Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Thể tích chóp/lăng trụ (Toán học Lớp 11)

Chọn B

Vì S . ABCD là hình chóp đều nên SO \perp ( ABCD ) .
\widehat
(
Ta có SB \widehat
) (
, ( ABCD ) = SB )
\widehat = 60.
, OB = SBO

1 1
Ta có : BO = BD = a 2.
2 2
a 2 6
Tam giác SBO vuông tại O : SO = BO tan 60 = . 3=a
2 2
1 1 a 6 2 a3 6
VS . ABCD = .SO.S ABCD = . .a = .
3 3 2 6

Chọn C
Thiết diện qua trục của một hình trụ là hình vuông ABCD cạnh AB = 2a .

AB 2a
R = = =a
Ta có: 2 2 .
l = AB = 2a
S1 = Sxq = 2$\pi$ Rl = 2$\pi$ .a.2a = 4$\pi$ a 2 .
S 2 = Sxq + 2 S d = 2$\pi$ Rl + 2.$\pi$ R 2 = 2$\pi$ .a.2a + 2$\pi$ .a 2 = 6$\pi$ a 2 .
S1 4$\pi$ a 2 2
Ta có: = = $\Rightarrow$ 3S1 = 2 S 2 .
S 2 6$\pi$ a 2 3

Đáy là tam giác đều cạnh $2a$ nên diện tích đáy là $S=\frac{(2a{)}^2\sqrt{3}}{4}=a^2\sqrt{3}$. Chiều cao của khối chóp là $h=\frac{3V}{S}=\frac{3a^3}{a^2\sqrt{3}}=a\sqrt{3}$.

Diện tích toàn phần của hình trụ là $S_{tp}=2\pi rh+2\pi r^2=2\pi \cdot 5\cdot 5+2\pi \cdot 5^2=50\pi +50\pi =100\pi {\text{ cm}}^2$.

Khối nón có bán kính đáy $R=OA=4\text{ cm}$, đường sinh $l=SA=5\text{ cm}$. Chiều cao hình nón là $h=SO=\sqrt{S{A}^2-O{A}^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3\text{ cm}$. Thể tích khối nón là $V=\frac{1}{3}\pi R^{2}h=\frac{1}{3}\pi \cdot 4^2\cdot 3=16\pi {\text{ cm}}^3$.

Chu vi đáy là $C=2\pi R=20\text{ cm}\Rightarrow R=\frac{10}{\pi }\text{ cm}$. Diện tích đáy là $S=\pi R^2=\pi {\left(\frac{10}{\pi }\right)}^2=\frac{100}{\pi }{\text{ cm}}^2$. Thể tích khối trụ là $V_1=S\cdot h_1=\frac{100}{\pi }\cdot 40=\frac{4000}{\pi }{\text{ cm}}^3$. Thể tích khối nón là $V_2=\frac{1}{3}S\cdot h_2=\frac{1}{3}\cdot \frac{100}{\pi }\cdot 10=\frac{1000}{3\pi }{\text{ cm}}^3$. Tổng thể tích của cái cột là $V=V_1+V_2=\frac{4000}{\pi }+\frac{1000}{3\pi }=\frac{13000}{3\pi }{\text{ cm}}^3$.

Diện tích toàn phần của hình trụ: $S_{tp}=2\pi r^2+2\pi rh=2\pi a^2+2\pi ah=8\pi a^2\Rightarrow 2\pi ah=6\pi a^2\Rightarrow h=3a$.

Tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ nên $BC=AB=3\text{ cm}$. Lăng trụ đứng nên tam giác $BC{C}^{\prime }$ vuông tại $C$. Do đó $C{C}^{\prime }=\sqrt{B{C}^{\prime 2}-B{C}^2}=\sqrt{(3\sqrt{2}{)}^2-3^2}=3\text{ cm}$. Diện tích đáy $S_{ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 3=\frac{9}{2}{\text{ cm}}^2$. Thể tích khối lăng trụ: $V=S_{ABC}\cdot C{C}^{\prime }=\frac{9}{2}\cdot 3=\frac{27}{2}{\text{ cm}}^3$.

Đường sinh của hình nón là $l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$. Diện tích toàn phần của hình nón: $S_{tp}=\pi r^2+\pi rl=\pi \cdot 3^2+\pi \cdot 3\cdot 5=9\pi +15\pi =24\pi$.

Vì $SA,SB,SC$ đôi một vuông góc tại $S$ nên thể tích khối tứ diện $SABC$ được tính theo công thức:
$V=\frac{1}{6}SA\cdot SB\cdot SC=\frac{1}{6}\cdot 3a\cdot 4a\cdot 5a=10a^3.$

Chọn đáp án C.

Chiều cao khối trụ: $h=\frac{V}{\pi r^2}=\frac{5\pi }{\pi \cdot 1^2}=5$.

Diện tích toàn phần của hình trụ là:
$S_{tp}=2\pi rh+2\pi r^2=2\pi \cdot 1\cdot 5+2\pi \cdot 1^2=12\pi .$

Độ dài đường sinh của hình nón là:
$l=\sqrt{h^2+r^2}=\sqrt{(a\sqrt{3}{)}^2+a^2}=\sqrt{4a^2}=2a$.
Diện tích xung quanh là:
$S_{xq}=\pi rl=\pi \cdot a\cdot 2a=2\pi a^2$.
Chọn đáp án A.

Thể tích khối chóp là $V=\frac{1}{3}OA\cdot S_{△ABC}=\frac{1}{3}\cdot 2\cdot \left(\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 6\right)=6$. Chọn B.

Đáy của lăng trụ tam giác đều là tam giác đều cạnh $a=\sqrt{3}$, diện tích đáy là $B=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{(\sqrt{3}{)}^2\sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{3}}{4}$. Chiều cao của lăng trụ bằng cạnh bên: $h=\sqrt{3}$. Thể tích khối lăng trụ là $V=Bh=\frac{3\sqrt{3}}{4}\cdot \sqrt{3}=\frac{9}{4}$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 170, trang 7), chọn A.

Diện tích toàn phần của hình trụ là $S_{tp}=2\pi Rh+2\pi R^2=2\pi \cdot \sqrt{6}\cdot 3\sqrt{6}+2\pi (\sqrt{6}{)}^2=48\pi$.

Diện tích $△ABC$ vuông cân tại $A$ là $S=\frac{1}{2}A{B}^2=\frac{1}{2}\cdot 2^2=2$.

Thể tích khối chóp là $V=\frac{1}{3}S\cdot h=\frac{1}{3}\cdot 2\cdot 12=8$.

Độ dài đường sinh của hình nón là $l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{a^2+(2a{)}^2}=a\sqrt{5}$. Diện tích xung quanh của hình nón là $S_{xq}=\pi rl=\pi \cdot a\cdot a\sqrt{5}=\sqrt{5}\pi a^2$. Theo đáp án chính thức (Mã đề 731, trang 13), chọn B.

Thể tích của khối lăng trụ là $V=B\cdot h=(a^2\sqrt{3})\cdot (a\sqrt{6})=a^3\sqrt{18}=3a^3\sqrt{2}$. Theo đáp án chính thức (Mã đề 731, trang 13), chọn D.

Theo công thức tỉ số thể tích Simson: $\frac{V_{S.MNP}}{V_{S.ABC}}=\frac{SM}{SA}\cdot \frac{SN}{SB}\cdot \frac{SP}{SC}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{8}$. Suy ra $\frac{V_{S.ABC}}{V_{S.MNP}}=8$. Theo đáp án chính thức (Mã đề 731, trang 13), chọn C.

Diện tích toàn phần của hình trụ là $S_{tp}=2\pi rh+2\pi r^2=2\pi a(a\sqrt{3})+2\pi a^2=2\pi a^2(1+\sqrt{3})$. Theo đáp án chính thức (Mã đề 731, trang 13), chọn D.