) là $3\cdot 2=6$ cách. Vậy số cách chọn thỏa mãn 'chọn áo trắng thì không chọn cà vạt vàng' là $35-6=29$ cách. Đáp án A, trùng với đáp án nguồn (Câu 11, mã đề 1003: A).

(AI giải đề cho tôi)
Số tập con gồm 2 phần tử của tập hợp $A$ có 2024 phần tử là số tổ hợp chập 2 của 2024 phần tử, tức $C_{2024}^2=\frac{2024\cdot 2023}{2}$. Đây không phải chỉnh hợp $A_{2024}^2$ vì các tập con không xét thứ tự. Đáp án khớp với đáp án nguồn (Câu 12, mã đề 1003: D).

(AI giải đề cho tôi)
Số cần lập có 5 chữ số khác nhau, chữ số tận cùng chẵn. TH1: tận cùng là 0: có 6 cách chọn chữ số đầu tiên (từ 1 đến 6), sau đó chọn 3 chữ số từ 5 chữ còn lại: $A_5^3=60$, được $6\cdot 60=360$ số. TH2: tận cùng là 2, 4 hoặc 6 (3 cách): chữ số đầu tiên khác 0 và khác chữ số tận cùng nên có 5 cách, sau đó chọn 3 chữ từ 5 chữ còn lại: $A_5^3=60$, được $3\cdot 5\cdot 60=900$ số. Tổng: $360+900=1260$ số, khớp đáp án nguồn 1260.

Ta thấy: Cứ một điểm bất kì trên đường thẳng $d_1$ với hai điểm phân biệt trên $d_2$ hoặc cứ một điểm bất kì trên đường thẳng $d_2$ với hai điểm phân biệt trên $d_1$ tạo thành một tam giác.

Vậy tổng số tam giác thỏa mãn đề bài là $10\cdot C_n^2+n{C}_{10}^2=1725$

$\iff 5n(n-1)+45n-1725=0\iff 5n^2+40n-1725=0\iff \left[\begin{array}{c}n=15\\ n=-23\end{array}\right]$. Vậy $n=15$.

(AI giải đề cho tôi)
Học sinh chọn một đồ vật duy nhất thuộc một trong ba nhóm: bút chì (8 cách), bút bi (6 cách), tập (10 cách). Theo quy tắc cộng, số cách chọn là $8+6+10=24$. Đáp án C, trùng với đáp án nguồn (Câu 5, mã đề 1003: C).

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số cách chọn một áo và một cà vạt là $7\times 5=35$ cách. Số cách chọn không hợp lệ (áo trắng và cà vạt vàng) là $3\times 2=6$ cách. Vậy số cách chọn thỏa mãn 'chọn áo trắng thì không chọn cà vạt vàng' là $35-6=29$ cách. Đáp án A, trùng với đáp án nguồn (Câu 10, mã đề 1001: A).

Đáp án chính thức (DSDS): a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng.