Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tích phân xác định (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ (trang 2), trên đoạn $[-1;0]$ đồ thị $f(x)$ nằm trên trục hoành tạo hình $(K)$ có diện tích 2, nên ${\int }_{-1}^{0}f(x)dx=2$. Trên đoạn $[0;2]$ đồ thị nằm dưới trục hoành tạo hình $(H)$ có diện tích 11, nên ${\int }_0^{2}f(x)dx=-11$. Do đó ${\int }_{-1}^{2}f(x)dx={\int }_{-1}^{0}f(x)dx+{\int }_0^{2}f(x)dx=2+(-11)=-9$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Câu 8, mã đề 1201: C).

(AI giải đề cho tôi)
Theo hình vẽ, $f(x)\ge 0$ trên $[a;c]$ và $f(x)\le 0$ trên $[c;b]$. Diện tích hình phẳng $(H)$ là $S={\int }_a^{c}f(x)dx-{\int }_c^{b}f(x)dx={\int }_a^b|f(x)|dx$. Xét các mệnh đề: B đúng vì $S={\int }_a^b|f(x)|dx$. C đúng vì ${\int }_b^{c}f(x)dx=-{\int }_c^{b}f(x)dx\ge 0$, nên ${\int }_a^{c}fdx+{\int }_b^{c}fdx=S$. D đúng theo công thức trên. A sai vì ${\int }_a^{c}fdx+{\int }_c^{b}fdx={\int }_a^{b}f(x)dx$ là tích phân có dấu (phần âm bị trừ đi), không phải diện tích. Vậy mệnh đề sai là A, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\int }_1^2(3x-1)dx={\left[\frac{3x^2}{2}-x\right]}_1^2=(6-2)-\left(\frac{3}{2}-1\right)=4-\frac{1}{2}=\frac{7}{2}$. Do đó ${\int }_1^2(3x-1-5f(x))dx=\frac{7}{2}-5{\int }_1^{2}f(x)dx=\frac{7}{2}-5(-2)=3,5+10=13,5$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 13.5.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích nước đến chiều cao $x$ là $V(x)=\pi {\int }_0^x(10+\sqrt{t}{)}^{2}dt=\pi \left(100x+\frac{40}{3}{x}^{3/2}+\frac{x^2}{2}\right)$. Thể tích cả chậu: $V(16)=\pi \left(1600+\frac{40}{3}\cdot 64+128\right)=\frac{7744\pi }{3}$. Cần $100x+\frac{40}{3}{x}^{3/2}+\frac{x^2}{2}=\frac{3872}{3}\approx 1290,667$. Giải bằng phương pháp số (hàm tăng ngặt trên $[0;16]$): thử $x=8,94$ cho vế trái $\approx 1290,39$; $x=8,95$ cho $\approx 1291,23$; nghiệm $x\approx 8,942$, làm tròn đến hàng phần trăm là $x\approx 8,94$ cm. Kết quả trùng với đáp án nguồn (8,94).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lý Newton - Leibniz, nếu $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên đoạn $[a;b]$ thì ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=F(b)-F(a)$. Do đó mệnh đề đúng là phương án B, trùng với đáp án trong bảng mã đề 405 (Câu 3: B).

(AI giải đề cho tôi)
Tích phân ${\int }_{\pi /2}^{-\pi /2}\cos tdt=\sin t{|}_{\pi /2}^{-\pi /2}=\sin \left(-\frac{\pi }{2}\right)-\sin \left(\frac{\pi }{2}\right)=-1-1=-2$. Vậy đáp án C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 405, Câu 6: C).

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất tuyến tính của tích phân: ${\int }_1^3[f(x)+2x]dx={\int }_1^{3}f(x)dx+2{\int }_1^{3}xdx=2+2\cdot {\left[\frac{x^2}{2}\right]}_1^3=2+(9-1)=2+8=10$. Vậy đáp án A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 405, câu 8: A).

(AI giải đề cho tôi)
Trên đoạn [1;8] ta có $\sqrt[3]{x}\ge 0$, nên diện tích cần tính là $S={\int }_1^8\sqrt[3]{x}dx={\int }_1^8{x}^{1/3}dx={\left[\frac{3}{4}{x}^{4/3}\right]}_1^8=\frac{3}{4}\left(8^{4/3}-1\right)=\frac{3}{4}(16-1)=\frac{45}{4}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 405, Câu 9: B).

(AI giải đề cho tôi)
a) $S={\int }_0^2(0,7{)}^{x}dx=\frac{(0,7{)}^2-1}{\ln 0,7}=\frac{-0,51}{-0,356675}\approx 1,4298\approx 1,43$ → Đúng.
b) Trên $[1;2]$, $f(x)\ge g(x)$ nên $V=\pi {\int }_1^2\left[(x+1{)}^2-(0,7{)}^{2x}\right]dx=\pi {\left[\frac{(x+1{)}^3}{3}-\frac{0,49^x}{\ln 0,49}\right]}_1^2=\pi \left(\frac{27-8}{3}-(0,2401-0,49)/\ln 0,49\right)\approx \pi (6,3333-0,3504)\approx 18,8$ → Đúng.
c) $V=\pi {\int }_{-1}^0(x+1{)}^{2}dx=\pi \cdot \frac{1}{3}=\frac{\pi }{3}\ne 9\pi$ → Sai.
d) $S={\int }_1^4\left[(x+1)-(0,7{)}^x\right]dx={\left[\frac{x^2}{2}+x-\frac{0,7^x}{\ln 0,7}\right]}_1^4=(12-0,67318)-(1,5-1,96271)\approx 9,21\ne 9,12$ → Sai.
Kết quả khớp đáp án nguồn (mã đề 404, Câu 1): ĐĐSS.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $S={\int }_0^2(0,7{)}^{x}dx=\frac{0,49-1}{\ln 0,7}\approx 1,43$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $V=\pi {\int }_1^2[(x+1{)}^2-0,49^x]dx\approx \pi (6,3333-0,3504)\approx 18,8$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $V=\pi {\int }_{-1}^0(x+1{)}^{2}dx=\frac{\pi }{3}\ne 9\pi$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $S={\int }_1^4[(x+1)-0,7^x]dx\approx 9,21\ne 9,12$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\underset{1}{\overset{2}{\int }}(3x-1)dx={\left[\frac{3x^2}{2}-x\right]}_1^2=(6-2)-\left(\frac{3}{2}-1\right)=4-\frac{1}{2}=\frac{7}{2}$. Do đó $\underset{1}{\overset{2}{\int }}(3x-1-5f(x))dx=\frac{7}{2}-5\underset{1}{\overset{2}{\int }}f(x)dx=\frac{7}{2}-5(-2)=\frac{7}{2}+10=13,5$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 13.5.

(AI giải đề cho tôi)
Tích phân ${\int }_{\pi /2}^{-\pi /2}\cos tdt=\sin t{|}_{\pi /2}^{-\pi /2}=\sin (-\pi /2)-\sin (\pi /2)=-1-1=-2$. Khớp với đáp án D trong bảng mã đề 404.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, trên đoạn $[a;c]$ đồ thị nằm trên trục hoành nên $f(x)\ge 0$, còn trên $[c;b]$ đồ thị nằm dưới trục hoành nên $f(x)\le 0$. Do đó diện tích là $S={\int }_a^{c}f(x)dx-{\int }_c^{b}f(x)dx$. Kiểm tra các mệnh đề: B đúng vì $S={\int }_a^b|f(x)|dx$ luôn đúng; C đúng theo công thức vừa nêu; D đúng vì ${\int }_b^{c}f(x)dx=-{\int }_c^{b}f(x)dx$ nên ${\int }_a^{c}fdx+{\int }_b^{c}fdx={\int }_a^{c}fdx-{\int }_c^{b}fdx=S$. Mệnh đề A sai vì ${\int }_a^{c}fdx+{\int }_c^{b}fdx={\int }_a^{b}fdx$ là hiệu diện tích (tích phân có dấu), không phải diện tích hình $(H)$. Khớp với đáp án nguồn A.

(AI giải đề cho tôi)
Trên đoạn $[1;8]$ hàm số $y=\sqrt[3]{x}$ không âm nên diện tích cần tính là $S={\int }_1^8\sqrt[3]{x}dx={\int }_1^8{x}^{1/3}dx={\left[\frac{3}{4}{x}^{4/3}\right]}_1^8=\frac{3}{4}\left(8^{4/3}-1\right)=\frac{3}{4}(16-1)=\frac{45}{4}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 404, Câu 6: C).

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức Newton–Leibniz, vì $F^{\prime }(x)=f(x)$ trên $[a;b]$ nên ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=F(b)-F(a)$. Do đó đáp án là D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 404, câu 7: D).

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính tuyến tính của tích phân: ${\int }_1^3[f(x)+2x]dx={\int }_1^{3}f(x)dx+2{\int }_1^{3}xdx=2+2\cdot \frac{3^2-1^2}{2}=2+8=10$. Vậy đáp án C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 404, Câu 8: C).

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y=f(x)$ (liên tục trên $[a;b]$), trục hoành và hai đường thẳng $x=a$, $x=b$ là $S={\int }_a^b|f(x)|\mathrm{d}x$. Công thức này đúng vì lấy tích phân của giá trị tuyệt đối nên luôn cho kết quả dương bất kể đồ thị nằm trên hay dưới trục hoành. Phương án A chỉ đúng khi $f(x)$ không đổi dấu trên $[a;b]$; B chỉ đúng khi $f(x)\le 0$; C sai vì cận bị đảo (tích phân từ $b$ đến $a$ cho dấu âm). Đáp án khớp với đáp án nguồn (Câu 10, mã đề 222: D).

(AI giải đề cho tôi)
Tính ${\int }_0^1(2x+1)dx={\left[x^2+x\right]}_0^1=1+1-0=2$. Vậy đáp án A, khớp với đáp án nguồn (Mã 222, câu 11: A).

(AI giải đề cho tôi)
Từ giả thiết ${\int }_0^{1}f(x)dx=3$, ${\int }_0^{1}g(x)dx=9$, dùng tính tuyến tính của tích phân:
a) ${\int }_0^1[f(x)-g(x)]dx=3-9=-6\ne 6$ → Sai.
b) ${\int }_0^1[f(x)+g(x)]dx=3+9=12$ → Đúng.
c) ${\int }_0^1[2f(x)+2]dx=2\cdot 3+2\cdot (1-0)=8$ → Đúng.
d) ${\int }_0^1[3f(x)-g(x)]dx=3\cdot 3-9=0$ → Đúng.
Kết quả khớp đáp án nguồn (A-S; B-Đ; C-Đ; D-Đ). Lưu ý: chuỗi ".c)" cuối mệnh đề d là lỗi trình bày có sẵn trong đề gốc, không ảnh hưởng nội dung toán học.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) ${\int }_0^1[f(x)-g(x)]dx=3-9=-6\ne 6$, mệnh đề sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) ${\int }_0^1[f(x)+g(x)]dx=3+9=12$, mệnh đề đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) ${\int }_0^1[2f(x)+2]dx=2\cdot 3+2=8$, mệnh đề đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) ${\int }_0^1[3f(x)-g(x)]dx=9-9=0$, mệnh đề đúng. Chuỗi ".c)" cuối câu là lỗi in trong đề gốc.

(AI giải đề cho tôi)
Với $f(x)=3x$, $g(x)=3\cos x$:
a) $\int [2f(x)+3g(x)]dx=\int (6x+9\cos x)dx=3x^2+9\sin x+C$ → Đúng.
b) ${\int }_0^{\pi /2}3\cos xdx=3\sin x{|}_0^{\pi /2}=3(1-0)=3$ → Đúng.
c) $\int [2f(x)-g(x)]dx=\int (6x-3\cos x)dx=3x^2-3\sin x+C$, khác $\frac{3x^2}{2}+3\sin x+C$ → Sai.
d) ${\int }_{-1}^{1}3xdx=\frac{3x^2}{2}{|}_{-1}^1=\frac{3}{2}-\frac{3}{2}=0$ (hàm lẻ) → Đúng. Kết quả khớp đáp án nguồn: A-Đ; B-Đ; C-S; D-Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\int (6x+9\cos x)dx=3x^2+9\sin x+C$.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_0^{\pi /2}3\cos xdx=3\sin x{|}_0^{\pi /2}=3$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm đúng là $3x^2-3\sin x+C$, không phải $\frac{3x^2}{2}+3\sin x+C$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$3x$ là hàm lẻ nên tích phân trên đoạn đối xứng $[-1;1]$ bằng 0.

Đáp án: 4,83.
Lời giải chi tiết: $$S=\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left|x^2-3x+2\right|dx\approx 4,83$$