Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Thể tích chóp/lăng trụ (Toán học Lớp 11)

Trong tam giác $ABC$, diện tích $S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot AC\sin 120^{\circ }=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}$. Đặt chiều cao lăng trụ là $A{A}^{\prime }=h$. Gắn hệ trục tọa độ hoặc tính khoảng cách để sử dụng giả thiết $\cos ((AC{B}^{\prime }),(AB{C}^{\prime }))=\frac{\sqrt{10}}{5}$ ta tìm được $h=a\sqrt{3}$, suy ra thể tích khối lăng trụ là $V=S_{△ABC}\cdot h=\frac{3a^3}{2}$. Mặt phẳng $(IKE)$ đi qua các trung điểm của $A{A}^{\prime },B{B}^{\prime },C{C}^{\prime }$ nên chia lăng trụ thành hai phần bằng nhau có thể tích $\frac{V}{2}$. Khối đa diện lồi $ABCKIE$ gồm phần dưới thiết diện trung bình trừ đi khối chóp $K.A{A}^{\prime }M$ (hoặc phân chia tỉ số thể tích theo $K,I,E$) có thể tích bằng $\frac{3}{8}V=\frac{3}{8}\cdot \frac{3a^3}{2}=\frac{9a^3}{16}$.

Theo công thức liên hệ giữa chiều cao, bán kính đáy và đường sinh của khối nón: $l=\sqrt{h^2+R^2}$.

Thiết diện qua trục là tam giác đều cạnh $6\text{ cm}$ nên bán kính đáy $r=\frac{6}{2}=3\text{ cm}$ và độ dài đường sinh $l=6\text{ cm}$. Diện tích xung quanh của hình nón là $S_{xq}=\pi rl=\pi \cdot 3\cdot 6=18\pi ({\text{cm}}^2)$.

Thiết diện qua trục là hình vuông cạnh $a$ nên chiều cao $h=a$ và bán kính đáy $r=\frac{a}{2}$. Thể tích khối trụ bằng $V=\pi r^{2}h=\pi {\left(\frac{a}{2}\right)}^{2}a=\frac{\pi a^3}{4}$.

Đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$ có $AC=a\sqrt{2}$ nên $AB=BC=\frac{AC}{\sqrt{2}}=a$. Do đó $S_{ABC}=\frac{1}{2}{a}^2$ và đường cao $h=B{B}^{\prime }=a$. Vậy thể tích khối lăng trụ đã cho là $V=B{B}^{\prime }\cdot S_{ABC}=\frac{a^3}{2}$.

Gọi $H$ là trung điểm của $AB$. Tam giác $SAB$ đều cạnh $a$ nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy nên $SH\perp (ABCD)$ và $SH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Vậy $V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}\cdot SH=\frac{1}{3}\cdot a\cdot a\sqrt{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a^3}{2}$.

Gọi $H,K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A^{\prime }$ lên $B{B}^{\prime }$ và $D{D}^{\prime }$. Khi đó $A^{\prime }H=A^{\prime }K=1$, $A{A}^{\prime }\perp (A^{\prime }HK)$, $\Delta A^{\prime }AB$ vuông cân tại $B\Rightarrow A^{\prime }B=\sqrt{2}$, và $\widehat{H{A}^{\prime }K}=60^{\circ }$ hoặc $120^{\circ }\Rightarrow S_{\Delta A^{\prime }HK}=\frac{\sqrt{3}}{4}$. Do $\Delta A^{\prime }HK$ là hình chiếu vuông góc của $\Delta A^{\prime }{B}^{\prime }{D}^{\prime }$ và góc giữa hai mặt phẳng bằng $45^{\circ }$ nên $S_{\Delta A^{\prime }{B}^{\prime }{D}^{\prime }}=\frac{S_{\Delta A^{\prime }HK}}{\cos 45^{\circ }}=\frac{\sqrt{6}}{4}$. Suy ra $V_{ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }}=2\cdot A^{\prime }B\cdot S_{\Delta A^{\prime }{B}^{\prime }{D}^{\prime }}=\sqrt{3}$.

Chọn A.
Ta có diện tích xung quanh của hình trụ bằng $S_{xq}=2\pi rl=2\pi \cdot 3\cdot 3=18\pi$.

Chọn D.
Thể tích khối hộp chữ nhật cần tìm là: $V=2\cdot 6\cdot 7=84$.

Chọn A.
Gọi $V,h$ lần lượt là thể tích và chiều cao của khối chóp.
Khi đó: $h=\frac{3V}{B}=\frac{3\cdot 12}{2}=18$.

Chọn D.
Ta có $OA=r=2\Rightarrow AB=4$.
Tam giác $SAB$ có $SA=SB$, $\widehat{ASB}=60^{\circ }$ nên tam giác $SAB$ đều cạnh bằng $4$.
Suy ra độ dài đường sinh $l=SA=4$.
Vậy diện tích xung quanh của hình nón bằng:
$$S_{xq}=\pi rl=\pi \cdot 2\cdot 4=8\pi .$$

Chọn D.
Ta có:
$$V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}SA\cdot S_{ABCD}=\frac{1}{3}\cdot a\cdot a^2=\frac{a^3}{3}.$$


Chọn A.
Theo giả thiết hình vuông $ABCD$ có diện tích bằng $16\Rightarrow AB=4$.
Gọi $H$ là trung điểm của $AB\Rightarrow OH\perp (ABCD)$ và $OH=\sqrt{2};AH=2$.
$$\Rightarrow OA=\sqrt{A{H}^2+O{H}^2}=\sqrt{4+2}=\sqrt{6}.$$
Bán kính đáy $r=\sqrt{6}$; đường sinh $l=4\Rightarrow S_{xq}=2\pi rl=2\pi \cdot \sqrt{6}\cdot 4=8\sqrt{6}\pi .$


Chọn A.
Gọi $E,F$ là trung điểm $CD,C^{\prime }{D}^{\prime }$; $G$ là giao điểm của $C^{\prime }P$ và $EF$.
Do $ME\parallel C^{\prime }N\Rightarrow ME\parallel (C^{\prime }NP)\Rightarrow d(M,(C^{\prime }NP))=d(E,(C^{\prime }NP))\Rightarrow V_{M{C}^{\prime }NP}=V_{E{C}^{\prime }NP}$.
Ta có $V^{\prime }=V_{C^{\prime }MNP}=V_{E{C}^{\prime }NP}=3V_{F{C}^{\prime }NP}$ (do $EG=3FG$).
Mà $C^{\prime }D=2C^{\prime }F$ nên $V_{F{C}^{\prime }NP}=\frac{1}{2}{V}_{D^{\prime }{C}^{\prime }NP}\Rightarrow V^{\prime }=\frac{3}{2}{V}_{D^{\prime }{C}^{\prime }NP}$.
Lại có:
$$V_{D^{\prime }{C}^{\prime }NP}=\frac{1}{3}d(P,(C^{\prime }{D}^{\prime }N))\cdot S_{\Delta C^{\prime }{D}^{\prime }N}=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}d(D,(C^{\prime }{D}^{\prime }N))\cdot \frac{1}{4}{S}_{A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }}=\frac{1}{24}V.$$
Nên $V^{\prime }=\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{24}V=\frac{1}{16}V\iff \frac{V^{\prime }}{V}=\frac{1}{16}$.


Chọn B.
Diện tích xung quanh của hình trụ là $S_{xq}=2\pi rl$.
Theo đề bài: $16\pi a^2=2\pi (2a)l=4\pi al\Rightarrow l=\frac{16\pi a^2}{4\pi a}=4a$.

Chọn A.
Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy $B$ và chiều cao $h$ là $V=B\cdot h=4\cdot 6=24$.

Chọn B.
Bán kính đáy của khối nón là $r=\sqrt{l^2-h^2}=\sqrt{(6a{)}^2-(4a{)}^2}=\sqrt{20a^2}=2a\sqrt{5}$.
Thể tích khối nón là $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi (20a^2)(4a)=\frac{80\pi a^3}{3}$.

Chọn B.
Tam giác $ABC$ vuông tại $B$, có $AC=4a$, $BC=2a\Rightarrow AB=\sqrt{A{C}^2-B{C}^2}=\sqrt{16a^2-4a^2}=2a\sqrt{3}$.
Diện tích đáy $S_{ABCD}=AB\cdot BC=2a\sqrt{3}\cdot 2a=4a^2\sqrt{3}$.
Vì $S$ cách đều $A,B,C$ nên hình chiếu của $S$ lên $(ABCD)$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$, tức là trung điểm $H$ của cạnh huyền $AC$.
Do đó $SH\perp (ABCD)$ và $BH=\frac{AC}{2}=2a$.
Góc giữa $SB$ và $(ABCD)$ là $\widehat{SBH}=45^{\circ }\Rightarrow SH=BH\tan 45^{\circ }=2a$.
Thể tích khối chóp là $V=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}\cdot SH=\frac{1}{3}(4a^2\sqrt{3})(2a)=\frac{8a^3\sqrt{3}}{3}$.

Thể tích khối lăng trụ đứng là $V=S_{ABCD}\cdot A{A}^{\prime }=a^2\cdot 2a=2a^3$.

Gọi $H,K$ lần lượt là trung điểm của $AB,CD\Rightarrow SH\perp (ABCD)$ và $HK=AD=4\sqrt{3}$.
Ta có $d(AB,SC)=d(H,(SCD))=6$. Trong $△SHK$ vuông tại $H$:
$\frac{1}{6^2}=\frac{1}{S{H}^2}+\frac{1}{H{K}^2}\Rightarrow \frac{1}{S{H}^2}=\frac{1}{36}-\frac{1}{48}=\frac{1}{144}\Rightarrow SH=12$.
Thể tích $V=\frac{1}{3}\cdot SH\cdot AB\cdot AD=\frac{1}{3}\cdot 12\cdot 6\cdot 4\sqrt{3}=96\sqrt{3}\approx 166$.