Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quy tắc đếm, hoán vị/chỉnh hợp/tổ hợp (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Theo hình vẽ, từ nhà Bình đến nhà sách có 3 con đường, từ nhà sách đến trường có 2 con đường. Muốn đi từ nhà đến trường mà phải đi qua nhà sách, Bình chọn 1 trong 3 con đường từ nhà đến nhà sách, sau đó chọn 1 trong 2 con đường từ nhà sách đến trường. Theo quy tắc nhân, số cách đi là $3\times 2=6$ cách. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số sách trên giá là $6+7+8=21$ cuốn. Chọn một cuốn sách bất kỳ có $21$ cách (quy tắc cộng). Vậy đáp án là D.

Đáp số: 2592. Tổng khối lượng của các cánh quạt: $1+2+\dots +9=45$ gam. Ta chia 3 nhóm cánh quạt sao cho tổng khối lượng của 3 cánh quạt trong mỗi nhóm phải bằng nhau. Suy ra, khối lượng của mỗi nhóm bằng: $\frac{45}{3}=15$ gam. Các bộ gồm 3 số lấy từ tập $\{1;2;\dots ;9\}$ mà tổng của chúng bằng 15 là: $$\{1;5;9\},\{1;6;8\},\{2;4;9\},\{2;5;8\},\{2;6;7\},\{3;4;8\},\{3;5;7\}.$$ Chọn 3 bộ trong số 7 bộ trên sao cho các chữ số không trùng nhau để có được 3 nhóm cánh quạt có tổng khối lượng thỏa mãn.
Trường hợp 1: $\{1;5;9\},\{2;6;7\},\{3;4;8\}$. Chọn ra 3 tam giác đều thỏa đề bài có: $3!$ cách; với mỗi tam giác đều, để lắp 3 số vào 3 đỉnh ta có: 3! cách. Có tất cả 3 tam giác đều, do đó số cách xếp trong trường hợp này là: $3!\cdot {\left(3!\right)}^3=1296$ cách.
Trường hợp 2: $\{1;6;8\},\{2;4;9\},\{3;5;7\}$. Tương tự trường hợp 1, có 1296 cách.
Vậy có tất cả $1296+1296=2592$ cách xếp.

(AI giải đề cho tôi)
Số cách chọn 3 học sinh từ 10 học sinh (không kể thứ tự) là tổ hợp: $C_{10}^3=\frac{10!}{3!7!}=\frac{10\cdot 9\cdot 8}{6}=120$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi số đơn mỗi học sinh nộp là 1, 2 hoặc 3 (mỗi học sinh nộp ít nhất 1 đơn vì phải tham gia ít nhất một CLB). Tổng số đơn là 155 với 70 học sinh, nên số đơn 'thừa' (vượt 1 đơn mỗi người) là $155-70=85$. Mỗi học sinh đăng kí cả 3 CLB đóng góp 2 đơn thừa; học sinh đăng kí 2 CLB đóng góp 1 đơn thừa. Để số học sinh đăng kí cả 3 CLB ít nhất, ta cho tối đa học sinh khác đăng kí 2 CLB (mỗi người 1 đơn thừa). Gọi $x$ là số học sinh đăng kí cả 3 CLB thì $2x\ge 85$ (vì tối đa mỗi học sinh còn lại đóng 1 đơn thừa), suy ra $x\ge 42,5$, tức $x\ge 43$. Kiểm tra khả thi: 43 em đăng kí 3 CLB (86 đơn thừa... thực tế 43 em đóng $2\cdot 43=86$ đơn thừa, thừa 1 đơn so với 85, điều chỉnh: 42 em đăng kí 3 CLB đóng 84 đơn thừa, còn 1 đơn thừa do 1 em đăng kí 2 CLB, tức 42 em 3 CLB + 1 em 2 CLB + 27 em 1 CLB: đơn $=42\cdot 3+1\cdot 2+27\cdot 1=155$, học sinh $=70$). Vậy cần ít nhất 43 học sinh đăng kí cả 3 CLB.

Đặt

$$T=\left\{(a_1;a_2;a_3)|a_1,a_2,a_3\in A;a_1<a_2<a_3;a_2-a_1\ge 2,a_3-a_2\ge 2\right\}$$

Với mỗi bộ $(a_1;a_2;a_3)$, xét tương ứng với mỗi bộ $(b_1;b_2;b_3)$ cho bởi

$$b_1=a_1,b_2=a_2-1,b_3=a_3-2.$$

Lúc này ta có: $0\le b_1<b_2<b_3\le 7$ [0.5]

Và tương ứng này là tương ứng 1-1 do:

+ Với mỗi bộ $(a_1;a_2;a_3)$ cho tương ứng một bộ $(b_1;b_2;b_3)$ bởi công thức $b_1=a_1,b_2=a_2-1,b_3=a_3-2$.

+ Ngược lại, với mỗi bộ $(b_1;b_2;b_3)$ cho tương ứng một bộ $(a_1;a_2;a_3)$ bởi công thức $a_1=b_1,a_2=b_2+1,a_3=b_3+2$.

Đặt $B=\{0;1;2;3;4;5;6;7\}$. Tập các bộ $(b_1;b_2;b_3)$ là các tập con có 4 phần tử của $B$. [0.5]

Vậy số tập con $(a_1;a_2;a_3)$ cần tìm là $C_8^3=56$.

Chú ý. Mọi cách giải khác đúng được điểm tối đa.

1. Do trong mỗi số cần lập chữ số đứng liền sau lớn hơn chữ số đứng liền trước nên mỗi số đó không thể chứa số 0 và có 5 chữ số khác nhau.
Với mỗi cách chọn 5 chữ số khác nhau lấy từ tập hợp các chữ số $\{1;2;3;\dots 9\}$ có duy nhất một cách xếp 5 chữ số đó thành số tự nhiên có 5 chữ số thỏa mãn yêu cầu bài toán (xếp theo thứ tự tăng dần).
Do đó số các số tự nhiên có 5 chữ số mà trong mỗi số cần lập chữ số đứng liền sau luôn lớn hơn chữ số đứng liền trước là $C_9^5=126$ số.

2. Cách 1.
Gán hệ trục $Oxy$ vào bàn cờ vua sao cho vị trí ban đầu của quân vua là gốc tọa độ, mỗi ô trên bàn ứng với một điểm có tọa độ $(x;y)$. Mỗi bước di chuyển của quân vua từ điểm $(x;y)$ đến điểm có tọa độ $(x+x_0;y+y_0)$ trong đó $x_0;y_0\in \{-1;0;1\};x_0^2+y_0^2\ne 0$. Ví dụ: nếu $x_0=1;y_0=0$ thì quân vua di chuyển đến ô bên phải, $x_0=-1;y_0=-1$ thì di chuyển xuống ô đường chéo.
Giả sử tọa độ ban đầu là $(0;0)$, thế thì sau 3 bước đi thì tọa độ của quân vua là $(x_1+x_2+x_3;y_1+y_2+y_3);x_1,x_2,x_3,y_1,y_2,y_3\in \{-1;0;1\}$. Để về vị trí ban đầu thì $\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2+x_3=0\\ y_1+y_2+y_3=0\end{array}$.
Suy ra các bộ $\{x_1;x_2;x_3\}$ và $\{y_1;y_2;y_3\}$ là một hoán vị của $\{-1;0;1\}$.
Mà $\{x_1;x_2;x_3\}$ có 6 cách chọn, với mỗi cách chọn $\{x_1;x_2;x_3\}$ có 4 cách chọn $\{y_1;y_2;y_3\}$ vì $(x_i;y_i),i=\overline{1;3}$ không đồng thời bằng 0.
Do đó số kết quả thuận lợi cho biến cố bằng 24 và xác suất cần tìm là $p=\frac{24}{8^3}=\frac{3}{64}$.

Cách 2.
Nhận xét để quân vua trở về vị trí xuất phát sau 3 bước thì sau bước II quân vua phải ở một trong 8 ô xung quanh ô ban đầu.
Trường hợp 1. Sau bước I quân vua ở 1 trong 4 ô chung cạnh với ô ban đầu.
Từ đây quân vua có 4 cách đi cho bước II (đi ngang hoặc đi chéo).
Ở bước III, quân vua chỉ có 1 cách đi về vị trí xuất phát.
Vậy số cách đi ở TH1: $4\times 4\times 1=16$ cách.
Trường hợp 2. Sau bước I quân vua ở 1 trong 4 ô chung đỉnh với ô ban đầu.
Từ đây quân vua chỉ có 2 cách đi cho bước II (đi ngang hoặc đi dọc).
Ở bước III, quân vua chỉ có 1 cách đi về vị trí xuất phát.
Vậy số cách đi ở TH2: $4\times 2\times 1=8$ cách.
Xác suất cần tìm: $p=\frac{16+8}{8^3}=\frac{3}{64}$.

(AI giải đề cho tôi)
Số chia hết cho 5 nên chữ số tận cùng là 0 hoặc 5. TH1: tận cùng là 0, chọn và xếp 4 chữ số từ 6 chữ số còn lại: $A_6^4=6\cdot 5\cdot 4\cdot 3=360$ số. TH2: tận cùng là 5, chữ số đầu khác 0 nên có 5 cách chọn, sau đó chọn 3 chữ số từ 5 chữ số còn lại: $5\cdot A_5^3=5\cdot 5\cdot 4\cdot 3=300$ số. Tổng: $360+300=660$ số.

Số nằm ở O là số lẻ nên thuộc tập $x=\{1,3,5,7\}$.
Gọi các cặp số đối xứng nhau qua tâm O là; $(a;d),(b;e),(c;f)$
Theo giả thiết: 3 số trên đường chéo qua $O$ có tổng bằng nhau nên;
$a+x_0+d=b+x_0+e=c+x_0+f$
suy ra $a+d=b+e=c+f=k$
Ta có:
Tổng của 7 chữ số là: $1+2+3+4+5+6+7=28$ nên $x_0+(a+d)+(b+e)+(c+f)=28$, suy ra $x_0+3k=28$
Trong đó $x_0$ thuộc X, là số lẻ và $k$ là số nguyên dương

TH1: $x_0=1$. Suy ra $k=9$, vậy các cặp gồm 2 phần tử từ $\{2,3,4,5,6,7\}$ có tổng bằng 9 là: $(3;6),(2;7),(4;5)$ nên có 1 cách chọn $x_0$, chọn 3 cặp số để bỏ vào ba cặp đỉnh đối diện có: $1.3!.2^3=48$ (cách)

TH2: $x_0=3$ suy ra $3k=25$ (loại)

TH3: $x_0=5$ suy ra $3k=23$ (loại)

TH4: $x_0=7$ suy ra $k=7$. Vậy các cặp gồm 2 phần tử từ $\{1,2,3,4,5,6\}$ có tổng bằng 7 là: $(1;6),(2;5),(4;3)$ nên có 1 cách chọn $x_0$, chọn 3 cặp số để bỏ vào ba cặp đỉnh đối diện có: $1.3!.2^3=48$ (cách).
Như vậy có 48+48=96 (cách)

(AI giải đề cho tôi)
a) Số tập con 3 phần tử của B (6 phần tử): $C_6^3=20$ → đúng. b) Số có 3 chữ số phân biệt từ A: $5\cdot 4\cdot 3=60\ne 125$ → sai. c) Số có 2 chữ số từ B: chữ số hàng chục khác 0 nên $5\cdot 6=30$ → đúng. d) Số chẵn 3 chữ số phân biệt từ B: tận cùng 0: $5\cdot 4=20$; tận cùng 2 hoặc 4: $2\cdot 4\cdot 4=32$; tổng $52\ne 15$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tập B có 6 phần tử, số tập con 3 phần tử là $C_6^3=\frac{6!}{3!3!}=20$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Số có 3 chữ số phân biệt lấy từ A (5 phần tử): $A_5^3=5\cdot 4\cdot 3=60\ne 125$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Chữ số hàng chục có 5 cách (khác 0), hàng đơn vị có 6 cách, tổng $5\cdot 6=30$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tận cùng 0: $5\cdot 4=20$ cách; tận cùng 2 hoặc 4: $2\cdot 4\cdot 4=32$ cách; tổng $52\ne 15$.

(AI giải đề cho tôi)
Hộ có 5 bi xanh, 4 bi đỏ, 3 bi vàng.
a) Chọn 3 bi cùng màu xanh: $C_5^3=10$ cách → đúng.
b) Chọn 3 bi cùng màu: xanh $C_5^3=10$, đỏ $C_4^3=4$, vàng $C_3^3=1$, tổng $10+4+1=15$ cách, không phải 14 → sai.
c) Chọn 3 bi đủ 3 màu: $5\cdot 4\cdot 3=60$ cách, không phải 12 → sai.
d) Chọn 4 bi với số bi xanh bằng số bi đỏ: trường hợp 1 xanh, 1 đỏ, 2 vàng: $5\cdot 4\cdot C_3^2=60$; trường hợp 2 xanh, 2 đỏ: $C_5^2\cdot C_4^2=10\cdot 6=60$; không thể 0 xanh 0 đỏ vì chỉ có 3 bi vàng. Tổng $60+60=120$ cách → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$C_5^3=10$ cách.
b) (AI giải đề cho tôi)
$C_5^3+C_4^3+C_3^3=10+4+1=15\ne 14$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Chọn 1 bi mỗi màu: $5\cdot 4\cdot 3=60\ne 12$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(1 xanh, 1 đỏ, 2 vàng): $5\cdot 4\cdot C_3^2=60$; (2 xanh, 2 đỏ): $C_5^2{C}_4^2=60$; tổng $120$ cách.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 1: a) Sơ đồ hình cây: Từ Lào Cai có 2 nhánh (Xe khách, Tàu hỏa) đến Hà Nội; từ mỗi nhánh lại chia thành 3 nhánh (Xe khách, Tàu hỏa, Máy bay) đến TP Hồ Chí Minh. Các nhánh đầy đủ là: Xe khách - Xe khách; Xe khách - Tàu hỏa; Xe khách - Máy bay; Tàu hỏa - Xe khách; Tàu hỏa - Tàu hỏa; Tàu hỏa - Máy bay. b) Theo quy tắc nhân, số cách chọn phương tiện là $2\times 3=6$ cách.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 1 quyển Toán hoặc Văn học: theo quy tắc cộng, số cách = $3+5=8$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Số có ba chữ số phân biệt từ $A=\{0,1,2,3,4,5\}$: chữ số hàng trăm không được là 0 nên có 5 cách; hàng chục có 5 cách (trừ chữ số đã dùng, 0 được phép); hàng đơn vị có 4 cách. Tổng: $5\times 5\times 4=100$. Vậy chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số cách chọn 3 học sinh từ 5 người là $C_5^3=10$. Số cách chọn đội toàn nữ là $C_3^3=1$ (không có đội toàn nam vì chỉ có 2 nam). Vậy số cách chọn đội có cả nam và nữ là $10-1=9$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Công thức chỉnh hợp chập k của n phần tử: $A_n^k=n(n-1)\cdots (n-k+1)=\frac{n!}{(n-k)!}$, và $C_n^k=\frac{A_n^k}{k!}$. Do đó các mệnh đề B, C, D đều đúng. Mệnh đề A viết $A_n^k=n(n-1)\cdots (n-k)$ là sai vì thừa số cuối cùng phải là $(n-k+1)$ (tích gồm k thừa số, bắt đầu từ $n$ kết thúc ở $n-k+1$). Vậy mệnh đề sai là A.

(AI giải đề cho tôi)
Mật khẩu gồm 8 kí tự đôi một khác nhau, có thứ tự (là mật khẩu), nên dùng chỉnh hợp. Chọn 3 chữ cái từ 26 chữ cái in thường và sắp xếp: $A_{26}^3$ cách. Chọn 5 chữ số từ 10 chữ số và sắp xếp: $A_{10}^5$ cách. Theo quy tắc nhân, số cách tạo mật khẩu là $A_{26}^3\cdot A_{10}^5$. Vậy chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Theo quy tắc nhân, An chọn 1 trong 6 áo sơ mi và 1 trong 7 quần âu, nên số cách chọn trang phục là $6\times 7=42$ cách. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Có 8 bi xanh, 5 bi đỏ, tổng 13 bi.
a) Chọn 4 bi tùy ý: $C_{13}^4=715$ → đúng.
b) 1 đỏ và 3 xanh: $C_5^1\cdot C_8^3=5\cdot 56=280\ne 290$ → sai.
c) Mỗi màu bằng nhau tức 2 đỏ và 2 xanh: $C_5^2\cdot C_8^2=10\cdot 28=280$ → đúng.
d) Ít nhất 3 bi đỏ: (3 đỏ, 1 xanh) hoặc (4 đỏ): $C_5^3{C}_8^1+C_5^4=80+5=85$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$C_{13}^4=715$ cách.
b) (AI giải đề cho tôi)
$C_5^1{C}_8^3=5\cdot 56=280$ cách, không phải 290.
c) (AI giải đề cho tôi)
2 đỏ, 2 xanh: $C_5^2{C}_8^2=10\cdot 28=280$ cách.
d) (AI giải đề cho tôi)
$C_5^3{C}_8^1+C_5^4=80+5=85$ cách.

(AI giải đề cho tôi)
Từ các chữ số 0,1,2,3,5,6,8,9: có 4 chữ số chẵn (0,2,6,8) và 4 chữ số lẻ (1,3,5,9). Số cần lập có 4 chữ số khác nhau và tận cùng là chữ số chẵn.
- Trường hợp 1: chữ số tận cùng là 0. Chọn chữ số hàng nghìn: 7 cách (khác 0). Chọn 2 chữ số còn lại từ 6 chữ số còn lại: $A_6^2=30$ cách. Số số: $7\times 30=210$.
- Trường hợp 2: chữ số tận cùng là 2, 6 hoặc 8: có 3 cách. Chữ số hàng nghìn: khác 0 và khác chữ số tận cùng nên còn 6 cách. Hai chữ số còn lại: $A_6^2=30$ cách. Số số: $3\times 6\times 30=540$.
Tổng số số chẵn có 4 chữ số khác nhau là $210+540=750$.