Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tích phân xác định (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Cạnh hình vuông là $2\sqrt{1-x^2}$ nên diện tích mặt cắt $S(x)={\left(2\sqrt{1-x^2}\right)}^2=4(1-x^2)$, là hàm đa thức liên tục trên $[-1;1]$ → a) Đúng. Thể tích tính theo công thức $V={\int }_{-1}^{1}S(x)dx$ (không có hệ số $\pi$ vì mặt cắt là hình vuông, không phải hình tròn) → b) Sai. $S(x)=4(1-x^2)\ne 2(1-x^2)$ → c) Sai. $V={\int }_{-1}^{1}4(1-x^2)dx=4{\left[x-\frac{x^3}{3}\right]}_{-1}^1=4\left(\frac{2}{3}+\frac{2}{3}\right)=\frac{16}{3}\ne \frac{14}{3}$ → d) Sai. Khớp đáp án nguồn: Đ S S S.
a) (AI giải đề cho tôi)
$S(x)={\left(2\sqrt{1-x^2}\right)}^2=4(1-x^2)$ là hàm đa thức, liên tục trên $[-1;1]$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Mặt cắt là hình vuông nên $V={\int }_{-1}^{1}S(x)dx$, không nhân với $\pi$ (công thức với $\pi$ chỉ dùng cho khối tròn xoay).
c) (AI giải đề cho tôi)
$S(x)={\left(2\sqrt{1-x^2}\right)}^2=4(1-x^2)$, không phải $2(1-x^2)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$V={\int }_{-1}^{1}4(1-x^2)dx=4\left(2-\frac{2}{3}\right)=\frac{16}{3}\ne \frac{14}{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Với $f(x)=x^2-2x$ khi $x\ge 2$ và $f(x)=x-2$ khi $x<2$:
a) Trên $[1;2]$ có $x<2$ nên $f(x)=x-2$, do đó ${\int }_1^{2}f(x)dx={\int }_1^2(x-2)dx$. Đúng.
b) Trên $[2;3]$ có $x\ge 2$ nên $f(x)=x^2-2x$, do đó ${\int }_2^{3}f(x)dx={\int }_2^3(x^2-2x)dx$. Đúng.
c) Sai, vì trên đoạn $[1;2]$ hàm số là $f(x)=x-2$ (nguyên hàm $\frac{x^2}{2}-2x$ chỉ dùng cho đoạn $[2;3]$); đúng phải là ${\int }_1^{3}f(x)dx={\left(\frac{x^2}{2}-2x\right)|}_1^2+{\left(\frac{x^3}{3}-x^2\right)|}_2^3$.
d) Tính: ${\int }_1^2(x-2)dx={\left(\frac{x^2}{2}-2x\right)|}_1^2=(2-4)-\left(\frac{1}{2}-2\right)=-\frac{1}{2}$; ${\int }_2^3(x^2-2x)dx={\left(\frac{x^3}{3}-x^2\right)|}_2^3=(9-9)-\left(\frac{8}{3}-4\right)=\frac{4}{3}$. Vậy ${\int }_1^{3}f(x)dx=-\frac{1}{2}+\frac{4}{3}=\frac{5}{6}\ne \frac{7}{6}$. Sai.
Khớp đáp án nguồn: Đ Đ S S.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[1;2]$ có $x<2$ nên $f(x)=x-2$, do đó ${\int }_1^{2}f(x)dx={\int }_1^2(x-2)dx$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[2;3]$ có $x\ge 2$ nên $f(x)=x^2-2x$, do đó ${\int }_2^{3}f(x)dx={\int }_2^3(x^2-2x)dx$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Sai vì trên đoạn $[1;2]$ phải dùng $f(x)=x-2$ với nguyên hàm $\frac{x^2}{2}-2x$; biểu thức trong đề dùng nhầm nguyên hàm của $x^2-2x$ cho cả hai đoạn.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_1^2(x-2)dx=-\frac{1}{2}$ và ${\int }_2^3(x^2-2x)dx=\frac{4}{3}$, tổng bằng $\frac{5}{6}\ne \frac{7}{6}$.

(AI giải đề cho tôi)
Tách tích phân: $I={\int }_{-1}^{2}2x\mathrm{d}x-2{\int }_{-1}^{2}f(x)\mathrm{d}x+3{\int }_{-1}^{2}g(x)\mathrm{d}x$. Ta có ${\int }_{-1}^{2}2x\mathrm{d}x=x^2{|}_{-1}^2=4-1=3$; $-2\cdot (-2)=4$; $3\cdot 1=3$. Vậy $I=3+4+3=10$, khớp với đáp án nguồn (Câu 2: 10).

Tương tự Mã đề 121,
Như vậy, ta có phương trình parabol đó là $y=-\frac{1}{80}{x}^2+x$ (0,25đ)
và diện tích của phần trồng hoa phía dưới là
$$S_{\text{hoa}}=\underset{0}{\overset{80}{\int }}\left|-\frac{1}{80}{x}^2+x\right|\mathrm{d}x=\underset{0}{\overset{80}{\int }}\left(-\frac{1}{80}{x}^2+x\right)\mathrm{d}x.$$ (0,25đ)
$$S_{\text{hoa}}=\left(-\frac{1}{240}.x^3+\frac{x^2}{2}\right){|}_0^{80}=\frac{3200}{3}\left(m^2\right)$$ (0,25đ)
Khi đó, diện tích của phần sân chơi là $S=80.100-2S_{\text{hoa}}=\frac{17600}{3}\left(m^2\right).$ (0,25đ)

(AI giải đề cho tôi)
Theo hình vẽ, trên đoạn $[-1;1]$ đồ thị $y=f(x)$ nằm phía trên trục $Ox$ nên diện tích phần đó là ${\int }_{-1}^{1}f(x)dx$. Trên đoạn $[1;4]$ đồ thị nằm phía dưới trục $Ox$ nên $f(x)\le 0$ và diện tích phần đó là $-{\int }_1^{4}f(x)dx$. Vậy $S={\int }_{-1}^{1}f(x)dx-{\int }_1^{4}f(x)dx$, tương ứng đáp án A, trùng với đáp án nguồn (Câu 4: A).

(AI giải đề cho tôi)
Với $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2-2x& x\ge 2\\ x-2& x<2\end{array}$:
a) Trên $[1;2]$ có $x<2$ nên $f(x)=x-2$, do đó ${\int }_1^{2}f(x)dx={\int }_1^2(x-2)dx$. Đúng.
b) Trên $[2;3]$ có $x\ge 2$ nên $f(x)=x^2-2x$, do đó ${\int }_2^{3}f(x)dx={\int }_2^3(x^2-2x)dx$. Đúng.
c) Sai vì trên đoạn $[1;2]$ phải dùng $f(x)=x-2$ (nguyên hàm $\frac{x^2}{2}-2x$ chỉ dùng cho $x\ge 2$); đúng phải là ${\int }_1^{3}f(x)dx={\left(\frac{x^2}{2}-2x\right)|}_1^2+{\left(\frac{x^3}{3}-x^2\right)|}_2^3$.
d) ${\int }_1^2(x-2)dx=\left(\frac{x^2}{2}-2x\right){|}_1^2=(2-4)-(\frac{1}{2}-2)=-\frac{1}{2}$; ${\int }_2^3(x^2-2x)dx=\left(\frac{x^3}{3}-x^2\right){|}_2^3=(9-9)-(\frac{8}{3}-4)=\frac{4}{3}$. Tổng $=-\frac{1}{2}+\frac{4}{3}=\frac{5}{6}$. Đúng. Kết quả khớp đáp án nguồn: Đ Đ S Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[1;2]$ có $x<2$ nên $f(x)=x-2$, do đó ${\int }_1^{2}f(x)dx={\int }_1^2(x-2)dx$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[2;3]$ có $x\ge 2$ nên $f(x)=x^2-2x$, do đó ${\int }_2^{3}f(x)dx={\int }_2^3(x^2-2x)dx$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Sai vì trên $[1;2]$ phải dùng $f(x)=x-2$; nguyên hàm $\frac{x^2}{2}-2x$ chỉ áp dụng cho $x\ge 2$. Đúng phải là ${\int }_1^{3}f(x)dx={\left(\frac{x^2}{2}-2x\right)|}_1^2+{\left(\frac{x^3}{3}-x^2\right)|}_2^3$.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_1^2(x-2)dx=-\frac{1}{2}$ và ${\int }_2^3(x^2-2x)dx=\frac{4}{3}$, tổng $=\frac{5}{6}$.

(AI giải đề cho tôi)
Tách tích phân: $I={\int }_{-1}^{2}x\mathrm{d}x+2{\int }_{-1}^{2}f(x)\mathrm{d}x-3{\int }_{-1}^{2}g(x)\mathrm{d}x$. Ta có ${\int }_{-1}^{2}x\mathrm{d}x={\frac{x^2}{2}|}_{-1}^2=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$. Do đó $I=\frac{3}{2}+2\cdot 2-3\cdot (-1)=\frac{3}{2}+4+3=\frac{17}{2}=8,5$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Câu 2: 8,5).

Đặt hệ trục tọa độ $Oxy$ như hình vẽ.

Nhận thấy hai phần trồng hoa dạng đường parabol có diện tích như nhau. Vậy ta xét đường parabol ở bồn hoa phía dưới có dạng $(P):y=a{x}^2+bx+c$ với $a\ne 0$.
Ta có đồ thị $(P)$ đi qua ba điểm là $O(0;0),I(30;20)$ và $A(60;0)$. Thay vào ta thu được hệ phương trình
$$\{\begin{array}{l}c=0\\ 900a+30b+c=20\\ 3600a+60b+c=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=-\frac{1}{45}\\ b=\frac{4}{3}\\ c=0\end{array}$$ (0,25đ)
Như vậy, ta có phương trình parabol đó là $y=-\frac{1}{45}{x}^2+\frac{4}{3}x$ và diện tích của phần trồng hoa phía dưới là
$$S_{\text{hoa}}=\underset{0}{\overset{60}{\int }}\left|-\frac{1}{45}{x}^2+\frac{4}{3}x\right|\mathrm{dx}=\underset{0}{\overset{60}{\int }}\left(-\frac{1}{45}{x}^2+\frac{4}{3}x\right)\mathrm{dx}.$$ (0,25đ)
$$S_{\text{hoa}}=\left(-\frac{1}{135}{x}^3+\frac{2x^2}{3}\right){|}_0^{60}=800\left(m^2\right)$$ (0,25đ)
Khi đó, diện tích của phần sân chơi là $S=60.80-2S_{\text{hoa}}=3200\left(m^2\right)$. (0,25đ)
Chú ý: Học sinh bấm máy tính phần tính diện tích thì chỉ được tối đa là 0,75đ. và học sinh dùng cách khác mà kết quả vẫn đúng thì cho điểm tối đa.

(AI giải đề cho tôi)
Từ giả thiết ${\int }_2^5-2f(x)dx=8$ suy ra $-2{\int }_2^{5}f(x)dx=8$, tức ${\int }_2^{5}f(x)dx=-4$. Theo tính chất cộng tích phân theo khoảng: ${\int }_0^{5}f(x)dx={\int }_0^{2}f(x)dx+{\int }_2^{5}f(x)dx=-2+(-4)=-6$. Vậy đáp án D, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, trên đoạn $[-1;1]$ đồ thị $y=f(x)$ nằm trên trục hoành nên ${\int }_{-1}^{1}f(x)dx\ge 0$; trên đoạn $[1;4]$ đồ thị nằm dưới trục hoành nên ${\int }_1^{4}f(x)dx\le 0$. Do đó diện tích là $S={\int }_{-1}^{1}f(x)dx-{\int }_1^{4}f(x)dx$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (A).

(AI giải đề cho tôi)
Trên đoạn [0;1] ta có x^{1/3} ≥ x³ (ví dụ x=1/4: √[3]{1/4}≈0,63 > 0,0156), nên diện tích phần gạch đậm là S = ∫₀¹(√[3]{x} − x³)dx = [3/4·x^{4/3} − x⁴/4]₀¹ = 3/4 − 1/4 = 1/2 (m²).
a) Sai: công thức trong đề lấy x³ − √[3]{x}, cho giá trị âm (−1/2), không phải diện tích.
b) Sai: diện tích đúng bằng 1/2 m², không phải 1/3 m².
c) Đúng: thể tích khối tròn xoay quay quanh Ox là V = π∫₀¹(√[3]{x})²dx = π∫₀¹x^{2/3}dx = π·3/5 = 3π/5 (m³), công thức trong đề đúng.
d) Đúng: ∫₀¹x³dx = 1/4 (m²).
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Trên [0;1] thì √[3]{x} ≥ x³ nên diện tích phải là ∫₀¹(√[3]{x} − x³)dx; công thức x³ − √[3]{x} cho giá trị âm.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) S = ∫₀¹(√[3]{x} − x³)dx = 3/4 − 1/4 = 1/2 (m²), không phải 1/3 m².
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) V = π∫₀¹(√[3]{x})²dx = π∫₀¹x^{2/3}dx = 3π/5 (m³); công thức đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) ∫₀¹x³dx = 1/4 (m²).

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất tích phân: ${\int }_1^{2}f(x)dx=F(2)-F(1)=5-2=3$.
a) ${\int }_2^{1}3f(x)dx=-3{\int }_1^{2}f(x)dx=-3\cdot 3=-9$. Đúng.
b) ${\int }_1^{2}f(x)dx=-{\int }_2^{1}f(x)dx$ là tính chất đổi cận của tích phân. Đúng.
c) Theo công thức Newton-Leibniz, ${\int }_1^{2}f(x)dx=F(2)-F(1)$, nên hiệu $F(2)-F(1)$ được gọi là tích phân từ 1 đến 2 của $f(x)$. Đúng.
d) ${\int }_1^{2}f(t)dt=F(2)-F(1)=3\ne 5$. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_2^{1}3f(x)dx=-3{\int }_1^{2}f(x)dx=-3[F(2)-F(1)]=-3(5-2)=-9$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tính chất đổi cận: ${\int }_1^{2}f(x)dx=-{\int }_2^{1}f(x)dx$ luôn đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Theo Newton-Leibniz, ${\int }_1^{2}f(x)dx=F(2)-F(1)$, nên hiệu này chính là tích phân từ 1 đến 2 của $f(x)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_1^{2}f(t)dt=F(2)-F(1)=5-2=3\ne 5$.

Đáp số: 19,2

Chọn gốc tọa độ tại điểm $I(0;0)$, tia $Iy$ trùng với tia $IJ$, ta có $A(-1;2)$, $B(1;2)$ và $J\left(0;\frac{1}{2}\right)$.

Phương trình parabol qua các điểm $I(0;0)$, $A(-1;2)$, $B(1;2)$ là $y=2x^2$ .

Phương trình đường tròn đi qua 3 điểm $I(0;0)$, $A(-1;2)$, $B(1;2)$ là $x^2+{\left(y-\frac{5}{4}\right)}^2=\frac{25}{16}$ .

(có thể tính $R=\frac{AB.IA.IB}{4S_{\Delta ABI}}=\frac{5}{4}$ )

Diện tích cả hình tròn bằng $S=\pi R^2=\frac{25\pi }{16}$ .

Đoạn thẳng $JA$ thuộc đường thẳng có phương trình: $y=-\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}$

Vậy diện tích phần tô đậm bằng
$S_1=2\underset{-1}{\overset{0}{\int }}\left|2x^2-\left(-\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}\right)\right|\mathrm{d}x=\frac{7}{6}$ . (Cách 2 : $S_1=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\left|1-2x^2\right|\mathrm{d}x-S_{\Delta ABJ}=\frac{7}{6}$

Diện tích phần không tô đậm bằng $S_2=S-S_1=\frac{25}{16}\pi -\frac{7}{6}$ .

Chi phí bằng $T=S_1.10+2S_2=\frac{7}{6}.10+\left(\frac{25\pi }{16}-\frac{7}{6}\right).2\approx 19,2$ triệu đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất cộng tính của tích phân: ${\int }_0^{2}f(x)\mathrm{d}x={\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x+{\int }_1^{2}f(x)\mathrm{d}x=2+4=6$. Kết quả trùng với đáp án A và với bảng đáp án mã đề 2463 (câu 3: A).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa tích phân: ${\int }_a^{b}f(x)dx=-{\int }_b^{a}f(x)dx$ (A đúng), ${\int }_a^{a}f(x)dx=0$ (B đúng), và theo công thức Newton–Leibniz ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(x){|}_a^b=F(b)-F(a)$ (D đúng). Khẳng định C sai vì ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(x){|}_a^b=F(b)-F(a)$, không phải $f^{\prime }(b)-f^{\prime }(a)$; hơn nữa $f$ chỉ liên tục nên chưa chắc có đạo hàm. Khớp với đáp án nguồn (mã đề 2463, câu 4: C).

(AI giải đề cho tôi)
Trên đoạn $[0;\pi ]$, đồ thị $y=\cos x$ nằm trên trục $Ox$ với $x\in [0;\frac{\pi }{2}]$ và nằm dưới trục $Ox$ với $x\in [\frac{\pi }{2};\pi ]$. Do đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường $x=0$, $x=\pi$, đồ thị $y=\cos x$ và trục $Ox$ là $S={\int }_0^{\pi }|\cos x|\mathrm{d}x$. Vậy đáp án D, khớp với đáp án nguồn (mã đề 2463, câu 5: D).

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: trên đoạn $[c,d]$ đồ thị $f(x)$ nằm trên trục hoành nên $f(x)\ge 0$, diện tích phần này là ${\int }_c^{d}f(x)dx$. Trên đoạn $[d,0]$ đồ thị nằm dưới trục hoành nên $f(x)\le 0$, diện tích phần này là $-{\int }_d^{0}f(x)dx$. Vậy $S={\int }_c^{d}f(x)dx-{\int }_d^{0}f(x)dx$. Khớp với đáp án B trong mã đề 2463.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất tuyến tính của tích phân xác định: ${\int }_1^2[f(x)-g(x)]dx={\int }_1^{2}f(x)dx-{\int }_1^{2}g(x)dx=3-2=1$. Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 2463, câu 8: B).

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $x=0$, $x=\pi$, đồ thị $y=\cos x$ và trục $Ox$ là $S=\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}|\cos x|\mathrm{d}x$, vì trên $[0;\pi ]$ hàm $\cos x$ đổi dấu (dương trên $[0;\frac{\pi }{2}]$, âm trên $[\frac{\pi }{2};\pi ]$) nên phải lấy trị tuyệt đối. Cụ thể $S={\int }_0^{\pi /2}\cos xdx-{\int }_{\pi /2}^{\pi }\cos xdx=1+1=2$. Phương án A sai vì thừa hệ số $\pi$; B sai vì ${\int }_0^{\pi }\cos xdx=0$; D sai vì ${\cos }^{2}x\ne |\cos x|$. Đáp án khớp với mã đề 1458, câu 11 = C.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất tích phân: ${\int }_0^{2}f(x)dx={\int }_0^{1}f(x)dx+{\int }_1^{2}f(x)dx=3+(-2)=1$. Vậy đáp án A, khớp với đáp án đề 1458 (câu 12: A).