Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quy tắc đếm, hoán vị/chỉnh hợp/tổ hợp (Toán học Lớp 10)

Ta đánh số cho các hàng, cột của bảng từ dưới lên trên, từ trái qua phải bởi các số tự nhiên từ 1 đến 100 và ô nằm ở hàng thứ $i$, cột thứ $j$ được kí hiệu là ô $(i,j)$. Một đường chéo được nhắc đến trong lời giải dưới đây là tập hợp các ô có dạng $(x,y)$ của bảng mà $x+y=k$ với $k\ge 2$ cố định.

a) Khi mà $a=199$, Bình có thể đặt 199 viên bi đỏ này trên một đường đi từ ô dưới cùng bên trái (cụ thể, Bình có thể đặt vào các ô $(1,t)$ và $(t,100)$ với $t=\overline{1,100}$). Khi này, dù Ngọ có đặt thế nào thì luôn đảm bảo có một đường đi không có bi đỏ, như vậy Bình thắng.

b) Xét một ô $(x,y)$ bất kì thì ta thấy rằng $2\le x+y\le 200$ do đó có tổng cộng 198 đường chéo không kể đường chéo $x+y=101$, song Bình chỉ có 197 viên bi, do đó phải có một đường chéo $X$ mà không có viên bi xanh nào sau lượt của Bình.
Để ý rằng phương trình $x+y=k$ với $k=\overline{2,200}$ với $k\ne 101$ và $1\le x,y\le 100$ có tối đa 99 nghiệm, nên Ngọ hoàn toàn có đủ bi để đặt lên hết đường chéo $X$ đó. Nếu đường chéo $X$ là đường chéo $x+y=2$ hay $x+y=200$ thì hiển nhiên không có đường đi, còn lại đường chéo $X$ chia bảng làm hai phần và từ một ô của phần này không thể có đường đi đến ô của phần còn lại nếu không đi qua một ô của đường chéo, do đó, không còn đường đi nào từ $(1,1)$ đến $(100,100)$ mà không có bi đỏ, hay Ngọ thắng.

c) Từ ý tưởng của câu b và câu a, ta thấy rằng nếu $a=200$ hay $a=199$ thì Bình có thể đặt ngay một đường đi từ $(1,1)$ đến $(100,100)$ do đó Bình thắng với mọi giá trị khác của $b$. Ta xét $a\le 198$, nếu $a<2b$, khi này ta xét $2b$ các đường chéo $x+y=k$ với $k=\overline{1,b}$ và $k=\overline{200-b+1,200}$ thì ta có thể thấy rằng các đường chéo này có tối đa $b$ ô của bảng, mà do $a<2b$ nên sẽ có một trong các đường chéo đó không có viên bi xanh nào và Ngọ chỉ cần đặt bi đỏ lên tất cả các ô của đường chéo đó thì Ngọ sẽ thắng.
Do đó, để Bình thắng thì ta phải có $a\ge 2b$, ta sẽ chứng minh nếu $a\ge 2b$ (khi này phải có $b\le 99$ vì $a\le 198$) thì Bình sẽ có chiến thuật chiến thắng. Thật vậy, rõ ràng ta chỉ cần làm với $a=2b$ là đủ vì khi đó $a>2b$ thì chiến thuật đặt cũng sẽ tương tự. Với $a=2b$ thì chiến thuật của Bình sẽ là đặt $2b$ viên bi lên các ô $(1,t)$ và $(100,100-t+1)$ với $t=\overline{1,b}$. Khi này, ta định nghĩa một đường đi vuông từ $(a,b)$ đến $(c,d)$ với $a<c$ và $b<d$ là một đường đi từ $(a,b)$ qua các ô $(a+1,b),(a+2,b),\dots ,(c,b),(c,b+1),\dots ,(c,d)$. Ta xét $b+1$ đường đi gồm $b$ đường đi vuông từ $(1,t)\to (100-t+1)$ (với $t=\overline{1,b}$) và đường đi từ $(1,1)$ đến $(100,100)$ sát dọc theo hai cạnh dưới và bên phải của bảng thì ta thấy rằng $b+1$ đường đi này có các ô chưa được đặt bi là rời nhau, do đó để Ngọ không thể chặn cả $b+1$ đường đi này được, và do đó, ta thấy rằng luôn có đường đi cho Bình.
Vậy, tất cả cặp $(a,b)$ để Bình có chiến thuật thắng là $1⩽b<2b⩽a⩽198$ và $a=200,199$ và $b=\overline{1,a-1}$. Với $a=200$ thì có 199 giá trị $b$ thỏa còn với $a=199$ thì có 198 giá trị $b$ thỏa. Với $a\le 198$ thì cố định $b\le 99$ cho trước thì có $198-2b+1$ giá trị $a$ thỏa mãn $2b\le a\le 198$. Vậy, tổng số cặp $(a,b)$ thỏa mãn là
$$199+198+\sum _{b=1}^{99}(199-2b)=199\cdot 101-99\cdot 100-1=10198.$$
$\square$

(AI giải đề cho tôi)
Để 3 học sinh được chọn ở ba khối khác nhau, ta chọn 1 em từ mỗi khối: khối 12 có 6 cách, khối 11 có 5 cách, khối 10 có 4 cách. Theo quy tắc nhân, số cách chọn là $6\times 5\times 4=120$.

(AI giải đề cho tôi)
Gộp Hà và Lan thành một khối, coi như 5 đối tượng xếp hàng: $5!=120$ cách. Trong khối, Hà và Lan đổi chỗ cho nhau: $2!=2$ cách. Tổng: $120\times 2=240$ cách.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 20a) Số chia hết cho 5 phải có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5.
- Tận cùng 0: hàng trăm chọn từ 1..7 (7 cách), hàng chục chọn từ các chữ số còn lại (6 cách) → $7\times 6=42$ số.
- Tận cùng 5: hàng trăm khác 0 và khác 5 (6 cách), hàng chục khác hai chữ số đã chọn (6 cách) → $6\times 6=36$ số.
Tổng: $42+36=78$ số.
Câu 20b) Tam thức $f(x)=(m-1)x^2-2x-1$ âm với mọi $x\in \mathbb{R}$ khi và chỉ khi $a=m-1<0$ và $\Delta <0$. Ta có $\Delta =(-2{)}^2-4(m-1)(-1)=4+4(m-1)=4m$. Điều kiện: $m-1<0\iff m<1$ và $4m<0\iff m<0$. Kết hợp được $m<0$. Vậy $m\in (-\infty ;0)$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo quy tắc nhân: mỗi mặt (3 cách) kết hợp với mỗi dây (4 cách) nên số cách chọn là $3\times 4=12$ cách. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Số tự nhiên có 2 chữ số: chữ số hàng chục là số chẵn khác 0 nên có 4 cách (2,4,6,8); chữ số hàng đơn vị là số chẵn có 5 cách (0,2,4,6,8). Theo quy tắc nhân, số số cần tìm là $4\times 5=20$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Cần chọn 1 học sinh từ khối 11 gồm 280 nam và 325 nữ, tức chọn 1 trong $280+325=605$ học sinh. Theo quy tắc cộng, số cách chọn là 605. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 1 nam trong 280 cách và 1 nữ trong 325 cách. Theo quy tắc nhân: $280\times 325=91000$ cách.

(AI giải đề cho tôi)
Mỗi chữ số của số có 4 chữ số đều có thể chọn tự do từ 4 chữ số 1, 5, 6, 7 (không có ràng buộc về tính khác nhau hay chữ số đầu). Theo quy tắc nhân, số cách lập là $4\times 4\times 4\times 4=4^4=256$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau lập từ các chữ số 1, 5, 6, 7 là các hoán vị của 4 chữ số: $4!=24$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Số gồm hai chữ số khác nhau từ các chữ số 1, 2, 3, 4: chọn chữ số hàng chục có 4 cách, sau đó chọn chữ số hàng đơn vị khác nó có 3 cách. Vậy tổng số là $4\times 3=12$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức tổ hợp: $C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$, nên mệnh đề đúng là C. A thiếu thừa số $k!$ (đó là chỉnh hợp), B và D sai.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 1 học sinh nam trong 4 nam có 4 cách, chọn 1 học sinh nữ trong 6 nữ có 6 cách. Theo quy tắc nhân, số cách chọn là $4\times 6=24$ cách. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
a) Chọn và sắp $3$ chữ số khác nhau từ $\{1;2;3;4\}$: $A_4^3=4\cdot 3\cdot 2=24$. Mệnh đề ĐÚNG.
b) Số lẻ có ba chữ số khác nhau từ $\{0;1;2;3;4;5\}$: chữ số hàng đơn vị có $3$ cách $(1;3;5)$, hàng trăm có $5$ cách (khác $0$ và khác chữ số đơn vị), hàng chục có $4$ cách. Tổng $3\cdot 5\cdot 4=60\ne 40$. Mệnh đề SAI.
c) Số có ba chữ số khác nhau chia hết cho $5$ từ các chữ số $0$–$8$: nếu tận cùng $0$ thì $8\cdot 7=56$ số; nếu tận cùng $5$ thì hàng trăm có $7$ cách (khác $0$ và $5$), hàng chục có $7$ cách, được $49$ số. Tổng $56+49=105\ne 144$. Mệnh đề SAI.
d) Số chẵn có bốn chữ số khác nhau từ $\{0;1;2;3;4;5;6\}$: tận cùng $0$ thì $6\cdot 5\cdot 4=120$ số; tận cùng $2;4;6$ thì hàng trăm có $5$ cách, hàng chục có $5$ cách, được $3\cdot 25=75$ số. Tổng $120+75=195\ne 1170$ (kể cả trường hợp cho phép chữ số lặp thì được $4\cdot 6\cdot 7\cdot 7=1176$, vẫn khác $1170$). Mệnh đề SAI.
a) (AI giải đề cho tôi)
$A_4^3=24$ cách.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đếm đúng là $3\cdot 5\cdot 4=60$, không phải $40$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đếm đúng là $56+49=105$, không phải $144$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đếm đúng là $120+75=195$ (hoặc $1176$ nếu cho phép lặp), không phải $1170$.

(AI giải đề cho tôi)
Hộp có 6 bi xanh, 5 bi đỏ, 4 bi vàng; chọn 4 bi.
a) Chọn 2 xanh, 1 đỏ, 1 vàng: $C_6^2\cdot C_5^1\cdot C_4^1=15\cdot 5\cdot 4=300$ cách → đúng.
b) Chọn 1 xanh, 2 đỏ, 1 vàng: $C_6^1\cdot C_5^2\cdot C_4^1=6\cdot 10\cdot 4=240\ne 120$ → sai.
c) Chọn 1 xanh, 1 đỏ, 2 vàng: $C_6^1\cdot C_5^1\cdot C_4^2=6\cdot 5\cdot 6=180$ cách → đúng.
d) Chọn 4 bi có đủ ba màu gồm 3 trường hợp: (2 xanh,1 đỏ,1 vàng)=300; (1 xanh,2 đỏ,1 vàng)=240; (1 xanh,1 đỏ,2 vàng)=180. Tổng $300+240+180=720\ne 600$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$C_6^2\cdot C_5^1\cdot C_4^1=15\cdot 5\cdot 4=300$ cách, đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$C_6^1\cdot C_5^2\cdot C_4^1=6\cdot 10\cdot 4=240\ne 120$, sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
$C_6^1\cdot C_5^1\cdot C_4^2=6\cdot 5\cdot 6=180$ cách, đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tổng 3 trường hợp đủ ba màu: $300+240+180=720\ne 600$, sai.

(AI giải đề cho tôi)
Mỗi đề thi gồm 10 câu trắc nghiệm chọn từ 15 câu và 4 câu tự luận chọn từ 8 câu. Số cách chọn trắc nghiệm: $C_{15}^{10}=C_{15}^5=\frac{15\cdot 14\cdot 13\cdot 12\cdot 11}{120}=3003$. Số cách chọn tự luận: $C_8^4=\frac{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5}{24}=70$. Theo quy tắc nhân, số đề thi lập được là $3003\times 70=210210$.

(AI giải đề cho tôi)
Đếm các số chẵn 4 chữ số, chữ số khác nhau, lấy từ $\{0,1,\dots ,8\}$, không lớn hơn 4568.

**Chữ số đầu là 1, 2, 3 (số < 4000):**
- Chữ số đầu = 1: chữ số cuối chẵn có 5 cách (0,2,4,6,8); hai chữ số giữa: $7\cdot 6=42$ cách. Tổng $5\cdot 42=210$.
- Chữ số đầu = 3: tương tự 210.
- Chữ số đầu = 2: chữ số cuối chẵn còn 4 cách (0,4,6,8); hai chữ số giữa $7\cdot 6=42$. Tổng $4\cdot 42=168$.
Tổng: $210+210+168=588$.

**Chữ số đầu là 4 (số từ 4000 đến 4568):**
- Chữ số thứ hai $\in \{0,1,2,3\}$ (số < 4500): hai chữ số cuối chỉ cần chẵn, khác nhau, khác 2 chữ số đầu.
- $s=0$: chữ số cuối $\in \{2,6,8\}$ → $3\cdot 6=18$.
- $s=1$: chữ số cuối $\in \{0,2,6,8\}$ → $4\cdot 6=24$.
- $s=2$: $3\cdot 6=18$.
- $s=3$: $4\cdot 6=24$.
Tổng 84.
- Chữ số thứ hai = 5 (dạng $45xy\le 4568$, cần $x\le 6$): $x\in \{0,1,2,3,6\}$:
- $x=0$: $y\in \{2,6,8\}$ → 3; $x=1$: 4; $x=2$: 3; $x=3$: 4; $x=6$: $y\in \{0,2,8\}$ → 3.
Tổng $3+4+3+4+3=17$.
Tổng chữ số đầu 4: $84+17=101$.

**Kết quả:** $588+101=689$ số.

(AI giải đề cho tôi)
Số tự nhiên có ba chữ số: chữ số hàng trăm khác 0 nên có 7 cách chọn (1–7); hàng chục và hàng đơn vị được chọn tự do từ 8 chữ số (được phép lặp lại vì đề không yêu cầu khác nhau), mỗi vị trí 8 cách. Vậy tổng số là $7\cdot 8\cdot 8=448$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 7:
a) Số có 4 chữ số khác nhau: chữ số đầu có 9 cách (khác 0), chữ số thứ hai có 9 cách, thứ ba có 8 cách, thứ tư có 7 cách. Vậy có $9\cdot 9\cdot 8\cdot 7=4536$ số.
b) Số lẻ có 4 chữ số khác nhau: chữ số cuối có 5 cách (1,3,5,7,9); chữ số đầu có 8 cách (khác 0 và khác chữ số cuối); hai chữ số giữa có $8\cdot 7$ cách. Vậy có $5\cdot 8\cdot 8\cdot 7=2240$ số.
c) Số có 3 chữ số chia hết cho 5: chữ số cuối là 0 thì có $9\cdot 9=81$ số; chữ số cuối là 5 thì có $9\cdot 8=72$ số. Vậy có $81+72=153$ số.
d) Số có 4 chữ số khác nhau chia hết cho 5: nếu chữ số cuối là 0 thì có $9\cdot 8\cdot 7=504$ số; nếu chữ số cuối là 5 thì chữ số đầu có 8 cách, hai chữ số giữa có $8\cdot 7$ cách, tức $8\cdot 8\cdot 7=448$ số. Vậy có $504+448=952$ số.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 8: CLB có 10 nam, 3 nữ, chọn 5 bạn.
a) Chọn 5 bạn nam từ 10 bạn nam: $C_{10}^5=\frac{10!}{5!5!}=252$ cách.
b) Chọn 5 bạn bất kỳ từ 13 bạn: $C_{13}^5=\frac{13!}{5!8!}=1287$ cách.
c) Chọn 3 nam từ 10 và 2 nữ từ 3: $C_{10}^3\cdot C_3^2=120\cdot 3=360$ cách.