Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quy tắc đếm, hoán vị/chỉnh hợp/tổ hợp (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Hình bát giác đều có 8 đỉnh. a) Số cách chọn 1 đỉnh là 8, không phải 1 → Sai. b) Số đoạn thẳng tạo từ các đỉnh là $C_8^2=\frac{8\cdot 7}{2}=28$, không phải 16 → Sai. c) Số vecto khác $\vec{0}$: chọn điểm đầu và điểm cuối khác nhau, có $8\cdot 7=56$ vecto → Đúng. d) Số đường chéo của đa giác $n$ đỉnh là $\frac{n(n-3)}{2}=\frac{8\cdot 5}{2}=20$ → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Bát giác đều có 8 đỉnh nên số cách chọn 1 đỉnh là 8, không phải 1.
b) (AI giải đề cho tôi)
Mỗi đoạn thẳng ứng với chọn 2 đỉnh trong 8 đỉnh: $C_8^2=28$, không phải 16.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vecto xác định bởi cặp (điểm đầu, điểm cuối) với hai điểm phân biệt: $8\cdot 7=56$ vecto khác $\vec{0}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Số đường chéo của đa giác lồi $n$ đỉnh: $\frac{n(n-3)}{2}=\frac{8\cdot 5}{2}=20$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn đúng 3 học sinh nữ từ 20 bạn và 2 học sinh nam từ 15 bạn. Số cách chọn 3 nữ là $C_{20}^3=\frac{20\cdot 19\cdot 18}{6}=1140$. Số cách chọn 2 nam là $C_{15}^2=\frac{15\cdot 14}{2}=105$. Theo quy tắc nhân, số cách chọn 5 bạn gồm đúng 3 nữ là $C_{20}^3\cdot C_{15}^2=1140\cdot 105=119700$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 1 nam trong 280 học sinh nam và 1 nữ trong 325 học sinh nữ. Theo quy tắc nhân, số cách chọn là $280\times 325=91000$ cách. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Mỗi chữ số trong 4 chữ số 1,5,6,7 đều có thể dùng lại (lặp), nên mỗi vị trí có 4 cách chọn. Số chữ số tự nhiên có 4 chữ số lập được là $4^4=256$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Xem Bình và An như một khối, ta có 41 đối tượng xếp thành hàng dọc: $41!$ cách. Hai bạn trong khối có thể đổi chỗ cho nhau: $2!$ cách. Vậy tổng số cách là $41!\times 2!$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Thử các phương án: với $n=12$: $C_{12}^3=220$, $A_{12}^2=12\cdot 11=132$, $2n=24$, tổng $220+132+24=376$ thỏa mãn. Các phương án khác: $n=5$ cho $10+20+10=40$; $n=7$ cho $35+42+14=91$; $n=15$ cho $455+210+30=695$, đều sai. Vậy $n=12$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 4 bạn trong 9 bạn ngồi hàng đầu: $C_9^4=126$ cách. Xếp 4 bạn đó vào 4 vị trí ngồi: $4!=24$ cách. Xếp 5 bạn còn lại vào 5 vị trí đứng: $5!=120$ cách. Tổng: $C_9^4\cdot 4!\cdot 5!=126\cdot 24\cdot 120=362880$. Vậy chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Xếp 5 người ngồi vào một bàn dài là một hoán vị của 5 phần tử: $5!=120$ cách. Vậy đáp án C, khớp với đáp án nguồn (mã đề 0112, câu 1: C).

(AI giải đề cho tôi) a) Sai: số cách chọn mỗi loại một quyển là $10\cdot 8\cdot 6=480$ cách, không phải 3. b) Đúng: $C_{10}^3=120$ cách chọn 3 quyển đều Toán. c) Sai: chọn 3 quyển từ 24 quyển là $C_{24}^3=2024$ cách (hoặc $A_{24}^3=12144$ nếu phân công cho từng em), không phải 2030. d) Đúng: $C_{10}^2{C}_8^1{C}_6^1+C_{10}^1{C}_8^2{C}_6^1+C_{10}^1{C}_8^1{C}_6^2=2160+1680+1200=5040$ cách. Khớp đáp án nguồn mã đề 0112: S – Đ – S – Đ.
a) Chọn 1 quyển Toán, 1 quyển tiếng Anh, 1 quyển Lý: có $10\cdot 8\cdot 6=480$ cách, không phải 3 cách → Sai.
b) Chọn 3 quyển từ 10 quyển Toán: $C_{10}^3=120$ cách → Đúng.
c) Chọn 3 quyển từ 24 quyển: $C_{24}^3=2024$ cách (nếu tặng mỗi em một quyển có phân công thì $A_{24}^3=12144$ cách), không phải 2030 → Sai.
d) Chọn 4 quyển có đủ ba loại: (2 Toán, 1 Anh, 1 Lý): $C_{10}^2\cdot 8\cdot 6=2160$; (1 Toán, 2 Anh, 1 Lý): $10\cdot C_8^2\cdot 6=1680$; (1 Toán, 1 Anh, 2 Lý): $10\cdot 8\cdot C_6^2=1200$. Tổng: $2160+1680+1200=5040$ cách → Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Mỗi vecto khác vecto không được xác định bởi một cặp điểm phân biệt (điểm đầu, điểm cuối). Từ 8 điểm phân biệt, số cặp có thứ tự là $A_8^2=8\cdot 7=56$. Vậy lập được 56 vecto khác vecto không, khớp với đáp án nguồn (mã đề 0112, câu 17: 56).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi số vận động viên nam là $n$. Số ván nam chơi với nhau là $2A_n^2=n(n-1)$; số ván hai nữ chơi với nhau là $2$. Theo đề: $n(n-1)-2=40\Rightarrow n(n-1)=42\Rightarrow n=7$ (nhận, $n>0$). Tổng số người là $7+2=9$, mỗi cặp chơi 2 ván nên tổng số ván là $2C_9^2=2\cdot 36=72$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (72).

(AI giải đề cho tôi)
Chỉnh hợp chập k của n phần tử (k phần tử lấy từ n phần tử, có xét thứ tự) là $A_n^k=n(n-1)\cdots (n-k+1)=\frac{n!}{(n-k)!}$. Do đó đáp án đúng là C. (Lưu ý: công thức $\frac{n!}{(n-k)!k!}$ ở phương án A là công thức của tổ hợp $C_n^k$, không phải chỉnh hợp.) Kết quả này khớp với đáp án nguồn (mã đề 0112, câu 3: C).

(AI giải đề cho tôi)
Theo quy tắc nhân, số cách chọn thực đơn = $5\times 5\times 3=75$ cách. Khớp với đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
a) Chọn mỗi loại một quyển: $10\cdot 8\cdot 6=480$ cách, không phải 3 → Sai. b) Chọn 3 quyển Toán từ 10: $C_{10}^3=120$ → Đúng. c) Chọn 3 quyển từ 24 quyển để tặng 3 em học sinh (phân biệt): $A_{24}^3=24\cdot 23\cdot 22=12144$ cách, không phải 2030 → Sai. d) Chọn 4 quyển có đủ cả ba loại, tức một loại có 2 quyển: 2 Toán + 1 Anh + 1 Lý: $C_{10}^2\cdot 8\cdot 6=2160$; 1 Toán + 2 Anh + 1 Lý: $10\cdot C_8^2\cdot 6=1680$; 1 Toán + 1 Anh + 2 Lý: $10\cdot 8\cdot C_6^2=1200$. Tổng: $2160+1680+1200=5040$ → Đúng. Khớp với đáp án nguồn S–Đ–S–Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Chọn mỗi loại một quyển: $10\cdot 8\cdot 6=480$ cách, không phải 3 cách.
b) (AI giải đề cho tôi)
Chọn 3 quyển Toán từ 10 quyển: $C_{10}^3=120$ cách.
c) (AI giải đề cho tôi)
Chọn 3 quyển từ 24 quyển tặng 3 em học sinh (mỗi em một quyển, phân biệt): $A_{24}^3=24\cdot 23\cdot 22=12144$ cách, không phải 2030.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đủ cả ba loại nghĩa là một loại có 2 quyển: $C_{10}^2\cdot 8\cdot 6+10\cdot C_8^2\cdot 6+10\cdot 8\cdot C_6^2=2160+1680+1200=5040$ cách.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi số vận động viên nam là $n$. Số ván các nam chơi với nhau: mỗi cặp chơi 2 ván nên là $2\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)=n(n-1)$. Số ván hai nữ chơi với nhau là $2$ ván. Theo đề: $n(n-1)-2=40\Rightarrow n(n-1)=42\Rightarrow n=7$ (vì $7\cdot 6=42$). Tổng số vận động viên là $9$, mỗi cặp chơi 2 ván nên tổng số ván là $2\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{2}\right)=2\cdot 36=72$. Khớp với đáp án nguồn 72.

(AI giải đề cho tôi)
Xếp 5 người ngồi vào một bàn dài (các vị trí phân biệt theo thứ tự trên bàn) là một hoán vị của 5 phần tử: $5!=5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=120$ cách. Vậy đáp án là C, trùng với đáp án nguồn (Câu 4, mã đề 0111: C).

(AI giải đề cho tôi)
Theo quy tắc nhân, số cách chọn thực đơn là $5\times 5\times 3=75$ cách. Kết quả trùng với đáp án nguồn B.

(AI giải đề cho tôi)
Số chỉnh hợp chập k của n phần tử là số cách lấy k phần tử từ n phần tử và sắp xếp thứ tự, công thức $A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}$. Kiểm tra: A sai vì $\frac{k!}{(n-k)!}$ không đúng; B là công thức tổ hợp $C_n^k=\frac{n!}{(n-k)!k!}$; D sai. Đáp án C, khớp bảng đáp án chính thức (Mã đề 0111, Câu 6 = C).

(AI giải đề cho tôi)
Anh Long chọn 1 quần trong 5 cách và 1 áo trong 8 cách. Theo quy tắc nhân, số cách chọn 1 bộ quần áo là $5\times 8=40$. Đáp án D, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 104, câu 12: D).

(AI giải đề cho tôi)
Số chẵn có ba chữ số đôi một khác nhau từ các chữ số 1, 2, 4, 6, 7, 9: chữ số tận cùng phải chẵn, chỉ có thể là 2, 4 hoặc 6 (3 cách). Sau đó chọn hàng trăm: 5 cách (trừ chữ số đã dùng), hàng chục: 4 cách. Tổng: $3\cdot 5\cdot 4=60$ số. Kết quả trùng với đáp án nguồn (60).