Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tích phân xác định (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức Newton–Leibniz, ${\int }_1^{3}f(x)dx=F(3)-F(1)=6-2=4$. a) Sai vì tích phân bằng $4$ chứ không phải $-4$ (f không âm nên tích phân dương). b) Đúng, theo định nghĩa tích phân xác định. c) Đúng, tính chất đổi cận ${\int }_a^{b}f=-{\int }_b^{a}f$. d) Sai vì ${\int }_3^{1}3f(x)dx=-3{\int }_1^{3}f(x)dx=-3\cdot 4=-12\ne -9$.
a) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_1^{3}f(t)dt=F(3)-F(1)=6-2=4\ne -4$. Hơn nữa $f\ge 0$ nên tích phân phải không âm.
b) (AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa, tích phân từ 1 đến 3 của $f(x)$ là ${\int }_1^{3}f(x)dx=F(3)-F(1)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tính chất đổi cận: ${\int }_1^{3}f(x)dx=-{\int }_3^{1}f(x)dx$.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_3^{1}3f(x)dx=3{\int }_3^{1}f(x)dx=-3{\int }_1^{3}f(x)dx=-3\cdot 4=-12\ne -9$.

(AI giải đề cho tôi)
Trên đoạn [0;1] ta có x^{1/3} ≥ x³ (vì x^{1/3} - x³ = x^{1/3}(1 - x^{8/3}) ≥ 0).

a) Diện tích phủ men: S = ∫₀¹ (x^{1/3} - x³) dx = [3/4·x^{4/3} - 1/4·x⁴]₀¹ = 3/4 - 1/4 = 1/2 (m²), không phải 1/4 (m²). → Sai.

b) Diện tích giới hạn bởi y = x³, trục Ox, x = 0 và x = 1: S = ∫₀¹ x³ dx = 1/4 (m²), không phải π/4 (m²). → Sai.

c) Khối tròn xoay quay quanh Ox hình phẳng giới hạn bởi y = ∛x, Ox, Oy và x = 1 có thể tích V = π∫₀¹ (∛x)² dx. → Đúng.

d) Vì x^{1/3} ≥ x³ trên [0;1] nên S = ∫₀¹ (∛x - x³) dx. → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
S = ∫₀¹(∛x - x³)dx = 3/4 - 1/4 = 1/2 (m²) ≠ 1/4 (m²).
b) (AI giải đề cho tôi)
S = ∫₀¹ x³ dx = 1/4 (m²) ≠ π/4 (m²).
c) (AI giải đề cho tôi)
Công thức thể tích khối tròn xoay quanh Ox: V = π∫₀¹(∛x)² dx đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên [0;1] có ∛x ≥ x³ nên S = ∫₀¹(∛x - x³)dx đúng.

Đáp số: 16,1

Chọn gốc tọa độ tại điểm $I(0;0)$, tia $Iy$ trùng với tia $IJ$, ta có $A(-1;2)$, $B(1;2)$ và $J\left(0;\frac{1}{2}\right)$.

Phương trình parabol qua các điểm $I(0;0)$, $A(-1;2)$, $B(1;2)$ là $y=2x^2$.

Phương trình đường tròn đi qua 3 điểm $I(0;0)$, $A(-1;2)$, $B(1;2)$ là $x^2+{\left(y-\frac{5}{4}\right)}^2=\frac{25}{16}$.

(có thể tính $R=\frac{AB\cdot IA\cdot IB}{4S_{△ABI}}=\frac{5}{4}$ )

Diện tích cả hình tròn bằng $S=\pi R^2=\frac{25\pi }{16}$.

Đoạn thẳng $JA$ thuộc đường thẳng có phương trình: $y=-\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}$

Vậy diện tích phần tô đậm bằng

$S_1=2{\int }_{-1}^0\left|2x^2-\left(-\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}\right)\right|\mathrm{d}x=\frac{7}{6}$. (Cách 2 : $S_1={\int }_{-1}^1\left|1-2x^2\right|\mathrm{d}x-S_{△ABJ}=\frac{7}{6}$

Diện tích phần không tô đậm bằng $S_2=S-S_1=\frac{25}{16}\pi -\frac{7}{6}$.

Chi phí bằng $T=S_1\cdot 9+1,5S_2=\frac{7}{6}\cdot 9+\left(\frac{25\pi }{16}-\frac{7}{6}\right)\cdot 1,5\approx 16,1$ triệu đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức Newton - Leibniz, với $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$ trên $[a;b]$ thì ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(x){|}_a^b=F(b)-F(a)$ (khẳng định B đúng). Các tính chất cơ bản: ${\int }_a^{a}f(x)dx=0$ (C đúng) và ${\int }_a^{b}f(x)dx=-{\int }_b^{a}f(x)dx$ (D đúng). Khẳng định A viết ${\int }_a^{b}f(x)dx=f^{\prime }(x){|}_b^a=f^{\prime }(b)-f^{\prime }(a)$ là sai vì tích phân của $f(x)$ phải tính qua nguyên hàm $F(x)$ (với $F^{\prime }=f$), không phải qua đạo hàm $f^{\prime }(x)$; hơn nữa $f$ chỉ được giả thiết liên tục nên chưa chắc có đạo hàm. Vậy khẳng định sai là A, trùng với đáp án đề 1458 (câu 4 = A).

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính tuyến tính của tích phân: ${\int }_1^2[f(x)-g(x)]dx={\int }_1^{2}f(x)dx-{\int }_1^{2}g(x)dx=3-2=1$. Vậy đáp án là D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1458, câu 6: D).

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: trên đoạn $[c,d]$ đồ thị $f(x)$ nằm phía trên trục hoành nên $f(x)\ge 0$, diện tích phần đó là ${\int }_c^{d}f(x)dx$. Trên đoạn $[d,0]$ đồ thị nằm phía dưới trục hoành nên $f(x)\le 0$, diện tích phần đó là $-{\int }_d^{0}f(x)dx$. Vậy $S={\int }_c^{d}f(x)dx-{\int }_d^{0}f(x)dx$. Khớp với đáp án D trong mã đề 1458.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất tuyến tính của tích phân: $\underset{0}{\overset{1}{\int }}[f(x)-g(x)]dx=\underset{0}{\overset{1}{\int }}f(x)dx-\underset{0}{\overset{1}{\int }}g(x)dx=2026-2023=3$. Vậy đáp án A, khớp với đáp án nguồn (Mã đề 102, Câu 1: A).

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị $y=f(x)$, $y=g(x)$ và hai đường thẳng $x=a$, $x=b$ (với $f,g$ liên tục trên $[a,b]$) là $S={\int }_a^b|f(x)-g(x)|dx$. Công thức này đúng vì trên mỗi khoảng, $|f(x)-g(x)|$ luôn không âm nên tích phân cho đúng diện tích bất kể đồ thị nào nằm trên. Đáp án A chỉ đúng khi $f(x)\ge g(x)$ trên toàn đoạn; B thiếu giá trị tuyệt đối; C sai vì lấy $|f+g|$. Khớp với đáp án nguồn: D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có nguyên hàm của $2x$ là $x^2$. Do đó ${\int }_1^{2}2xdx={\left[x^2\right]}_1^2=2^2-1^2=4-1=3$. Vậy đáp án là C, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 102, Câu 11: C).

(AI giải đề cho tôi)
a) Trên [1;2] ta có f(x)=2x−5≤0 nên $S={\int }_1^2|2x-5|dx={\int }_1^2(5-2x)dx={\left[5x-x^2\right]}_1^2=(10-4)-(5-1)=2$. Đúng. b) $F(x)=x^2-5x+C$, $F(0)=6\Rightarrow C=6$ nên $F(x)=x^2-5x+6$. Đúng. c) Tính chất tuyến tính của tích phân: ${\int }_0^3(2x-5)dx={\int }_0^{3}2xdx-{\int }_0^{3}5dx$. Đúng. d) ${\int }_0^3(2x-5)dx={\left[x^2-5x\right]}_0^3=9-15=-6\ne 6$. Sai. Khớp với đáp án nguồn: a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) S.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên [1;2], f(x)≤0 nên $S={\int }_1^2(5-2x)dx={\left[5x-x^2\right]}_1^2=6-4=2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$F(x)=x^2-5x+C$; $F(0)=6\Rightarrow C=6$ nên $F(x)=x^2-5x+6$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Theo tính tuyến tính: ${\int }_0^3(2x-5)dx={\int }_0^{3}2xdx-{\int }_0^{3}5dx$.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_0^3(2x-5)dx={\left[x^2-5x\right]}_0^3=9-15=-6\ne 6$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất cộng tính của tích phân: ${\int }_0^{3}f(x)dx={\int }_0^{1}f(x)dx+{\int }_1^{3}f(x)dx=5+7=12$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Mã đề 102, Phần III, Câu 1: 12).

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất tuyến tính của tích phân xác định: ${\int }_1^{2026}2f(x)dx=2{\int }_1^{2026}f(x)dx=2\cdot 10=20$. Kết quả khớp với đáp án A và với bảng đáp án Mã đề 102 (Câu 2: A).

Xét hệ trục tọa độ $Oxy$ như hình vẽ.

[Hình cần kiểm tra lại: p10_f1]

Gọi phương trình parabol $(P)$ có dạng: $y=a{x}^2+bx+c$.

Khi đó $(P)$ đi qua gốc $O$, điểm $C(15;10)$ và $D(-15;10)$.

Ta có hệ phương trình: $\{\begin{array}{l}c=0\\ 225a+15b+c=10\\ 225a-15b+c=10\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=\frac{2}{45}\\ b=0\\ c=0\end{array}$.

Vậy $(P)$: $y=\frac{2}{45}{x}^2$.

Khi đó: Diện tích trồng cỏ nhung Nhật là: $S_1=2\cdot {\int }_{-15}^{15}\left(10-\frac{2}{45}{x}^2\right)dx=400\left(m^2\right)$. (0,5 điểm)

Ý 2: Diện tích hình chữ nhật là: $S=50\cdot 30=1500\left(m^2\right)$.

Diện tích trải thảm nhân tạo là: $S_2=S-S_1=1500-400=1100\left(m^2\right)$. (0,25 điểm)

Tổng số tiền để trồng và trải thảm cỏ hết khu vui chơi là:

$400\cdot 140000+1100\cdot 100000=166000000$ (đồng) $=166$ (triệu đồng).

Tổng điểm: 3,00.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lý Newton - Leibniz, nếu $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên đoạn $[a;b]$ thì $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=F(b)-F(a)$. Do đó mệnh đề đúng là phương án B, trùng với đáp án của đề (Mã đề 102, Câu 4: B).

(AI giải đề cho tôi)
Tính tuyến tính của tích phân: với $k$ là hằng số, ${\int }_a^{b}kf(x)dx=k{\int }_a^{b}f(x)dx$ nên D đúng. A và B sai vì tích phân không có tính chất nhân/phân phối qua tích hai hàm; C sai vì ${\int }_a^b[f(x)-g(x)]dx={\int }_a^{b}f(x)dx-{\int }_a^{b}g(x)dx$ (dấu trừ, không phải cộng). Khớp với đáp án nguồn: D.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất tuyến tính của tích phân: ${\int }_0^1[f(x)-g(x)]dx={\int }_0^{1}f(x)dx-{\int }_0^{1}g(x)dx=2026-2023=3$. Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 101, Câu 1: B).

(AI giải đề cho tôi)
Xét f(x)=2x−5. a) ∫₀³(2x−5)dx = [x²−5x]₀³ = 9−15 = −6 ≠ 6 nên ý a) SAI. b) Theo tính tuyến tính của tích phân: ∫₀³(2x−5)dx = ∫₀³2x dx − ∫₀³5 dx, ý b) ĐÚNG. c) Trên [1;2] ta có f(x)=2x−5 ≤ 0 nên S = ∫₁²(5−2x)dx = [5x−x²]₁² = (10−4)−(5−1) = 2, ý c) ĐÚNG. d) F(x)=x²−5x+C, F(0)=6 ⇒ C=6 ⇒ F(x)=x²−5x+6, ý d) ĐÚNG. Kết quả khớp đáp án nguồn: a) S; b) Đ; c) Đ; d) Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
∫₀³(2x−5)dx = [x²−5x]₀³ = 9−15 = −6 ≠ 6, nên khẳng định SAI.
b) (AI giải đề cho tôi)
Theo tính tuyến tính: ∫₀³(2x−5)dx = ∫₀³2x dx − ∫₀³5 dx, khẳng định ĐÚNG.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên [1;2], f(x) ≤ 0 nên S = ∫₁²(5−2x)dx = [5x−x²]₁² = 6−4 = 2, khẳng định ĐÚNG.
d) (AI giải đề cho tôi)
F(x)=x²−5x+C; F(0)=6 ⇒ C=6 ⇒ F(x)=x²−5x+6, khẳng định ĐÚNG.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất cộng tính của tích phân: ${\int }_0^{3}f(x)dx={\int }_0^{1}f(x)dx+{\int }_1^{3}f(x)dx=5+7=12$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (12).

(AI giải đề cho tôi)
Tính tuyến tính của tích phân xác định: với $k$ là hằng số, ${\int }_a^{b}kf(x)dx=k{\int }_a^{b}f(x)dx$, nên khẳng định C đúng. A sai vì ${\int }_a^b[f(x)-g(x)]dx={\int }_a^{b}f(x)dx-{\int }_a^{b}g(x)dx$ (dấu trừ, không phải dấu cộng). B và D sai vì tích phân không có tính chất nhân hóa đối với tích hai hàm. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Mã đề 101, Câu 2: C).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lý Newton - Leibniz, nếu $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên đoạn $[a;b]$ thì $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=F(b)-F(a)$. Do đó mệnh đề đúng là phương án B, trùng với đáp án của đề (Mã đề 101, Câu 6: B).