Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tích phân xác định (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\int }_1^{2}2xdx={\left[x^2\right]}_1^2=4-1=3$. Vậy đáp án là A, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 101, Câu 7: A).

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị $y=f(x)$, $y=g(x)$ và các đường $x=a$, $x=b$ là $S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}|f(x)-g(x)|\mathrm{d}x$, vì trên mỗi đoạn con ta lấy khoảng cách theo phương thẳng đứng giữa hai đồ thị (giá trị tuyệt đối đảm bảo luôn không âm bất kể đồ thị nào nằm trên). Do đó đáp án là A, trùng với đáp án của đề (mã đề 101, Câu 8: A).

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất tuyến tính của tích phân: $\underset{1}{\overset{2026}{\int }}2f(x)dx=2\underset{1}{\overset{2026}{\int }}f(x)dx=2\cdot 10=20$. Vậy đáp án A, khớp với đáp án nguồn (Mã đề 101, Câu 9: A).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lý cơ bản của giải tích, vì $f^{\prime }(x)$ liên tục trên $[0,3]$ nên $\underset{0}{\overset{3}{\int }}{f}^{\prime }(x)dx=f(3)-f(0)$. Do đó $f(3)=9+f(0)=9+1=10$. Vậy đáp án A, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 102, Câu 11: A).

a) ĐÚNG. $\int (x^2-x)dx=\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+C$. b) SAI. c) Đúng: $S=\underset{-1}{\overset{2}{\int }}\left|x^2-x\right|dx=\frac{11}{6}$. d) SAI. Ta có $V=\pi \underset{-1}{\overset{2}{\int }}(x^2-x{)}^{2}dx=\pi \underset{-1}{\overset{2}{\int }}\left(x^4-2x^3+x^2\right)dx=\pi \left(\frac{x^5}{5}-\frac{x^4}{2}+\frac{x^3}{3}\right){|}_{-1}^2$.
a) a) ĐÚNG. $\int (x^2-x)dx=\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+C$.
b) b) SAI.
c) c) Đúng: $S=\underset{-1}{\overset{2}{\int }}\left|x^2-x\right|dx=\frac{11}{6}$.
d) d) SAI. Ta có $V=\pi \underset{-1}{\overset{2}{\int }}(x^2-x{)}^{2}dx=\pi \underset{-1}{\overset{2}{\int }}\left(x^4-2x^3+x^2\right)dx=\pi \left(\frac{x^5}{5}-\frac{x^4}{2}+\frac{x^3}{3}\right){|}_{-1}^2$.

Ta có: $S=\underset{-2}{\overset{1}{\int }}|f(x)|dx=\underset{-2}{\overset{0}{\int }}|f(x)|dx+\underset{0}{\overset{1}{\int }}|f(x)|dx=\underset{-2}{\overset{0}{\int }}f(x)dx-\underset{0}{\overset{1}{\int }}f(x)dx=8+3=11$.

$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left[4f(x)-2x\right]dx=1\iff 4\underset{1}{\overset{2}{\int }}f(x)dx-2\underset{1}{\overset{2}{\int }}xdx=1\iff 4\underset{1}{\overset{2}{\int }}f(x)dx-{x^2|}_1^2=1$ $\iff 4\underset{1}{\overset{2}{\int }}f(x)dx=4\iff \underset{1}{\overset{2}{\int }}f(x)dx=1$.

Ta có: $I=\underset{1}{\overset{e}{\int }}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}\right)dx=\left(\ln |x|+\frac{1}{x}\right){|}_1^e$ $=\left(1+\frac{1}{e}\right)-(0+1)=\frac{1}{e}$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất tích phân: ${\int }_0^{3}f(x)dx={\int }_0^{1}f(x)dx+{\int }_1^{3}f(x)dx$. Suy ra ${\int }_1^{3}f(x)dx=5-(-1)=6$. Vậy chọn đáp án D, trùng với đáp án của đề (Mã đề 102, Câu 4: D).

(AI giải đề cho tôi)
Hoành độ giao điểm: $x^3=4x\iff x=0,\pm 2$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị là $S={\int }_{-2}^2|x^3-4x|dx$ (do hai đồ thị cắt tại ba điểm, cần lấy trị tuyệt đối trên toàn khoảng). Vậy đáp án D, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 102, Câu 5 = D).

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y=f(x)$ liên tục trên $[a,b]$, trục Ox và hai đường $x=a$, $x=b$ là $S={\int }_a^b|f(x)|dx$. Công thức này đúng vì trên mỗi đoạn con $f(x)$ không đổi dấu, diện tích từng phần là $\int |f(x)|dx$; lấy tổng ta được kết quả. Các phương án A, C có thừa hệ số $\pi$ (chỉ dùng cho thể tích vật thể quay), phương án D thiếu giá trị tuyệt đối nên chỉ tính diện tích đại số, không đúng khi $f(x)$ đổi dấu. Kết quả khớp với đáp án nguồn: B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ nên theo định lý cơ bản của tích phân: ${\int }_1^{2}f(x)\mathrm{d}x=F(2)-F(1)=5-9=-4$. Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 102, Câu 8: B).

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y=f(x)$ liên tục trên $[a,b]$, trục Ox và hai đường $x=a,x=b$ là $S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}|f(x)|dx$. Công thức này đúng vì khi $f(x)\ge 0$ diện tích là ${\int }_a^{b}f(x)dx$, khi $f(x)\le 0$ là $-{\int }_a^{b}f(x)dx$, nên tổng quát phải lấy giá trị tuyệt đối. Các phương án B, C (có hệ số $\pi$) dùng cho thể tích khối tròn xoay, còn D chỉ đúng khi $f(x)\ge 0$ trên $[a,b]$. Khớp với đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
Giải phương trình hoành độ giao điểm: $x^3=4x\iff x(x^2-4)=0\iff x=0,x=\pm 2$. Trên $[0,2]$ có $x^3\le 4x$ nên $x^3-4x\le 0$; trên $[-2,0]$ có $x^3\ge 4x$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị là $S=\underset{-2}{\overset{2}{\int }}|x^3-4x|dx$ (do tính đối xứng, cũng bằng $2\underset{0}{\overset{2}{\int }}(4x-x^3)dx=8$). Vậy đáp án A, khớp với đáp án nguồn (Mã đề 101, Câu 11: A).

(AI giải đề cho tôi)
Câu 12 (Mã đề 101): Theo định lý cơ bản của giải tích, vì $f^{\prime }(x)$ liên tục trên $[0,3]$ nên $\underset{0}{\overset{3}{\int }}{f}^{\prime }(x)dx=f(3)-f(0)=9$. Suy ra $f(3)=9+f(0)=9+1=10$. Vậy đáp án là B, trùng với bảng đáp án nguồn (Mã đề 101, Câu 12: B). Câu hỏi được xác nhận nằm ở trang 2 của đề (Mã đề 101).

a) ĐÚNG. $\int (x^2-x)dx=\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+C$. b) SAI. c) Đúng: $S=\underset{-1}{\overset{2}{\int }}\left|x^2-x\right|dx=\frac{11}{6}$. d) SAI. Ta có $V=\pi \underset{-1}{\overset{2}{\int }}(x^2-x{)}^{2}dx=\pi \underset{-1}{\overset{2}{\int }}\left(x^4-2x^3+x^2\right)dx=\pi \left(\frac{x^5}{5}-\frac{x^4}{2}+\frac{x^3}{3}\right){|}_{-1}^2$.
a) a) ĐÚNG. $\int (x^2-x)dx=\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+C$.
b) b) SAI.
c) c) Đúng: $S=\underset{-1}{\overset{2}{\int }}\left|x^2-x\right|dx=\frac{11}{6}$.
d) d) SAI. Ta có $V=\pi \underset{-1}{\overset{2}{\int }}(x^2-x{)}^{2}dx=\pi \underset{-1}{\overset{2}{\int }}\left(x^4-2x^3+x^2\right)dx=\pi \left(\frac{x^5}{5}-\frac{x^4}{2}+\frac{x^3}{3}\right){|}_{-1}^2$.

Ta có: $S=\underset{-2}{\overset{1}{\int }}|f(x)|dx=\underset{-2}{\overset{0}{\int }}|f(x)|dx+\underset{0}{\overset{1}{\int }}|f(x)|dx=\underset{-2}{\overset{0}{\int }}f(x)dx-\underset{0}{\overset{1}{\int }}f(x)dx=8+3=11$.

$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left[4f(x)-2x\right]dx=1\iff 4\underset{1}{\overset{2}{\int }}f(x)dx-2\underset{1}{\overset{2}{\int }}xdx=1\iff 4\underset{1}{\overset{2}{\int }}f(x)dx-{x^2|}_1^2=1$ $\iff 4\underset{1}{\overset{2}{\int }}f(x)dx=4\iff \underset{1}{\overset{2}{\int }}f(x)dx=1$.

Ta có: $I=\underset{1}{\overset{e}{\int }}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}\right)dx=\left(\ln |x|+\frac{1}{x}\right){|}_1^e$ $=\left(1+\frac{1}{e}\right)-(0+1)=\frac{1}{e}$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất tích phân: $\underset{0}{\overset{3}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=\underset{0}{\overset{1}{\int }}f(x)\mathrm{d}x+\underset{1}{\overset{3}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$. Suy ra $\underset{1}{\overset{3}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=5-(-1)=6$. Vậy chọn đáp án D, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 101, câu 5: D).