Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Thể tích chóp/lăng trụ (Toán học Lớp 11)

Chọn A.
Diện tích xung quanh của hình nón là $S_{xq}=\pi rl=\pi \cdot 2\cdot 6=12\pi$.

Chọn D.
Thể tích khối trụ là $V=\pi r^{2}h=\pi \cdot 3^2\cdot 4=36\pi {\text{ cm}}^3$.

Chọn C.
Thể tích khối chóp là $V=\frac{1}{3}Bh\Rightarrow B=\frac{3V}{h}=\frac{3\cdot 12}{4}=9$.

Chọn C.
Khối lăng trụ đứng có chiều cao bằng độ dài cạnh bên, do đó $h=6$.
Thể tích khối lăng trụ là $V=B\cdot h=10\cdot 6=60$.

Chọn B.
Gọi $O=AC\cap BD$. Ta có $AO\perp BD$ và $SA\perp BD$ nên $BD\perp (SAO)$.
Kẻ $AH\perp SO$ tại $H$. Vì $BD\perp (SAO)$ nên $BD\perp AH$, suy ra $AH\perp (SBD)$.
Do đó hình chiếu của $SA$ lên mặt phẳng $(SBD)$ là đường thẳng $SH$.
Góc giữa $SA$ và mặt phẳng $(SBD)$ là góc $\widehat{ASH}=\widehat{ASO}=60^{\circ }$.
Vì đáy là hình vuông cạnh $a$ nên $AO=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.
Trong tam giác vuông $SAO$ tại $A$:
$SA=\frac{AO}{\tan \widehat{ASO}}=\frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{\tan 60^{\circ }}=\frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{6}}{6}$
Thể tích của khối chóp $S.ABCD$ là:
$V=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}\cdot SA=\frac{1}{3}\cdot a^2\cdot \frac{a\sqrt{6}}{6}=\frac{a^3\sqrt{6}}{18}$.

Chọn D.
Khi cuộn miếng tôn thành hình trụ, chiều cao hình trụ là $h=AB=4\text{ dm}$, chu vi đáy hình trụ là $C=AD=6\text{ dm}$.
Bán kính đường tròn đáy của hình trụ là $R=\frac{C}{2\pi }=\frac{6}{2\pi }=\frac{3}{\pi }\text{ dm}$.
Đáy của hình trụ là đường tròn tâm $O$. $A$ và $E$ nằm trên đường tròn đáy thứ nhất, cách nhau một cung có độ dài bằng $AE=1\text{ dm}$.
Góc ở tâm chắn cung $AE$ là $\alpha =\frac{AE}{R}=\frac{1}{3/\pi }=\frac{\pi }{3}=60^{\circ }$.
Do đó tam giác $OAE$ đều, diện tích tam giác đáy $S_{△OAE}=\frac{1}{2}{R}^2\sin 60^{\circ }=\frac{1}{2}{\left(\frac{3}{\pi }\right)}^2\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{9\sqrt{3}}{4{\pi }^2}$.
Tương tự, tính thể tích khối tứ diện $ABEF$ theo khoảng cách giữa các đường và diện tích đáy, ta thu được kết quả:
$V=\frac{6\sqrt{3}}{{\pi }^2}{\text{ dm}}^3$.

Diện tích xung quanh của hình nón: $S_{xq}=\pi rl$.
Chọn B.

Thể tích khối chóp là $V=\frac{1}{3}B\cdot (3h)=Bh$.
Chọn C.

Thể tích của khối trụ: $V=B\cdot h=12\cdot 2\sqrt{3}=24\sqrt{3}$.
Chọn A.

Thể tích khối nón là:
$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi \cdot 3^2\cdot 4=12\pi {\text{ cm}}^3.$
Chọn A.

Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Vì đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ nên $BO\perp AC$ và $BO\perp A{A}^{\prime }$, suy ra $BO\perp (A^{\prime }AC{C}^{\prime })$.
Do đó góc giữa $A^{\prime }B$ và $(A^{\prime }AC{C}^{\prime })$ là góc $\widehat{B{A}^{\prime }O}=30^{\circ }$.
Ta có $BO=\frac{BD}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.
Trong tam giác vuông $A^{\prime }OB$ tại $O$:
$A^{\prime }B=\frac{BO}{\sin 30^{\circ }}=\frac{a\sqrt{2}/2}{1/2}=a\sqrt{2}.$
Trong tam giác vuông $A^{\prime }AB$ tại $A$:
$A^{\prime }A=\sqrt{A^{\prime }{B}^2-A{B}^2}=\sqrt{(a\sqrt{2}{)}^2-a^2}=a.$
Thể tích khối lăng trụ: $V=S_{ABCD}\cdot A^{\prime }A=a^2\cdot a=a^3$.
Chọn A.

Chọn B.
Diện tích toàn phần của hình trụ bằng diện tích xung quanh cộng với diện tích hai đáy:
$$S_{tp}=2\pi Rh+2\pi R^2=2\pi R(h+R).$$
Do đó công thức ở khẳng định B thiếu hệ số 2 ở diện tích đáy nên sai.

Chọn C.
Đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $2a$ nên diện tích là:
$$S_{ABC}=\frac{(2a{)}^2\sqrt{3}}{4}=a^2\sqrt{3}.$$
Thể tích khối chóp là:
$$V=\frac{1}{3}{S}_{ABC}\cdot h=\frac{1}{3}(a^2\sqrt{3})(3a)=\sqrt{3}{a}^3.$$

Chọn B.
Theo công thức tỉ số thể tích Simson cho hình chóp tam giác:
$$\frac{V_{S.MNP}}{V_{S.ABC}}=\frac{SM}{SA}\cdot \frac{SN}{SB}\cdot \frac{SP}{SC}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{8}.$$
Do đó tỉ số nghịch đảo là:
$$\frac{V_{S.ABC}}{V_{S.MNP}}=8.$$

Chọn C.
Gọi $N$ là giao điểm của $SD$ và mặt phẳng $(BMC)$.
Vì $BC\parallel AD$ nên giao tuyến của $(BMC)$ và $(SAD)$ qua $M$ song song với $BC$ và $AD$, tức $MN\parallel AD$.
Suy ra $\frac{SN}{SD}=\frac{SM}{SA}=k$.
Khối đa diện phía trên là $S.BCNM$ được chia thành hai khối chóp tam giác $S.BCM$ và $S.MCN$:
- $\frac{V_{S.BCM}}{V_{S.BCA}}=\frac{SM}{SA}=k⟹V_{S.BCM}=k{V}_{S.BCA}=\frac{k}{2}{V}_{S.ABCD}$.
- $\frac{V_{S.MCN}}{V_{S.ACD}}=\frac{SM}{SA}\cdot \frac{SN}{SD}=k^2⟹V_{S.MCN}=k^2{V}_{S.ACD}=\frac{k^2}{2}{V}_{S.ABCD}$.
Do đó:
$$V_{S.BCNM}=\frac{k+k^2}{2}{V}_{S.ABCD}.$$
Để mặt phẳng chia khối chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau thì:
$$\frac{k+k^2}{2}=\frac{1}{2}⟺k^2+k-1=0.$$
Phương trình có nghiệm dương duy nhất trong khoảng $(0;1)$ là:
$$k=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}.$$

Thể tích khối lăng trụ là $V=B\cdot h=5\cdot 3=15$.

Cạnh của khối lập phương là $a=\sqrt[3]{V}=\sqrt[3]{8}=2$.

Thể tích khối nón là $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi (2^2)\cdot \sqrt{3}=\frac{4\pi \sqrt{3}}{3}$.

Thể tích khối trụ là $V=\pi r^{2}h=\pi \cdot 6^2\cdot 1=36\pi$.

Tam giác $ABC$ có $AB=BC=2a$ và $\widehat{ABC}=60^{\circ }$ nên tam giác $ABC$ đều cạnh $2a$.
Diện tích tam giác $ABC$ là $S_{△ABC}=\frac{(2a{)}^2\sqrt{3}}{4}=a^2\sqrt{3}$.
Hạ $AH\perp CD$ tại $H$. Vì $SA\perp (ABCD)⟹SA\perp CD$, do đó $CD\perp (SAH)$, suy ra góc giữa $(SCD)$ và đáy là góc $\widehat{SHA}=60^{\circ }$.
Vì tam giác $ADC$ đều cạnh $2a$ nên khoảng cách từ $A$ đến $CD$ là đường cao của tam giác đều: $AH=\frac{2a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$.
Trong tam giác vuông $SAH$: $SA=AH\cdot \tan 60^{\circ }=a\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=3a$.
Thể tích khối chóp $S.ABC$ là:
$V_{S.ABC}=\frac{1}{3}{S}_{△ABC}\cdot SA=\frac{1}{3}{a}^2\sqrt{3}\cdot 3a=a^3\sqrt{3}$.