Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quy tắc đếm, hoán vị/chỉnh hợp/tổ hợp (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Số cần lập có 5 chữ số khác nhau, chữ số cuối phải chẵn. TH1: chữ số cuối là 0, có 6 cách chọn chữ số đầu (1–6), 3 chữ số giữa lập từ 5 chữ số còn lại: $A_5^3=60$ → $6\cdot 60=360$. TH2: chữ số cuối là 2, 4 hoặc 6 (3 cách), chữ số đầu có 5 cách (khác 0 và khác chữ số cuối), 3 chữ số giữa: $A_5^3=60$ → $3\cdot 5\cdot 60=900$. Tổng: $360+900=1260$, khớp đáp án nguồn.

Ta thấy: Cứ một điểm bất kì trên đường thẳng $d_1$ với hai điểm phân biệt trên $d_2$ hoặc cứ một điểm bất kì trên đường thẳng $d_2$ với hai điểm phân biệt trên $d_1$ tạo thành một tam giác.

Vậy tổng số tam giác thỏa mãn đề bài là $10\cdot C_n^2+n{C}_{10}^2=1725$

$\iff 5n(n-1)+45n-1725=0\iff 5n^2+40n-1725=0\iff \left[\begin{array}{c}n=15\\ n=-23\end{array}\right]$. Vậy $n=15$.

(AI giải đề cho tôi)
Số tập con gồm 2 phần tử của tập hợp có 2024 phần tử là số cách chọn không xét thứ tự 2 phần tử từ 2024 phần tử, tức là $C_{2024}^2$. Đáp án trùng với bảng đáp án (Câu 4, mã đề 1001: B).

(AI giải đề cho tôi)
Học sinh chọn một đồ vật duy nhất: hoặc một trong 8 cây bút chì, hoặc một trong 6 cây bút bi, hoặc một trong 10 cuốn tập. Theo quy tắc cộng, số cách chọn là $8+6+10=24$. Đáp án D, trùng với đáp án nguồn (Câu 8, mã đề 1001: D).

(AI giải đề cho tôi)
Số cách chọn 3 học sinh từ 10 học sinh (không kể thứ tự) là tổ hợp: $C_{10}^3=\frac{10!}{3!\cdot 7!}=\frac{10\cdot 9\cdot 8}{6}=120$. Vậy đáp án A, trùng với đáp án của đề (mã đề 5101, câu 12: A).

(AI giải đề cho tôi)
Trên giá sách có tất cả $2+8=10$ quyển sách khác nhau. Chọn 1 quyển từ 10 quyển khác nhau có $C_{10}^1=10$ cách. Kết quả trùng với đáp án nguồn (10).

(AI giải đề cho tôi)
Số đề kiểm tra = $C(6,2)\cdot C(5,2)\cdot C(4,2)=15\cdot 10\cdot 6=900$. Khớp với đáp án nguồn (900).

(AI giải đề cho tôi)
Lớp có 17 nam + 20 nữ = 37 học sinh. Cần chọn 2 học sinh khác nhau, một người làm Lớp trưởng và một người làm Phó học tập, nên đây là chọn có thứ tự (hoán vị chập 2 của 37 phần tử): $A_{37}^2=37\cdot 36=1332$ cách. Kết quả trùng với đáp án nguồn 1332.

a) Đặt $A=\{1,2,3,4,5,6\}$. Gọi $\overline{abc}$, a, b, c $\in A$ là số tự nhiên lẻ có 3 chữ số khác nhau. Ta có c có 3 cách chọn — 0,25. Chọn a, b từ 5 số còn lại ta có $A_5^2$ cách chọn — 0,25. Vậy có $3.A_5^2=60$ số. (Ghi chú lề: Hs kết luận 60 cách, trường hợp này tha, vẫn ghi điểm)
b) Khai triển nhị thức Niu-tôn của $(x+3{)}^4$, ta có
$$(x+3{)}^4=C_4^0{x}^4+C_4^1{x}^{3}3+C_4^2{x}^2{3}^2+C_4^{3}x{3}^3+C_4^4{3}^4$$ — 0,25
$$=x^4+12x^3+54x^2+108x+81.$$ — 0,25

Gọi $d$ là trục đối xứng của hình thang cân có 4 đỉnh là đỉnh của $(H)$.
Trường hợp 1: $d$ đi qua tâm O và hai đỉnh của $(H)$.

Có 6 trục đối xứng. Ứng với mỗi trục đối xứng có $C_5^2$ hình thang (lấy 2 trong 5 đỉnh một bên rồi đối xứng qua $d$). $\Rightarrow$ Số hình thang cân tạo thành $6.C_5^2$ — 0,25
Trường hợp 2: $d$ đi qua tâm O và trung điểm hai cạnh đối diện của $(H)$.

Có 6 trục đối xứng. Ứng với mỗi trục đối xứng có $C_6^2$ hình thang (Lấy 2 trong 6 đỉnh một bên rồi đối xứng qua $d$). $\Rightarrow$ Số hình thang cân tạo thành $6.C_6^2$ — 0,25
Trong các hình thang trên có $C_6^2$ hình chữ nhật được đếm hai lần (vì mỗi hình chữ nhật có 2 trục đối xứng).
Vậy đáp số của bài toán là: $6\left(C_5^2+C_6^2\right)-C_6^2=135$ hình thang cân.

(AI giải đề cho tôi)
Số chỉnh hợp chập $k$ của $n$ phần tử là $A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}$ (chọn và sắp thứ tự $k$ phần tử từ $n$ phần tử). Do đó đáp án đúng là B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 5101, câu 3: B). Lưu ý $\frac{n!}{k!(n-k)!}$ ở phương án A là công thức tổ hợp $C_n^k$, không phải chỉnh hợp.

(AI giải đề cho tôi)
Vì ba chức vụ (Bí thư, Phó bí thư, Uỷ viên) là khác nhau và mỗi học sinh chỉ giữ một chức vụ, đây là chọn và sắp xếp 3 học sinh từ 40 học sinh theo thứ tự, tức là một chỉnh hợp: số cách chọn bằng $A_{40}^3=40\cdot 39\cdot 38=59280$. Vậy đáp án đúng là A, khớp với đáp án nguồn (mã đề 5101, câu 4: A).

(AI giải đề cho tôi)
Áo cỡ 39 có 6 lựa chọn, áo cỡ 40 có 4 lựa chọn. Vì Nam chỉ cần mua 1 cái áo (cỡ 39 HOẶC cỡ 40), theo quy tắc cộng: $6+4=10$ sự lựa chọn. Khớp với đáp án D trong bảng đáp án (mã đề 5101, câu 7: D).

(AI giải đề cho tôi)
Hộp có 2 viên bi xanh và 3 viên bi đỏ. Muốn lấy ra hai viên bi khác màu thì phải chọn 1 viên bi xanh và 1 viên bi đỏ. Số cách chọn 1 viên bi xanh là 2 cách, số cách chọn 1 viên bi đỏ là 3 cách. Theo quy tắc nhân, số cách lấy ra hai viên bi khác màu là $2\times 3=6$ cách. Vậy đáp án là D, trùng với đáp án nguồn (Câu 10: D).

(AI giải đề cho tôi)
a) Có 5+6=11 học sinh, chọn 1 nhóm trưởng: 11 cách → Đúng. b) Chọn 1 nam làm nhóm trưởng và 1 nữ làm nhóm phó: 5×6=30 cách, không phải 110 → Sai. c) Chọn 2 học sinh bất kì (không phân biệt vai trò) là tổ hợp $C_{11}^2=55$, không phải $A_{11}^2=110$ → Sai. d) Hai đầu hàng là nữ: chọn và xếp 2 bạn nữ vào 2 đầu có $A_6^2=30$ cách; 9 vị trí còn lại xếp 9 học sinh còn lại: $9!=362880$ cách. Tổng: $30\times 362880=10886400\ne 10884600$ → Sai. Kết quả khớp đáp án nguồn: a Đúng, b, c, d Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Có 11 học sinh (5 nam + 6 nữ), chọn 1 nhóm trưởng có đúng 11 cách.
b) (AI giải đề cho tôi)
Số cách chọn 1 nam làm nhóm trưởng và 1 nữ làm nhóm phó là 5×6=30, không phải 110.
c) (AI giải đề cho tôi)
Chọn 2 học sinh bất kì không phân biệt thứ tự nên là $C_{11}^2=55$, không phải $A_{11}^2=110$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hai đầu là nữ: $A_6^2=30$ cách; 9 người còn lại xếp vào 9 vị trí giữa: $9!=362880$ cách. Tổng $30\times 362880=10886400\ne 10884600$.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số quyển sách trên giá là $7+8+9=24$ quyển, đôi một khác nhau. Chọn một quyển sách bất kỳ có $24$ cách (quy tắc cộng). Kết quả trùng với đáp án nguồn: 24.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $C_5^2=\frac{5\cdot 4}{2}=10$ nên $2C_5^2=20$; $4!=24$. Vậy $2C_5^2+4!=20+24=44$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Số cách sắp xếp 4 học sinh đứng thành một hàng dọc là số hoán vị của 4 phần tử: $4!=4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=24$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (24).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 2 học sinh từ 10 học sinh để một người làm tổ trưởng và một người làm tổ phó là một chỉnh hợp (hoán vị) chập 2 của 10 phần tử: $A_{10}^2=10\cdot 9=90$ cách. Kết quả trùng với đáp án nguồn (90).

a) Gọi số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 5 là $\overline{abcd}$

TH1: Chọn $d=0$
Chọn bộ $\overline{abc}$ có $A_5^3$ cách
Vậy có $A_5^3=60$ số

TH2: Chọn $d=5$
Chọn $a$ có 4 cách
Chọn bộ $\overline{bc}$ có $A_4^2$ cách
Vậy có $4.A_4^2=48$ số

Từ 2 trường hợp ta có 108 số có thể được lập

b) Số cách chọn 4 học sinh bất kì là: $C_{31}^4$
Số cách chọn 4 học sinh nữ là: $C_{15}^4$
Số cách chọn 4 học sinh sao cho có ít nhất 1 nam là:
$C_{31}^4-C_{15}^4=30100$ cách