Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tích phân xác định (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: $f(x)=1$ trên $[0;3]$ và $f$ là đoạn thẳng từ $(3;1)$ đến $(4;3)$. Do đó ${\int }_0^{4}f(x)dx=3\cdot 1+\frac{1+3}{2}\cdot 1=5$. Ngoài ra ${\int }_0^4\sqrt{16-x^2}dx$ là diện tích phần tư đường tròn bán kính 4 nên bằng $\frac{16\pi }{4}=4\pi$. Vậy ${\int }_0^4(\sqrt{16-x^2}+2f(x))dx=4\pi +10=m\pi +n$ với $m=4,n=10$, suy ra $m+n=14$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 1002, câu 4: 14).

+ Vẽ đồ thị các hàm số trên cùng 1 hệ trục tọa độ



+ Xác định được hoành độ giao điểm các đồ thị: x= 0, x = 1, x = 5.

+ Diện tích cần tìm

$$S=\underset{0}{\overset{1}{\int }}3x^{2}dx+\underset{1}{\overset{5}{\int }}\frac{3}{x}dx=1+3\ln 5.\text{ (đvdt)}$$

Điểm: 0,25 (vẽ đồ thị); 0,25 (xác định giao điểm); 0,25 + 0,25 (diện tích)

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất tuyến tính của tích phân: ${\int }_{-1}^{1}4f(x)dx=4{\int }_{-1}^{1}f(x)dx=4\cdot (-2)=-8$. Vậy đáp án A, khớp với đáp án nguồn (Mã đề 1002, Câu 5: A).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lý Newton - Leibniz, nếu $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $[a;b]$ thì ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$. Do đó khẳng định đúng là phương án C. Đáp án này cũng khớp với bảng đáp án của đề (Mã đề 1002, Câu 7: C).

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức tính thể tích vật thể biết diện tích mặt cắt vuông góc với trục $Ox$ là $T(x)$ liên tục trên $[a;b]$: $V={\int }_a^{b}T(x)dx$. Với $a=-1,b=2$ ta được $V={\int }_{-1}^{2}T(x)dx$. Các phương án A, C dùng thừa hệ số $\pi$ (chỉ áp dụng khi quay quanh trục), phương án B dùng bình phương diện tích là sai. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 1002, Câu 8: D).

(AI giải đề cho tôi)
Tích phân trên đoạn suy biến ${\int }_a^{a}f(x)dx=0$, không phụ thuộc giá trị $f(a)$, nên khẳng định B sai. A đúng theo tính chất cộng tính của tích phân, C đúng theo tính tuyến tính, D đúng vì tích phân không phụ thuộc biến tích phân ($x$ hay $t$ đều cho cùng giá trị). Đáp án B trùng với đáp án nguồn (mã đề 1002, câu 9: B).

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y=3x-2$, $y=x^2$ trên đoạn $[-1;3]$ là $S={\int }_{-1}^3\left|3x-2-x^2\right|dx={\int }_{-1}^3\left|-x^2+3x-2\right|dx$. Khớp với đáp án B (đáp án theo mã đề 1001 là B).

(AI giải đề cho tôi)
a) ${\int }_1^2\frac{-3}{x^3}dx={\left[\frac{3}{2x^2}\right]}_1^2=\frac{3}{8}-\frac{3}{2}=-\frac{9}{8}\ne \frac{9}{8}$, nên ý a) SAI. b) ${\int }_{-3}^1[2-5f(x)]dx=2(1-(-3))-5(-2)=8+10=18$, nên ý b) ĐÚNG. c) ${\int }_a^b\sin xdx=[-\cos x{]}_a^b=\cos a-\cos b\ne \cos b-\cos a$, nên ý c) SAI. d) ${\int }_0^{1}f(x)dx={\int }_0^{4}f(x)dx-{\int }_1^{4}f(x)dx=6-(-5)=11$, do đó ${\int }_1^{0}f(t)dt=-11\ne 11$, nên ý d) SAI. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 1001: S D S S.
a) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_1^2\frac{-3}{x^3}dx={\left[\frac{3}{2x^2}\right]}_1^2=\frac{3}{8}-\frac{3}{2}=-\frac{9}{8}\ne \frac{9}{8}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_{-3}^1[2-5f(x)]dx=2\cdot 4-5(-2)=18$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_a^b\sin xdx=\cos a-\cos b$, không phải $\cos b-\cos a$.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_0^{1}f(x)dx=6-(-5)=11$, nên ${\int }_1^{0}f(t)dt=-11\ne 11$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: $f(x)=2$ trên $[0;3]$, và $f(x)$ là đoạn thẳng từ $(3;2)$ đến $(5;4)$, tức $f(x)=x-1$ trên $[3;5]$.
${\int }_0^{5}f(x)dx=2\cdot 3+\frac{(2+4)}{2}\cdot 2=6+6=12$.
${\int }_0^5\sqrt{25-x^2}dx=\frac{25\pi }{4}$ (diện tích phần tư đường tròn bán kính 5).
Vậy ${\int }_0^5(\sqrt{25-x^2}+3f(x))dx=\frac{25\pi }{4}+36$, nên $a=25,b=4,c=36$, $a+b+c=65$. Khớp đáp án nguồn.

+ Vẽ đồ thị các hàm số trên cùng 1 hệ trục tọa độ

[Hình cần kiểm tra lại: p11_f2]

+ Xác định được hoành độ giao điểm các đồ thị: x= 0, x = 1, x = 4.

+ Diện tích cần tìm

$$S=\underset{0}{\overset{1}{\int }}2x^{2}dx+\underset{1}{\overset{4}{\int }}\frac{2}{x}dx=\frac{2}{3}+4\ln 2.\text{ (đvdt)}$$

Điểm: 0,25 (vẽ đồ thị); 0,25 (xác định giao điểm); 0,25 + 0,25 (diện tích)

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức Newton–Leibniz: ${\int }_a^b{f}^{\prime }(x)dx=f(b)-f(a)=3-(-1)=4$. Vậy đáp án B, khớp với đáp án nguồn (Mã đề 1001, Câu 4: B).

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y=f(x)$, trục $Ox$ và hai đường $x=a$, $x=b$ là $S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}|f(x)|dx$, vì $f(x)$ có thể âm trên một phần đoạn $[a;b]$ nên phải lấy giá trị tuyệt đối. Các đáp án A, B dùng $\pi$ và bình phương thuộc công thức thể tích khối tròn xoay; đáp án D chỉ đúng khi $f(x)\ge 0$. Khớp với đáp án nguồn C.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất tuyến tính của tích phân: ${\int }_{-1}^{1}5f(x)dx=5{\int }_{-1}^{1}f(x)dx=5\cdot (-2)=-10$. Vậy đáp án D, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lý Newton–Leibniz, nếu $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $[0;3]$ thì $\underset{0}{\overset{3}{\int }}f(x)dx=F(3)-F(0)$. Do đó khẳng định đúng là phương án B, trùng với đáp án nguồn (Câu 8, mã đề 1001: B).

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng khẳng định với $f(x)$ liên tục trên $[a;b]$:
- A đúng: theo tính chất đổi cận, ${\int }_a^{b}f(x)dx=-{\int }_b^{a}f(x)dx$.
- B sai: tính chất cộng tính của tích phân là ${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{c}f(x)dx+{\int }_c^{b}f(x)dx$ với $a<c<b$, chứ không phải ${\int }_b^{c}f(x)dx$. Đề bài viết ${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{c}f(x)dx+{\int }_b^{c}f(x)dx$ là sai vì ${\int }_b^{c}f(x)dx=-{\int }_c^{b}f(x)dx$.
- C đúng: tính chất tuyến tính của tích phân.
- D đúng: giá trị tích phân không phụ thuộc tên biến tích phân, nên ${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{b}f(y)dy$.
Vậy khẳng định sai là B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1001, Câu 9: B).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=2x+3$, nguyên hàm $F(x)=x^2+3x+C$.
a) Đúng. Chọn $F(x)=x^2+3x-2$ (thỏa $F(1)=2$). Thể tích $V=\pi {\int }_1^3(x^2+3x-2{)}^{2}dx=\pi {\int }_1^3(x^4+6x^3+5x^2-12x+4)dx=\pi {\left[\frac{x^5}{5}+\frac{3x^4}{2}+\frac{5x^3}{3}-6x^2+4x\right]}_1^3=\pi \left(\frac{2576}{15}\right)=\frac{2576\pi }{15}$.
b) Sai. Nếu $F(1)=2$ thì $1+3+C=2\Rightarrow C=-2$, nên $F(x)=x^2+3x-2$, không phải $x^2+3x+2$.
c) Sai. $f(x)=0\iff x=-\frac{3}{2}$. Diện tích $S={\int }_{-2}^{-1.5}-(2x+3)dx+{\int }_{-1.5}^1(2x+3)dx=\frac{1}{4}+\frac{25}{4}=\frac{13}{2}=6,5\ne 6$.
d) Đúng. ${\int }_0^2(2x+3)dx=[x^2+3x{]}_0^2=10$; ${\int }_5^2(2x+3)dx=[x^2+3x{]}_5^2=10-40=-30$; ${\int }_{-1}^0(2x+3)dx=0-(1-3)=2$. Tổng $=10-(-30)+2=42$. Khớp đáp án nguồn (đề 0002: 3a Đ, 3b S, 3c S, 3d Đ).
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $F(x)=x^2+3x-2$, $V=\pi {\int }_1^3(x^2+3x-2{)}^{2}dx=\frac{2576\pi }{15}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$F(1)=2\Rightarrow C=-2$, nên $F(x)=x^2+3x-2\ne x^2+3x+2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Diện tích $=\frac{13}{2}=6,5\ne 6$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$10-(-30)+2=42$.

(AI giải đề cho tôi)
Hình phẳng nằm trên trục Ox, giới hạn bởi $y=2026^x>0$, $y=0$, $x=0$, $x=2$. Diện tích là $S={\int }_0^2\left(2026^x-0\right)dx={\int }_0^{2}2026^{x}dx$. Các phương án có $\pi$ dùng cho thể tích quay quanh trục Ox, còn $2026^{2x}$ là bình phương hàm số, đều sai. Khớp với đáp án nguồn B.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục Oxy với A(0,0), B(80,0), trục Ox dọc theo mép trên AB, chiều dương Oy hướng xuống. Chiều sâu (dài) gầu là 120 cm.

Đường cong AC là cung parabol có đỉnh tại $x=30$, độ sâu lớn nhất 22,5 cm (theo kích thước 30, 10, 22,5 trên hình) và đi qua A(0,0). Phương trình dạng $y=a(x-30{)}^2+22,5$; thay A(0,0): $900a+22,5=0\Rightarrow a=-\frac{1}{40}$, tức $y=22,5-\frac{(x-30{)}^2}{40}$.

Kiểm tra tại C(40, y): $y=22,5-\frac{100}{40}=20$, đúng với kích thước 20 cm ở cạnh B (C cách B theo phương thẳng đứng 20 cm).

Diện tích phần cong (giữa đoạn AB và cung AC, với x từ 0 đến 40):
$$S_1={\int }_0^{40}\left(22,5-\frac{(x-30{)}^2}{40}\right)dx=22,5\cdot 40-{\left[\frac{(x-30{)}^3}{120}\right]}_0^{40}=900-\frac{10000-(-27000)}{120}=900-\frac{37000}{120}=\frac{2000}{3}{\text{cm}}^2.$$

Diện tích phần tam giác dưới đoạn BC (đáy 40 cm, chiều cao 20 cm): $S_2=\frac{1}{2}\cdot 40\cdot 20=400{\text{cm}}^2$.

Tổng diện tích mặt cắt ngang: $S=\frac{2000}{3}+400=\frac{3200}{3}{\text{cm}}^2$.

Thể tích gầu (chiều dài 120 cm): $V=\frac{3200}{3}\cdot 120=128000{\text{cm}}^3=128\text{lıˊt}$.

Kết quả khớp với đáp án 128 ở trang đáp án.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y=2026^x$, $y=0$, $x=0$, $x=2$ là $S=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left(2026^x-0\right)dx=\underset{0}{\overset{2}{\int }}2026^{x}dx$. Vậy đáp án B, khớp với đáp án nguồn (mã đề 0001, câu 2: B).

(AI giải đề cho tôi)
Từ giả thiết $\underset{2}{\overset{5}{\int }}-2f(x)dx=8$, suy ra $-2\underset{2}{\overset{5}{\int }}f(x)dx=8\Rightarrow \underset{2}{\overset{5}{\int }}f(x)dx=-4$. Theo tính chất cộng tính của tích phân: $\underset{0}{\overset{5}{\int }}f(x)dx=\underset{0}{\overset{2}{\int }}f(x)dx+\underset{2}{\overset{5}{\int }}f(x)dx=-2+(-4)=-6$. Vậy đáp án D, trùng với đáp án nguồn.