Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quy tắc đếm, hoán vị/chỉnh hợp/tổ hợp (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Xếp 17 bạn nữ trước: có $17!$ cách, tạo ra 18 khoảng trống (gồm hai đầu bàn). Để không có hai bạn nam nào cạnh nhau, chọn 12 trong 18 khoảng để xếp 12 bạn nam: $A_{18}^{12}=C_{18}^{12}\cdot 12!$ cách.
Vậy $p=17!\cdot C_{18}^{12}\cdot 12!$.
Tính: $17!=355687428096000\approx 3,5569\times 10^{14}$, $C_{18}^{12}=18564$, $12!=479001600\approx 4,79\times 10^8$.
$p\approx 3,5569\times 1,8564\times 4,79\times 10^{26}\approx 31,63\times 10^{26}=3,163\times 10^{27}$.
Do đó $\frac{p}{10^{26}}\approx 31,6$.

(AI giải đề cho tôi)
Dùng bù - trừ (bao hàm - loại trừ). Tổng số cách chọn 5 học sinh từ 18: $C_{18}^5=8568$. Số cách chọn không có khối 12: $C_{10}^5=252$; không có khối 11: $C_{11}^5=462$; không có khối 10: $C_{15}^5=3003$. Số cách chọn chỉ từ hai khối (bị trừ hai lần, cần cộng lại): chỉ khối 11 và 10: $C_7^5=21$; chỉ khối 12 và 10: $C_8^5=56$; chỉ khối 12 và 11: $C_3^5=0$ (không đủ 5 người). Vậy số cách để mỗi khối có ít nhất 1 học sinh là: $8568-252-462-3003+21+56+0=4928$.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số cách chọn 4 viên từ 14 viên là $C_{14}^4=1001$. Số cách chọn 4 viên cùng màu xanh: $C_8^4=70$; cùng màu đỏ: $C_6^4=15$. Vậy số cách chọn 4 viên có đủ 2 màu là $1001-70-15=916$ cách.

(AI giải đề cho tôi)
Hộp có tổng số quả cầu là $8+9+10=27$ quả, tất cả khác nhau. Lấy ngẫu nhiên 1 quả cầu nên số cách lấy là $C_{27}^1=27$ cách. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Xếp 5 học sinh (đều khác nhau) thành một hàng ngang là một hoán vị của 5 phần tử, số cách là $5!=120$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 3 người từ 7 người vào 3 chức vụ phân biệt (Bí thư, Phó bí thư, Ủy viên thường vụ) là một chỉnh hợp: thứ tự giữ vai trò quan trọng. Số cách chọn là $A_7^3=7\cdot 6\cdot 5=210$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Mỗi tam giác tương ứng với một cách chọn 3 điểm từ 10 điểm (không có 3 điểm nào thẳng hàng nên mọi bộ 3 điểm đều tạo thành tam giác). Vậy số tam giác là $C_{10}^3=120$, tương ứng với phương án A.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng quy tắc cộng: chọn một chiếc áo bất kì trong 3 nhóm áo rời nhau, số cách là $12+9+6=27$. Đáp án B, khớp với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 12: B).

a) Xếp 5 bạn nữ trước: 5! cách, tạo 6 khoảng trống, chọn 5 trong 6 khoảng cho 5 bạn nam: $A_6^5$ cách. Tổng: $5!\cdot A_6^5=120\cdot 720=86400\ne 8640$ nên ý a) Sai. (Theo bảng đáp án mã đề 102: SSĐĐ.)
b) Chọn 3 nam và 3 nữ: $C_5^3\cdot C_5^3=10\cdot 10=100\ne 120$ nên ý b) Sai. (Theo bảng đáp án mã đề 102: SSĐĐ.)
c) $C_{10}^5=252$ nên ý c) Đúng. (Theo bảng đáp án mã đề 102: SSĐĐ.)
d) $10!=3628800$ nên ý d) Đúng. (Theo bảng đáp án mã đề 102: SSĐĐ.)

(AI giải đề cho tôi)
Xem mỗi loại sách là một khối: có $3!=6$ cách xếp thứ tự ba khối (Toán, Văn, Tiếng Anh). Trong khối Toán có $4!=24$ cách xếp 4 quyển, khối Văn có $3!=6$ cách, khối Tiếng Anh có $2!=2$ cách. Tổng số cách: $3!\cdot 4!\cdot 3!\cdot 2!=6\cdot 24\cdot 6\cdot 2=1728$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (1728).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 4 bông từ 9 bông: $C_9^4=126$. Loại trường hợp không có bông trắng nào (cả 4 bông hồng): $C_5^4=5$. Vậy số cách chọn bó hoa có ít nhất một bông trắng là $126-5=121$, khớp với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 2 = 121).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 3 sản phẩm cùng loại nghĩa là hoặc chọn 3 tai nghe, hoặc chọn 3 loa. Số cách chọn 3 tai nghe từ 11 mẫu là $C_{11}^3=\frac{11\cdot 10\cdot 9}{6}=165$. Số cách chọn 3 loa từ 5 mẫu là $C_5^3=10$. Vì hai trường hợp rời nhau, theo quy tắc cộng tổng số cách là $165+10=175$. Đáp án A, khớp với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 2 = A).

(AI giải đề cho tôi)
Số lẻ có 4 chữ số đôi một khác nhau từ $A=\{1;2;3;4;5;6;7\}$: chữ số lẻ có 4 số $(1;3;5;7)$. Chọn chữ số hàng đơn vị: $4$ cách; sau đó chọn 3 chữ số còn lại từ 6 số còn lại: $6\cdot 5\cdot 4=120$ cách. Tổng: $4\cdot 120=480$ số. Kết quả trùng với đáp án nguồn $(480)$.

(AI giải đề cho tôi)
Mỗi dãy 4 ghế phải xen kẽ lớp A và lớp B, và hai học sinh đối diện nhau khác lớp. Xét theo cột (4 cặp ghế đối diện): nếu dãy 1 có mẫu ABAB thì dãy 2 phải là BABA, hoặc ngược lại. Vậy có 2 cách chọn mẫu lớp cho 8 ghế (2 mẫu toàn bàn: ABAB/BABA hoặc BABA/ABAB). Sau khi mẫu lớp cố định, có đúng 4 vị trí cho 4 học sinh lớp A và 4 vị trí cho 4 học sinh lớp B. Xếp 4 học sinh lớp A vào 4 vị trí: $4!=24$ cách; xếp 4 học sinh lớp B vào 4 vị trí: $4!=24$ cách. Tổng: $2\cdot 4!\cdot 4!=2\cdot 24\cdot 24=1152$ cách. Kết quả trùng với đáp án nguồn 1152 (mã đề 102, câu 5).

(AI giải đề cho tôi)
Số cách xếp 5 bạn thành một hàng ngang là số hoán vị của 5 phần tử: $5!=5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=120$. Vậy đáp án A, khớp với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 3: A).

(AI giải đề cho tôi)
Số cách chọn 3 chai từ 20 chai khác nhau là tổ hợp: $C_{20}^3=\frac{20!}{3!\cdot 17!}=\frac{20\cdot 19\cdot 18}{6}=1140$. Đáp án A, khớp với bảng đáp án mã đề 102 (câu 6: A).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa chỉnh hợp: $A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}$. Kiểm tra: A sai (thiếu $k$), B sai, C là công thức tổ hợp $C_n^k$, D đúng. Khớp với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 8: D).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 3 sản phẩm cùng loại nghĩa là hoặc chọn 3 tai nghe, hoặc chọn 3 loa. Số cách chọn 3 tai nghe từ 11 mẫu là $C_{11}^3=\frac{11\cdot 10\cdot 9}{6}=165$. Số cách chọn 3 loa từ 5 mẫu là $C_5^3=10$. Vì hai trường hợp rời nhau, tổng số cách là $165+10=175$. Đáp án D, khớp với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 1: D).

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức chỉnh hợp: $A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}$ với $1\le k\le n$. Do đó khẳng định đúng là A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 12: A).

(AI giải đề cho tôi)
Câu 4 (mã đề 101): a) Xếp 5 nữ: $5!=120$ cách, tạo 6 khoảng trống; chọn 5 trong 6 khoảng xếp 5 nam: $C(6,5)\cdot 5!=720$ cách. Tổng $120\cdot 720=86400\ne 8640$ nên Sai. b) Chọn 3 nam và 3 nữ: $C(5,3)\cdot C(5,3)=10\cdot 10=100\ne 120$ nên Sai. c) $10!=3628800$ nên Đúng. d) $C(10,5)=252$ nên Đúng. Khớp bảng đáp án SSĐĐ của mã đề 101.
a) Xếp 5 bạn nữ thành hàng dọc có $5!=120$ cách, tạo ra 6 khoảng trống (kể cả hai đầu). Chọn 5 trong 6 khoảng để xếp 5 bạn nam có $C(6,5)\cdot 5!=6\cdot 120=720$ cách. Tổng: $120\cdot 720=86400$ cách, không phải 8640 cách nên khẳng định Sai.
b) Chọn 3 nam và 3 nữ: $C(5,3)\cdot C(5,3)=10\cdot 10=100$ cách, không phải 120 cách nên khẳng định Sai.
c) Xếp 10 bạn khác nhau thành một hàng ngang có $10!=3628800$ cách nên khẳng định Đúng.
d) Chọn 5 bạn từ 10 bạn: $C(10,5)=252$ cách nên khẳng định Đúng.