Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quy tắc đếm, hoán vị/chỉnh hợp/tổ hợp (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Số lẻ có 4 chữ số đôi một khác nhau từ A={1;...;7}: chữ số lẻ có 4 lựa chọn (1;3;5;7). Chọn chữ số cuối (hàng đơn vị): 4 cách. Chọn chữ số hàng nghìn: 6 cách (khác chữ số cuối). Chọn chữ số hàng trăm: 5 cách. Chọn chữ số hàng chục: 4 cách. Tổng: 4·6·5·4 = 480. Kết quả trùng với đáp án nguồn 480.

(AI giải đề cho tôi)
Mỗi dãy 4 ghế phải xen kẽ lớp A và lớp B, tức mỗi dãy có dạng ABAB hoặc BABA (mỗi dãy chứa đúng 2 học sinh lớp A và 2 học sinh lớp B). Vì hai học sinh ngồi đối diện nhau phải khác lớp nên nếu dãy thứ nhất có dạng ABAB thì dãy thứ hai phải có dạng BABA (và ngược lại). Như vậy chỉ có 2 cách chọn kiểu xen kẽ cho hai dãy. Với mỗi kiểu, xếp 4 học sinh lớp A vào 4 vị trí lớp A: có $4!=24$ cách; xếp 4 học sinh lớp B vào 4 vị trí lớp B: có $4!=24$ cách. Tổng số cách xếp là $2\cdot 4!\cdot 4!=2\cdot 24\cdot 24=1152$ cách, khớp với đáp án nguồn 1152.

(AI giải đề cho tôi)
Xem mỗi loại sách là một khối: có 3 khối (Toán, Văn, Tiếng Anh) xếp thành hàng ngang nên có $3!=6$ cách. Trong khối Toán, 4 quyển khác nhau xếp được $4!=24$ cách; khối Văn: $3!=6$ cách; khối Tiếng Anh: $2!=2$ cách. Tổng số cách: $3!\cdot 4!\cdot 3!\cdot 2!=6\cdot 24\cdot 6\cdot 2=1728$. Kết quả trùng với đáp án nguồn 1728.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 4 bông từ 9 bông: $C_9^4=126$. Bó không có hoa trắng (cả 4 hồng): $C_5^4=5$. Vậy số cách có ít nhất một hoa trắng: $126-5=121$, khớp đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Số cách chọn 3 chai từ 20 chai khác nhau là tổ hợp: $C_{20}^3=\frac{20!}{3!\cdot 17!}=\frac{20\cdot 19\cdot 18}{6}=1140$. Đáp án D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 5: D).

(AI giải đề cho tôi)
Số cách xếp 5 bạn (đôi một khác nhau) thành một hàng ngang là số hoán vị của 5 phần tử: $5!=5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=120$. Vậy đáp án D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 6: D).

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng quy tắc cộng: chọn một chiếc áo bất kì trong 3 nhóm rời nhau (áo thun, áo sơ mi, áo khoác) nên số cách chọn là $12+9+6=27$ cách. Khớp với đáp án nguồn C.

(AI giải đề cho tôi)
Số cần tìm chia hết cho 6 nên chữ số tận cùng chẵn và tổng các chữ số chia hết cho 3. Các chữ số lấy từ $\{0,1,2,3,4,5,6\}$, đôi một khác nhau, chữ số đầu tiên khác 0. Vì tổng $0+1+\cdots +6=21\equiv 0(\mathrm{mod}3)$, một tập 5 chữ số có tổng chia hết cho 3 khi cặp 2 chữ số bị loại có tổng chia hết cho 3. Các cặp đó là: $(0,3),(0,6),(3,6),(1,2),(1,5),(2,4),(4,5)$ — tức có 7 tập hợp thỏa mãn. Với mỗi tập, đếm cách xếp: chọn chữ số tận cùng chẵn, chọn chữ số đầu khác 0 và khác chữ số tận cùng, rồi hoán vị 3 chữ số giữa ($3!=6$):
- Loại $(0,3)$: tập $\{1,2,4,5,6\}$, chữ chẵn 2,4,6: $3\times 4\times 6=72$.
- Loại $(0,6)$: tập $\{1,2,3,4,5\}$, chữ chẵn 2,4: $2\times 4\times 6=48$.
- Loại $(3,6)$: tập $\{0,1,2,4,5\}$: tận cùng 0 có 4 cách chọn đầu, tận cùng 2 hoặc 4 có 3 cách: $(4+3+3)\times 6=60$.
- Loại $(1,2)$: tập $\{0,3,4,5,6\}$: tương tự $60$.
- Loại $(1,5)$: tập $\{0,2,3,4,6\}$: $(4+3+3+3)\times 6=78$.
- Loại $(2,4)$: tập $\{0,1,3,5,6\}$: $(4+3)\times 6=42$.
- Loại $(4,5)$: tập $\{0,1,2,3,6\}$: $(4+3+3)\times 6=60$.
Tổng: $72+48+60+60+78+42+60=420$. Vậy có 420 số, đáp án A (khớp với đáp án nguồn Mã đề 1103, Câu 17: A).

(AI giải đề cho tôi)
Khối '123' hoặc '321' chiếm 3 vị trí liên tiếp trong 7 chữ số: có 2 cách thứ tự và 5 vị trí cho khối. Chọn 4 chữ số còn lại từ $\{0,4,5,6,7,8,9\}$ và xếp: $A(7,4)=840$. Tổng: $2\cdot 5\cdot 840=8400$. Trừ trường hợp chữ số 0 đứng đầu: khi 0 ở vị trí đầu, 3 chữ số còn lại chọn từ 6 chữ số: $A(6,3)=120$, khối nằm trong 4 vị trí còn lại, 2 thứ tự: $2\cdot 4\cdot 120=960$. Kết quả: $8400-960=7440$. Đáp án B, trùng với đáp án nguồn (Mã 1103, câu 20: B).

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2 (mã đề 1103, Phần II): a) Sắp xếp 8 bạn chọn từ 10 thành hàng ngang là chỉnh hợp A(10,8) = 1.814.400, không phải tổ hợp C(10,8) = 45 → SAI. b) Bình và An có tham gia: chọn thêm 6 bạn từ 8 bạn còn lại: C(8,6) = 28, sắp xếp 8 người thành hàng: 8! = 40320, tổng 28 × 40320 = 1.128.960 ≠ 20160 → SAI. c) Bình và An đứng hai đầu hàng: 2! = 2 cách cho hai đầu, 6 vị trí giữa chọn và xếp từ 8 bạn còn lại: A(8,6) = 20160, tổng 2 × 20160 = 40320 → ĐÚNG. d) Bình và An đứng cạnh nhau: gộp thành một khối, có 7 vị trí cho khối, 2! = 2 cách đổi chỗ trong khối, 6 bạn còn lại chọn từ 8 và xếp vào 6 vị trí: A(8,6) = 20160, tổng 7 × 2 × 20160 = 282240 → ĐÚNG. Kết quả khớp đáp án chính thức (mã 1103, câu 2: a S, b S, c Đ, d Đ).
a) (AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp 8 bạn chọn từ 10 thành hàng ngang là chỉnh hợp A(10,8) = 1.814.400, không phải C(10,8) = 45.
b) (AI giải đề cho tôi)
Bình, An có tham gia: C(8,6) × 8! = 28 × 40320 = 1.128.960 cách, không phải 20160.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hai đầu hàng: 2! = 2 cách; 6 vị trí giữa: A(8,6) = 20160; tổng 2 × 20160 = 40320 cách.
d) (AI giải đề cho tôi)
Gộp Bình, An thành khối: 7 vị trí × 2! × A(8,6) = 7 × 2 × 20160 = 282240 cách.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x,y,z$ lần lượt là số học sinh nhận cặp (Toán, Lý), (Toán, Hóa), (Lý, Hóa). Vì mỗi học sinh nhận 2 cuốn khác thể loại và dùng hết 20 cuốn (8 Toán, 7 Lý, 5 Hóa) nên: $x+y=8$, $x+z=7$, $y+z=5$. Cộng hai phương trình đầu trừ phương trình cuối: $2x=10\Rightarrow x=5$, suy ra $y=3$, $z=2$ (kiểm tra: $5+3+2=10$ học sinh, tổng sách $2\cdot 10=20$ đúng). Số cách phát thưởng là số cách chia 10 học sinh (phân biệt) thành 3 nhóm có kích thước 5, 3, 2: $\frac{10!}{5!3!2!}=\frac{3628800}{120\cdot 6\cdot 2}=2520$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 2520.

(AI giải đề cho tôi)
Số cần đếm gồm 5 chữ số đôi một khác nhau, lấy từ tập $\{0,1,2,3,4,5,6\}$, chia hết cho 6 tức chia hết cho cả 2 và 3. Tổng tất cả 7 chữ số là $21\equiv 0(\mathrm{mod}3)$, nên tổng 5 chữ số được chọn chia hết cho 3 khi và chỉ khi tổng 2 chữ số bị loại chia hết cho 3. Các cặp bị loại thỏa mãn: trong nhóm dư 0 là $\{0,3\},\{0,6\},\{3,6\}$; mỗi phần tử nhóm dư 1 ($\{1,4\}$) với nhóm dư 2 ($\{2,5\}$): $\{1,2\},\{1,5\},\{2,4\},\{4,5\}$ — tổng cộng 7 cặp.

TH1: Cặp bị loại chứa 0 (cặp $\{0,3\},\{0,6\}$):
- Loại $\{0,3\}$: còn $\{1,2,4,5,6\}$, chữ số chẵn là $2,4,6$: có $3\cdot 4!=72$ số.
- Loại $\{0,6\}$: còn $\{1,2,3,4,5\}$, chữ số chẵn là $2,4$: có $2\cdot 4!=48$ số.
Tổng: $120$.

TH2: Cặp bị loại không chứa 0, tức tập còn lại gồm 0 và 4 chữ số khác (5 tập: $\{0,3,4,5,6\},\{0,2,3,4,6\},\{0,1,3,5,6\},\{0,1,2,4,5\},\{0,1,2,3,6\}$). Với mỗi tập, chữ số cuối chẵn (kể cả 0), chữ số đầu khác 0:
- Nếu chữ số cuối khác 0: $4!-3!=18$ cách xếp 4 chữ số còn lại với chữ đầu khác 0.
- Nếu chữ số cuối là 0: $4!=24$ cách.
Tính cụ thể:
- $\{0,3,4,5,6\}$: chẵn khác 0 là $4,6$: $2\cdot 18+24=60$.
- $\{0,2,3,4,6\}$: chẵn khác 0 là $2,4,6$: $3\cdot 18+24=78$.
- $\{0,1,3,5,6\}$: chẵn khác 0 là $6$: $1\cdot 18+24=42$.
- $\{0,1,2,4,5\}$: chẵn khác 0 là $2,4$: $2\cdot 18+24=60$.
- $\{0,1,2,3,6\}$: chẵn khác 0 là $2,6$: $2\cdot 18+24=60$.
Tổng TH2: $60+78+42+60+60=300$.

Vậy tổng số số cần đếm là $120+300=420$, khớp đáp án A (bảng đáp án chính thức, Mã 1102, Câu 12 là A).

(AI giải đề cho tôi)
a) Bình và An đứng hai đầu: 2! cách đổi chỗ cho hai người, 6 vị trí giữa chọn từ 8 bạn còn lại: $A_8^6=20160$. Tổng: $2\cdot 20160=40320$ cách. Đúng.
b) Cả hai tham gia và đứng cạnh nhau: chọn 6 bạn từ 8 bạn còn lại: $C_8^6=28$; coi cặp Bình-An là một khối nên có $7!\cdot 2!=10080$ cách xếp. Tổng: $28\cdot 10080=282240$ cách. Đúng.
c) Xếp 8 bạn thành hàng ngang từ 10 bạn là hoán vị chập k của 10: $A_{10}^8$, không phải $C_{10}^8$ (chỉ là chọn chứ chưa xếp hàng). Sai.
d) Cả hai tham gia: chọn 6 bạn từ 8 bạn còn lại rồi xếp 8 người thành hàng: $C_8^6\cdot 8!=28\cdot 40320=1128960$ cách, khác 20160. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hai đầu hàng: $2!\cdot A_8^6=2\cdot 20160=40320$ cách.
b) (AI giải đề cho tôi)
$C_8^6\cdot 7!\cdot 2!=28\cdot 10080=282240$ cách.
c) (AI giải đề cho tôi)
Phải dùng $A_{10}^8$ vì có sắp xếp thứ tự hàng ngang, không phải chỉ chọn $C_{10}^8$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$C_8^6\cdot 8!=1128960$ cách, không phải 20160.

(AI giải đề cho tôi)
Mỗi học sinh nhận 2 sách khác thể loại nên mỗi em nhận một trong các cặp: (Toán, Lý), (Toán, Hóa), (Lý, Hóa). Gọi $x$, $y$, $z$ lần lượt là số học sinh nhận cặp (Toán, Lý), (Toán, Hóa), (Lý, Hóa). Vì dùng hết 20 cuốn (10 học sinh × 2 cuốn) nên: $x+y=8$ (hết sách Toán), $x+z=7$ (hết sách Lý), $y+z=5$ (hết sách Hóa). Giải hệ: $x=5$, $y=3$, $z=2$. Vậy có 5 học sinh nhận cặp Toán-Lý, 3 học sinh nhận cặp Toán-Hóa, 2 học sinh nhận cặp Lý-Hóa. Số cách phát cho 10 học sinh (phân biệt học sinh) là hoán vị của multiset: $\frac{10!}{5!\cdot 3!\cdot 2!}=\frac{3628800}{120\cdot 6\cdot 2}=2520$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 2520.

(AI giải đề cho tôi)
Coi khối ba chữ số liên tiếp '123' hoặc '321' (thỏa mãn chữ số 2 đứng liền giữa 1 và 3) như một phần tử. Chọn 4 chữ số còn lại khác nhau từ tập $\{0,4,5,6,7,8,9\}$: có $C_7^4=35$ cách. Xếp 5 phần tử (khối + 4 chữ số) vào 7 vị trí: $5!=120$ cách, và khối có 2 cách thứ tự. Tổng: $35\cdot 120\cdot 2=8400$. Loại các số có chữ số 0 đứng đầu: chọn 3 chữ số còn lại từ 6 chữ số khác 0: $C_6^3=20$; với 0 ở vị trí đầu, xếp khối và 3 chữ số vào 6 vị trí còn lại: $4!\cdot 2=48$ cách. Số bị loại: $20\cdot 48=960$. Kết quả: $8400-960=7440$. Đáp án C, trùng với đáp án nguồn (Mã 1102, Câu 8: C).

(AI giải đề cho tôi)
Xem khối '123' hoặc '321' (chữ số 2 đứng giữa 1 và 3) như một khối. Có 2 cách xếp 1 và 3 trong khối. Khối cùng 4 chữ số khác chiếm 5 vị trí: có 5 cách đặt khối. Chọn và xếp 4 chữ số khác từ 7 chữ số còn lại (0,4,5,6,7,8,9): $A_7^4=840$. Tổng: $5\cdot 2\cdot 840=8400$. Trừ các số có chữ số 0 ở đầu: xảy ra khi khối không ở vị trí đầu (4 cách đặt khối), chữ số đầu là 0, chọn xếp 3 chữ số từ 6 chữ số còn lại: $4\cdot 2\cdot A_6^3=4\cdot 2\cdot 120=960$. Kết quả: $8400-960=7440$. Đáp án B, khớp với đáp án nguồn (Mã 1101, Câu 10: B).

(AI giải đề cho tôi)
Số cần tìm chia hết cho $6$ nên chữ số tận cùng chẵn và tổng các chữ số chia hết cho $3$. Các chữ số lấy từ $\{0,1,2,3,4,5,6\}$, đôi một khác nhau, tổng tất cả bằng $21$ chia hết cho $3$. Chọn $5$ chữ số có tổng chia hết cho $3$ tương đương loại $2$ chữ số có tổng chia hết cho $3$; các cặp bị loại: $(0,3),(0,6),(3,6),(1,2),(1,5),(2,4),(4,5)$ — $7$ bộ chữ số. Với mỗi bộ, đếm hoán vị có chữ số tận cùng chẵn và chữ số đầu khác $0$ (hiệu: $5!$ nhân số chữ số chẵn trừ các trường hợp đầu $=0$):
- $\{1,2,3,4,6\}$: $3\cdot 24=72$.
- $\{0,3,6,1,2\}$: $3\cdot 24-2\cdot 6=60$.
- $\{0,3,6,1,5\}$: $2\cdot 24-6=42$.
- $\{0,3,6,2,4\}$: $4\cdot 24-3\cdot 6=78$.
- $\{0,3,6,4,5\}$: $3\cdot 24-2\cdot 6=60$.
- $\{0,1,2,4,5\}$: $3\cdot 24-2\cdot 6=60$.
- $\{1,2,3,4,5\}$: $2\cdot 24=48$.
Tổng: $72+60+42+78+60+60+48=420$. Kết quả khớp đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 8 trong 10 bạn xếp thành hàng ngang.
a) Hai bạn Bình và An đều tham gia: chọn thêm 6 bạn từ 8 bạn còn lại: $C_8^6=28$; xếp 8 bạn thành hàng: $8!=40320$. Tổng: $28\cdot 40320=1128960\ne 20160$ → Sai.
b) Bình và An đứng hai đầu hàng: $2!=2$ cách xếp hai đầu; chọn 6 bạn từ 8 bạn còn lại: $C_8^6=28$; xếp 6 bạn vào giữa: $6!=720$. Tổng: $2\cdot 28\cdot 720=40320$ → Đúng.
c) Xếp 8 bạn từ 10 bạn thành hàng ngang là chỉnh hợp: $A_{10}^8$, không phải tổ hợp $C_{10}^8$ (chỉ chọn chứ chưa xếp) → Sai.
d) Bình và An cùng tham gia và đứng cạnh nhau: chọn 6 bạn từ 8: $C_8^6=28$; coi Bình và An là một khối, xếp 7 phần tử: $7!\cdot 2!=10080$. Tổng: $28\cdot 10080=282240$ → Đúng. Kết quả khớp với đáp án nguồn (a: S, b: Đ, c: S, d: Đ).
a) (AI giải đề cho tôi)
Bình và An đều tham gia: $C_8^6\cdot 8!=28\cdot 40320=1128960$ cách, không phải 20160.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hai đầu hàng: $2!=2$; chọn 6 bạn giữa: $C_8^6=28$; xếp giữa: $6!=720$; tổng $2\cdot 28\cdot 720=40320$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Xếp 8 bạn thành hàng ngang là chỉnh hợp chập 8 của 10: $A_{10}^8$, không phải $C_{10}^8$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Chọn 6 bạn từ 8: $C_8^6=28$; Bình và An cạnh nhau coi là một khối: $7!\cdot 2!=10080$; tổng $28\cdot 10080=282240$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $a$ là số học sinh nhận cặp (Toán, Lý), $b$ là số học sinh nhận cặp (Toán, Hóa), $c$ là số học sinh nhận cặp (Lý, Hóa). Vì mỗi học sinh nhận 2 cuốn khác thể loại và dùng hết 20 cuốn nên: $a+b=8$ (Toán), $a+c=7$ (Lý), $b+c=5$ (Hóa). Giải hệ được $a=5$, $b=3$, $c=2$ (thỏa mãn $a+b+c=10$). Vậy có 5 học sinh nhận cặp (Toán, Lý), 3 học sinh nhận cặp (Toán, Hóa), 2 học sinh nhận cặp (Lý, Hóa). Số cách phát thưởng là số cách chia 10 học sinh (phân biệt) thành 3 nhóm này: $\frac{10!}{5!3!2!}=\frac{3628800}{120\cdot 6\cdot 2}=2520$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 2520.

(AI giải đề cho tôi)
Theo quy tắc cộng: số cách chọn một đồ vật là $8+6+10=24$ cách. Vậy đáp án A.