Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tích phân xác định (Toán học Lớp 12)

Đáp án: 3200.
Lời giải chi tiết: Diện tích của phần sân chơi bằng diện tích của hình chữ nhật trừ đi diện tích của hai phần trồng hoa.
Diện tích của hình chữ nhật là: $60\cdot 80=4800m^2$.
Diện tích của mỗi phần trồng hoa bằng diện tích của một parabol.
Chọn hệ trục $Oxy$ như hình vẽ.



Phương trình parabol bên dưới có dạng: $y=a{x}^2+b$ (vì đỉnh parabol thuộc trục tung).
Ta có $\{\begin{array}{l}y(0)=20\\ y(30)=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}b=20\\ a.30^2+20=0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}a=-\frac{1}{45}\\ b=20\end{array}$.
Phương trình Parabol dưới là $y=-\frac{1}{45}{x}^2+20$
Diện tích của mỗi phần trồng hoa bằng: $\underset{-30}{\overset{30}{\int }}\left(-\frac{1}{45}{x}^2+20\right)dx=800({\mathrm{m}}^2)$
Diện tích của phần sân chơi là: $4800-2.800=3200({\mathrm{m}}^2)$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất tuyến tính của tích phân: ${\int }_2^3[f(x)-g(x)]dx={\int }_2^{3}f(x)dx-{\int }_2^{3}g(x)dx=3-(-5)=8$. Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn.

Đáp án: 1280.
Lời giải chi tiết: Xét mặt cắt parabol, chọn hệ trục như hình vẽ. Ta thấy Parabol đi qua các điểm $A(-4;8)$, $B(4;8)$, $C(0;0)$ nên có phương trình $y=\frac{1}{2}{x}^2$. Diện tích phần mặt cắt tính như sau:


$$S=S_{hv}-\underset{-4}{\overset{4}{\int }}\frac{1}{2}{x}^{2}dx=64-\frac{64}{3}=\frac{128}{3}\left({\mathrm{dm}}^2\right)$$
Do đó thể tích của bồn bằng $V=\underset{0}{\overset{30}{\int }}Sdx=\underset{0}{\overset{30}{\int }}\frac{128}{3}dx=1280\left({\mathrm{dm}}^3\right)$.

Đáp án: 5.
Lời giải chi tiết: $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{3}}{\int }}\left(2\sin x-\cos x\right)dx=\left(-2\cos x-\sin x\right){|}_0^{\frac{\pi }{3}}=\frac{2-\sqrt{3}}{2}\Rightarrow a=2;b=-1\Rightarrow a^2+b^2=5$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lý cơ bản của giải tích (công thức Newton - Leibniz): nếu $f$ liên tục trên $[a;b]$ và $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $[a;b]$ thì $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=F(b)-F(a)$. Do đó đáp án đúng là A, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 222, Câu 3: A).

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất cộng tính của tích phân: ${\int }_2^{5}f(x)dx={\int }_2^{3}f(x)dx+{\int }_3^{5}f(x)dx=3+4=7$. Vậy đáp án D, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 222, Câu 5: D).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có nguyên hàm của $e^x$ là $e^x$. Do đó ${\int }_0^2{e}^{x}dx=e^x{|}_0^2=e^2-e^0=e^2-1$. Kết quả trùng với đáp án D và với bảng đáp án mã đề 222 (Câu 6: D).

(AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm: $\int \left(\frac{1}{4}x-1\right)dx=\frac{x^2}{8}-x$. Do đó $I=\left(\frac{8^2}{8}-8\right)-\left(\frac{3^2}{8}-3\right)=(8-8)-\left(\frac{9}{8}-3\right)=0-\left(-\frac{15}{8}\right)=\frac{15}{8}$. Kết quả khớp với đáp án A trong bảng hướng dẫn chấm (Mã đề 111, Câu 1: A).

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai. Vì $I={\int }_a^{b}6x^{5}dx=6{\int }_a^b{x}^{5}dx=6J$ nên $J=\frac{I}{6}$, không phải $J=6I$. b) Đúng. Theo tính tuyến tính của tích phân: ${\int }_a^b[f(x)+g(x)]dx={\int }_a^{b}f(x)dx+{\int }_a^{b}g(x)dx$. c) Đúng. ${\int }_0^4[2f(x)+3]dx={\int }_0^4(12x^5+3)dx={\left[2x^6+3x\right]}_0^4=2\cdot 4096+12=8204$. d) Sai. $-g(x)=2e^x$ nên ${\int }_0^1[-g(x)+5]dx={\int }_0^1(2e^x+5)dx={\left[2e^x+5x\right]}_0^1=(2e+5)-(2)=2e+3\ne 2e-3$. Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$I={\int }_a^{b}6x^{5}dx=6{\int }_a^b{x}^{5}dx=6J$, suy ra $J=\frac{I}{6}\ne 6I$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tính tuyến tính của tích phân xác định: ${\int }_a^b[f(x)+g(x)]dx={\int }_a^{b}f(x)dx+{\int }_a^{b}g(x)dx$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_0^4(12x^5+3)dx={\left[2x^6+3x\right]}_0^4=2\cdot 4096+12=8204$.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_0^1(2e^x+5)dx={\left[2e^x+5x\right]}_0^1=2e+3\ne 2e-3$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 15: Cho $f(x)=2x$, $g(x)=3\cos x$.
a) ${\int }_{-10}^{7}2xdx={\left[x^2\right]}_{-10}^7=49-100=-51$ → Đúng.
b) ${\int }_0^{\pi }3\cos xdx={\left[3\sin x\right]}_0^{\pi }=3\sin \pi -3\sin 0=0\ne 2\pi$ → Sai.
c) $\int (2x+3\sin x)dx=x^2-3\cos x+C$ (vì $(x^2-3\cos x{)}^{\prime }=2x+3\sin x$) → Đúng.
d) $\int (2x-\pi \sin x)dx=x^2+\pi \cos x+C\ne x^2-{\pi }^2\cos x+C$ → Sai.
Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_{-10}^{7}2xdx={\left[x^2\right]}_{-10}^7=49-100=-51$.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_0^{\pi }3\cos xdx={\left[3\sin x\right]}_0^{\pi }=0\ne 2\pi$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$(x^2-3\cos x+C{)}^{\prime }=2x+3\sin x$, đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\int (2x-\pi \sin x)dx=x^2+\pi \cos x+C\ne x^2-{\pi }^2\cos x+C$.

Đáp án: 27.
Lời giải chi tiết: Ta có $$\underset{-\frac{\pi }{3}}{\overset{\pi }{\int }}\left(\sqrt{2}\sin x-9\cos x\right)dx=\left(-\sqrt{2}\cos x-9\sin x\right){|}_{-\frac{\pi }{3}}^{\pi }=\frac{3\sqrt{2}-9\sqrt{3}}{2}$$ Suy ra $a=3;b=9\Rightarrow P=27$.

Đáp án: 13.
Lời giải chi tiết: Gọi $S$ là diện tích hình phẳng cần tìm. Ta có:
$$S=\underset{-2}{\overset{3}{\int }}\left|x^2-4\right|dx=\underset{-2}{\overset{2}{\int }}\left|x^2-4\right|dx+\underset{2}{\overset{3}{\int }}\left|x^2-4\right|dx$$
$$=\underset{-2}{\overset{2}{\int }}\left(-x^2+4\right)dx+\underset{2}{\overset{3}{\int }}\left(x^2-4\right)dx=\left(-\frac{x^3}{3}+4x\right){|}_{-2}^2+\left(\frac{x^3}{3}-4x\right){|}_2^3$$
$$=13(\text{dvdt}).$$

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất tuyến tính của tích phân: ${\int }_1^2\left[f(x)+g(x)\right]dx={\int }_1^{2}f(x)dx+{\int }_1^{2}g(x)dx=3+(-2)=1$. Vậy đáp án là D, trùng với đáp án nguồn (Câu 4, mã đề 111: D).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $I={\int }_0^{\pi /6}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x\right)dx=-\frac{\sqrt{3}}{2}{\left[-\cos x\right]}_0^{\pi /6}=\frac{\sqrt{3}}{2}\left(\cos \frac{\pi }{6}-\cos 0\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-1\right)=\frac{3-2\sqrt{3}}{4}$. Vậy đáp án D, khớp với đáp án nguồn (Mã đề 111, Câu 5: D).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lý cơ bản của giải tích (công thức Newton - Leibniz): nếu $f(x)$ liên tục trên $[a;b]$ và $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $[a;b]$ thì $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=F(b)-F(a)$. Do đó mệnh đề đúng là A, khớp với đáp án nguồn (Câu 7, Mã đề 111: A).

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức Newton–Leibniz, vì $f^{\prime }(x)$ liên tục trên $[a;b]$ nên $\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^{\prime }(x)\mathrm{d}x=f(b)-f(a)$. Do đó mệnh đề đúng là D. Các phương án khác sai: A dùng $F(x)$ (nguyên hàm của $f$) thay vì $f$; B đúng phải là $f(b)-f(a)$ chứ không phải $f^{\prime }(b)-f^{\prime }(a)$; C đúng phải là $F(b)-F(a)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Câu 9, mã đề 111: D).

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y=-x^2+3x-2$, $x=0$, $x=3$ và trục $Ox$ là $S={\int }_0^3\left|-x^2+3x-2\right|dx$ vì hàm số đổi dấu trên $[0;3]$ (cắt trục $Ox$ tại $x=1$ và $x=2$), nên phải lấy giá trị tuyệt đối. Không có hệ số $\pi$ (loại A, D) và không được bỏ dấu giá trị tuyệt đối (loại C). Đáp án khớp với mã đề 1002, Câu 1: B.

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức Newton–Leibniz: ${\int }_a^b{f}^{\prime }(x)dx=f(b)-f(a)=-3-(-1)=-2$. Vậy đáp án D, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1002, Câu 10: D).

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị $y=f(x)$, $y=g(x)$ và các đường $x=a$, $x=b$ $(a<b)$, với $f,g$ liên tục trên $[a;b]$, được tính bằng công thức $S={\int }_a^b|f(x)-g(x)|dx$. Giá trị tuyệt đối đảm bảo luôn lấy khoảng cách giữa hai đồ thị bất kể chúng nằm trên hay dưới nhau. Các phương án có hệ số $\pi$ (A, D) thuộc công thức thể tích khối tròn xoay, còn phương án C thiếu giá trị tuyệt đối nên chỉ đúng khi $f(x)\ge g(x)$ trên $[a;b]$. Đáp án khớp với bảng đáp án mã đề 1002 (Câu 11: B).

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: nguyên hàm của cos x là sin x nên tích phân bằng sin b - sin a. b) Sai: ∫₁² -3/x⁴ dx = [1/x³]₁² = 1/8 - 1 = -7/8 ≠ -9/8. c) Đúng: ∫₆⁴ f(t)dt = -∫₄⁶ f = -(∫₀⁶ - ∫₀⁴) = -(-6 - 2) = 8. d) Đúng: ∫₋₂¹ [2 - 5f(x)]dx = 2·3 - 5·(-2) = 16. Khớp đáp án mã đề 1002: DSDD.
a) (AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm của cos x là sin x, nên ∫ₐᵇ cos x dx = sin b - sin a với a < b.
b) (AI giải đề cho tôi)
∫₁² -3/x⁴ dx = [x⁻³]₁² = 1/8 - 1 = -7/8, không bằng -9/8.
c) (AI giải đề cho tôi)
∫₆⁴ f(t)dt = -∫₄⁶ f = -(∫₀⁶ f - ∫₀⁴ f) = -(-6 - 2) = 8.
d) (AI giải đề cho tôi)
∫₋₂¹ [2 - 5f(x)]dx = 2(1-(-2)) - 5(-2) = 6 + 10 = 16.