Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tích phân xác định (Toán học Lớp 12)

Gọi $S_1$ là phần diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y=f(x),y=0,x=a,x=0$ (0,5) thì $S_1=\underset{a}{\overset{0}{\int }}|f(x)|dx=-\underset{a}{\overset{0}{\int }}f(x)dx=-\left(\frac{-22}{13}\right)=\frac{22}{13}$; $(f(x)\le 0,\forall x\in [a;0])$

Gọi $S_2$ là phần diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y=f(x),y=0,x=0,x=b$ (0,25) thì $S_2=\underset{0}{\overset{b}{\int }}|f(x)|dx=\underset{0}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=-\underset{b}{\overset{0}{\int }}f(x)dx=-\left(\frac{-25}{13}\right)=\frac{25}{13}$; $(f(x)\ge 0,\forall x\in [0;b])$ (đổi cận) (0,25)

Kết luận: $S=S_1+S_2=\frac{22}{13}+\frac{25}{13}=\frac{47}{13}$.

(AI giải đề cho tôi)
Trên đoạn [0;1], hàm $y=2x^2-x=x(2x-1)$ đổi dấu tại $x=\frac{1}{2}$ (âm trên $(0;\frac{1}{2})$, dương trên $(\frac{1}{2};1)$), nên diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y=2x^2-x$, $y=0$, $x=0$, $x=1$ là $S={\int }_0^1\left|2x^2-x\right|dx$. Vậy đáp án C, khớp với mã đề 1211 (Câu 3: C).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lý Newton - Leibniz: nếu $f(x)$ liên tục trên $[a;b]$ và $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $[a;b]$ thì ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$. Do đó mệnh đề đúng là A, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1211, câu 7: A).

(AI giải đề cho tôi)
Tích phân không phụ thuộc biến: ${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{b}f(t)dt$ (A đúng). Tính chất cộng đoạn: ${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{c}f(x)dx+{\int }_c^{b}f(x)dx$ với $a<c<b$ (B đúng). Tích phân trên đoạn suy biến ${\int }_a^{a}f(x)dx=0$, không phải 1, nên C sai. Tính chất đổi cận: ${\int }_a^{b}f(x)dx=-{\int }_b^{a}f(x)dx$ (D đúng). Khẳng định sai là C, khớp đáp án nguồn (Câu 7, mã đề 1122: C).

(AI giải đề cho tôi)
Theo hình vẽ, trên đoạn $[-1;1]$ đồ thị $y=f(x)$ nằm trên trục $Ox$ nên $f(x)\ge 0$, diện tích phần đó là ${\int }_{-1}^{1}f(x)dx$. Trên đoạn $[1;4]$ đồ thị nằm dưới trục $Ox$ nên $f(x)\le 0$, diện tích phần đó là $-{\int }_1^{4}f(x)dx$. Vậy $S={\int }_{-1}^{1}f(x)dx-{\int }_1^{4}f(x)dx$, tương ứng phương án C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1122, câu 9: C).

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất tích phân xác định: ${\int }_a^{a}f(x)dx=0$, nên khẳng định A sai (nó nói bằng 1). Các khẳng định B, C, D đều đúng: B là tính đổi cận đổi dấu, C là tính cộng tính theo khoảng, D là tích phân không phụ thuộc biến lấy tích phân. Bảng đáp án (mã đề 1121, câu 11) cũng cho A, khớp với kết quả.

(AI giải đề cho tôi)
Theo hình vẽ, trên đoạn $[-1;1]$ đồ thị $y=f(x)$ nằm phía trên trục $Ox$ nên ${\int }_{-1}^{1}f(x)dx>0$ và diện tích phần đó là ${\int }_{-1}^{1}f(x)dx$. Trên đoạn $[1;4]$ đồ thị nằm phía dưới trục $Ox$ nên ${\int }_1^{4}f(x)dx<0$ và diện tích phần đó là $-{\int }_1^{4}f(x)dx$. Vậy $S={\int }_{-1}^{1}f(x)dx-{\int }_1^{4}f(x)dx$, trùng với đáp án C (khớp đáp án nguồn: mã đề 1121, câu 4 = C).

(AI giải đề cho tôi)
Theo hình vẽ, trên $[-1;0]$ đồ thị $f(x)$ nằm trên trục hoành tạo hình $(K)$ với diện tích 2, nên ${\int }_{-1}^{0}f(x)dx=2$. Trên $[0;2]$ đồ thị nằm dưới trục hoành tạo hình $(H)$ với diện tích 11, nên ${\int }_0^{2}f(x)dx=-11$. Do đó ${\int }_{-1}^{2}f(x)dx={\int }_{-1}^{0}f(x)dx+{\int }_0^{2}f(x)dx=2+(-11)=-9$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 1202, câu 1: A).

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức Newton - Leibniz: ${\int }_1^3{f}^{\prime }(x)\mathrm{d}x=f(3)-f(1)=-3-(-5)=2$. Vậy đáp án là C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1202, câu 12: C).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $F(x)=\frac{3x^2}{2}+2x+C$. a) Với $F(0)=3$ thì $C=3$, nên $F(2)=6+4+3=13\ne 7$ → sai. b) ${\int }_0^{1}k(3x+2)dx=k\left(\frac{3}{2}+2\right)=\frac{7k}{2}=7\Rightarrow k=2$ → đúng. c) Theo công thức Newton–Leibniz, ${\int }_1^{4}f(x)dx=F(4)-F(1)$ → đúng. d) ${\int }_1^3\frac{3x+2}{x}dx={\int }_1^3\left(3+\frac{2}{x}\right)dx=6+2\ln 3=a+\ln b$ với $a=6,b=9$, suy ra $a+b=15\ne 9$ → sai. Kết quả khớp đáp án mã đề 1202: SĐĐS.
a) (AI giải đề cho tôi)
$F(x)=\frac{3x^2}{2}+2x+C$; $F(0)=3\Rightarrow C=3$; $F(2)=6+4+3=13\ne 7$.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_0^{1}k(3x+2)dx=\frac{7k}{2}=7\Rightarrow k=2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Theo công thức Newton–Leibniz, ${\int }_1^{4}f(x)dx=F(4)-F(1)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_1^3\left(3+\frac{2}{x}\right)dx=6+2\ln 3\Rightarrow a=6,b=9\Rightarrow a+b=15\ne 9$.

Ta có $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{x{e}^x+3x^3-2026}{x}dx=\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(e^x+3x^2-\frac{2026}{x}\right)dx$$ $$=\left(e^x+x^3-2026\ln |x|\right){|}_1^2=e^2-e+7-2026\ln 2.$$

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y=f(x)$, trục hoành và hai đường $x=-1$, $x=5$ là $S=\underset{-1}{\overset{5}{\int }}|f(x)|dx$ vì $f(x)$ có thể âm hoặc dương trên đoạn, cần lấy giá trị tuyệt đối để diện tích luôn dương. Đáp án B khớp với đáp án của đề (mã 1202, câu 4: B).

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất tuyến tính của tích phân: ${\int }_{-1}^2[f(x)-g(x)]dx={\int }_{-1}^{2}f(x)dx-{\int }_{-1}^{2}g(x)dx=2-5=-3$. Vậy đáp án A, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1202, câu 5: A).

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất tích phân: ${\int }_1^{6}f(x)dx={\int }_1^{4}f(x)dx+{\int }_4^{6}f(x)dx$. Suy ra ${\int }_1^{4}f(x)dx=9-(-3)=12$. Vậy đáp án B, trùng với đáp án của đề (mã đề 1202, câu 8: B).

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y=f(x)$ (liên tục trên $[-1;5]$), trục hoành và hai đường thẳng $x=-1$, $x=5$ được tính bằng công thức $S=\underset{-1}{\overset{5}{\int }}\left|f(x)\right|dx$. Giải thích: nếu $f(x)\ge 0$ trên một khoảng thì diện tích phần đó là $\int f(x)dx$; nếu $f(x)\le 0$ thì diện tích là $-\int f(x)dx=\int -f(x)dx$. Gộp lại, lấy giá trị tuyệt đối $|f(x)|$ đảm bảo luôn tính phần diện tích dương trên toàn đoạn $[-1;5]$. So sánh các phương án: A sai vì cận dưới là $1$ thay vì $-1$; B sai vì thừa hệ số $\pi$ (chỉ dùng cho thể tích khối tròn xoay); C sai vì ${\int }_{-1}^{5}f(x)dx$ chỉ cho hiệu diện tích (phần dưới trục bị trừ, có thể âm). Vậy đáp án đúng là D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1201, câu 1: D).

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất tích phân: ${\int }_1^{6}f(x)dx={\int }_1^{4}f(x)dx+{\int }_4^{6}f(x)dx$. Suy ra ${\int }_1^{4}f(x)dx=9-(-3)=12$. Khớp với đáp án nguồn (mã đề 1201, câu 11: C).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $F(x)=\frac{3x^2}{2}+2x+C$. a) Theo công thức Newton-Leibniz, ${\int }_1^{4}f(x)dx=F(4)-F(1)$: đúng. b) $F(0)=C=3$ nên $F(2)=6+4+3=13\ne 7$: sai. c) ${\int }_0^{1}f(x)dx=\frac{3}{2}+2=\frac{7}{2}$, nên $k\cdot \frac{7}{2}=7\Rightarrow k=2$: đúng. d) ${\int }_1^3\frac{f(x)}{x}dx={\int }_1^3\left(3+\frac{2}{x}\right)dx=6+2\ln 3=6+\ln 9$, vậy $a=6,b=9\Rightarrow a+b=15\ne 9$: sai. Kết quả khớp đáp án mã đề 1201: ĐSĐS.
a) (AI giải đề cho tôi)
Theo công thức Newton-Leibniz, với $F$ là nguyên hàm của $f$ thì ${\int }_1^{4}f(x)dx=F(4)-F(1)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$F(x)=\frac{3x^2}{2}+2x+C$; $F(0)=3\Rightarrow C=3$ nên $F(2)=6+4+3=13\ne 7$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_0^{1}f(x)dx=\frac{3}{2}+2=\frac{7}{2}$; $k\cdot \frac{7}{2}=7\Rightarrow k=2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_1^3\left(3+\frac{2}{x}\right)dx=6+2\ln 3=6+\ln 9$, vậy $a=6,b=9\Rightarrow a+b=15\ne 9$.

Ta có $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{x{e}^x+3x^3-2026}{x}dx=\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(e^x+3x^2-\frac{2026}{x}\right)dx$$ $$=\left(e^x+x^3-2026\ln |x|\right){|}_1^2=e^2-e+7-2026\ln 2.$$

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức Newton - Leibniz: ${\int }_1^3{f}^{\prime }(x)\mathrm{d}x=f(3)-f(1)=-3-(-5)=2$. Vậy đáp án là C, trùng với đáp án nguồn (Câu 5, mã đề 1201: C).

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính tuyến tính của tích phân: ${\int }_{-1}^2[f(x)-g(x)]dx={\int }_{-1}^{2}f(x)dx-{\int }_{-1}^{2}g(x)dx=2-5=-3$. Vậy đáp án là C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1201, câu 6: C).