Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tích phân xác định (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y=f(x)$, trục hoành và hai đường $x=a$, $x=b$ là $S={\int }_a^b|f(x)|dx$, vì phần đồ thị nằm dưới trục hoành cũng phải được tính với diện tích dương. Công thức ${\int }_a^{b}f(x)dx$ chỉ đúng khi $f(x)\ge 0$; các công thức có $\pi$ dùng cho thể tích khối tròn xoay. Đáp án trùng với bảng đáp án (mã đề 1002, câu 2: A).

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất tuyến tính của tích phân: ${\int }_1^{2}3f(x)\mathrm{d}x=3{\int }_1^{2}f(x)\mathrm{d}x=3\cdot 2=6$. Vậy đáp án B, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1002, câu 4: B).

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức Newton–Leibniz: $I={\int }_1^3{f}^{\prime }(x)dx=f(3)-f(1)=9-(-2)=11$. Vậy $I=11$, khớp đáp án B (đáp án của đề 1002, câu 5 là B).

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: ${\int }_4^{8}f(x)dx={\int }_4^{5}f(x)dx+{\int }_5^{8}f(x)dx=3+7=10$. b) Sai: ${\int }_5^8[f(x)-g(x)+1]dx=7-2+(8-5)=8\ne 6$. c) Sai: theo công thức Newton-Leibniz, $F(8)-F(5)={\int }_5^{8}f(x)dx=7\ne 3$. d) Đúng: ${\int }_4^8(3x^2+x)dx=\left(x^3+\frac{x^2}{2}\right){|}_4^8=(512+32)-(64+8)=472$, nên $472-{\int }_4^{8}f(x)dx=472-10=462$.
a) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_4^{8}f(x)dx={\int }_4^{5}f(x)dx+{\int }_5^{8}f(x)dx=3+7=10$.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_5^8[f(x)-g(x)+1]dx=7-2+3=8\ne 6$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$F(8)-F(5)={\int }_5^{8}f(x)dx=7\ne 3$.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_4^8(3x^2+x)dx=472$; $472-10=462$.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình hoành độ giao điểm: $x^2+2x=x+6\iff x^2+x-6=0\iff x=-3$ hoặc $x=2$. Trên $[-3;2]$ ta có $x+6\ge x^2+2x$. Diện tích: $$S={\int }_{-3}^2\left(x+6-x^2-2x\right)dx={\int }_{-3}^2(6-x-x^2)dx={\left[6x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]}_{-3}^2$$ $$=(12-2-\frac{8}{3})-(-18-\frac{9}{2}+9)=\frac{22}{3}-(-\frac{27}{2})=\frac{125}{6}\approx 20,8333$$ Vậy $S\approx 20,8$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức Newton–Leibniz: $I={\int }_1^3{f}^{\prime }(x)dx=f(3)-f(1)=5-(-2)=7$. Vậy $I=7$, khớp với đáp án A trong đề và bảng đáp án (đề 1001, câu 4: A).

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất tuyến tính của tích phân: ${\int }_1^{2}2f(x)\mathrm{d}x=2{\int }_1^{2}f(x)\mathrm{d}x=2\cdot 2=4$. Vậy đáp án A, trùng với đáp án nguồn (đề 1001, câu 5: A).

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y=f(x)$, trục hoành và hai đường $x=a$, $x=b$ là $S={\int }_a^b|f(x)|dx$, vì trên các đoạn mà $f(x)<0$ ta cần lấy phần diện tích dương $-f(x)$. Các đáp án A, C có hệ số $\pi$ (thuộc thể tích khối tròn xoay), đáp án B chỉ đúng khi $f(x)\ge 0$ trên $[a;b]$. Đáp án đúng là D, trùng với đáp án của đề (mã đề 1001, câu 7: D).

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng khẳng định với $f$ liên tục trên $[a;b]$ và $F$ là một nguyên hàm của $f$:
- A đúng: tích phân trên đoạn suy biến ${\int }_a^{a}f(x)dx=0$.
- B đúng: theo công thức Newton–Leibniz, ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$.
- C đúng: tính chất đổi cận ${\int }_a^{b}f(x)dx=-{\int }_b^{a}f(x)dx$.
- D sai: ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$, không phải $f(b)-f(a)$ (nói chung $F\ne f$).
Vậy khẳng định sai là D, trùng đáp án nguồn (mã đề 1001, câu 9 = D).

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức Newton–Leibniz: ${\int }_{2025}^{2026}{f}^{\prime }(x)\mathrm{d}x=f(2026)-f(2025)$. Vì $f(2025)-f(2026)=-2008$ nên $f(2026)-f(2025)=2008$. Do đó ${\int }_{2025}^{2026}\frac{1}{4}{f}^{\prime }(x)\mathrm{d}x=\frac{1}{4}\cdot 2008=502$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 1212, câu 1: 502).

(AI giải đề cho tôi)
$2^x=4$ khi $x=2$. Trên $[0;2]$: $|2^x-4|=4-2^x$, tích phân bằng $8-\frac{4-1}{\ln 2}=8-\frac{3}{\ln 2}$. Trên $[2;5]$: $|2^x-4|=2^x-4$, tích phân bằng $\frac{32-4}{\ln 2}-12=\frac{28}{\ln 2}-12$. Tổng: ${\int }_0^5|2^x-4|dx=-4+\frac{25}{\ln 2}$. Vậy $a=-4$, $b=25$, $c=1$, $P=16+625+1=642$, khớp đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục $O(0;0)$, $A(8;0)$, $C(0;8)$, $B(8;8)$. Vì khoảng cách từ $M$ đến $OA$ và $OC$ đều bằng 3 nên $M(3;3)$.

Parabol $(P_1)$ qua $O$, $A$, $M$ có dạng $y=a{x}^2+bx$. Qua $A(8;0)$: $64a+8b=0\Rightarrow b=-8a$. Qua $M(3;3)$: $9a+3b=3\Rightarrow 9a-24a=3\Rightarrow a=-\frac{1}{5}$, $b=\frac{8}{5}$. Vậy $P_1:y=\frac{-x^2+8x}{5}$.

Do đối xứng qua $y=x$, parabol $(P_2)$ qua $O$, $C$, $M$ có phương trình $x=\frac{-y^2+8y}{5}$.

Hai parabol cắt nhau tại $O$ và $M$: trên đường $y=x$, $x=\frac{-x^2+8x}{5}\Rightarrow x^2-3x=0\Rightarrow x=0$ hoặc $x=3$.

Phần không tô đậm gồm hai vùng: dưới $(P_1)$ và bên trái $(P_2)$, mỗi vùng có diện tích
$$S_1={\int }_0^8\frac{-x^2+8x}{5}dx=\frac{1}{5}\left(-\frac{512}{3}+256\right)=\frac{256}{15}.$$

Hai vùng này chồng lấn nhau ở phần giữa hai cung từ $O$ đến $M$ (nơi $P_1$ nằm trên đường $y=x$), diện tích phần chồng lấn (do đối xứng) là
$$2{\int }_0^3\left(\frac{-x^2+8x}{5}-x\right)dx=\frac{2}{5}{\int }_0^3(-x^2+3x)dx=\frac{2}{5}\cdot \frac{9}{2}=\frac{9}{5}.$$

Diện tích phần tô đậm:
$$S=64-2\cdot \frac{256}{15}+\frac{9}{5}=64-\frac{512}{15}+\frac{27}{15}=64-\frac{485}{15}=64-\frac{97}{3}=\frac{95}{3}\approx 31,67\approx 32.$$

Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị là $32$, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1212, câu 4: 32).

Gọi $S_1$ là phần diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y=f(x),y=0,x=a,x=0$ thì $S_1={\int }_a^0\left|f(x)\right|dx=-{\int }_a^{0}f(x)dx=-\left(\frac{-22}{13}\right)=\frac{22}{13};\left(f(x)\le 0,\forall x\in [a;0]\right)$

Gọi $S_2$ là phần diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y=f(x),y=0,x=0,x=b$ thì $S_2={\int }_0^b\left|f(x)\right|dx={\int }_0^{b}f(x)dx=-{\int }_b^{0}f(x)dx=-\left(\frac{-24}{13}\right)=\frac{24}{13};\left(f(x)\ge 0,\forall x\in [0;b]\right)$ (đối cân)

Kết luận: $S=S_1+S_2=\frac{22}{13}+\frac{24}{13}=\frac{46}{13}$.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y=f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=a$, $x=b$ (với $f$ liên tục trên $[a;b]$) luôn được tính bằng tích phân của giá trị tuyệt đối: $S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}|f(x)|\mathrm{d}x$. Công thức này đúng cho mọi trường hợp ($f(x)\ge 0$ hoặc $f(x)\le 0$ hoặc đổi dấu trên $[a;b]$), nên chọn C. Khớp với đáp án nguồn (mã đề 1212, câu 3: C).

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất tuyến tính của tích phân: ${\int }_2^3[f(x)-g(x)]dx={\int }_2^{3}f(x)dx-{\int }_2^{3}g(x)dx=5-(-2)=7$. Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1212, câu 7: B).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lý Newton - Leibniz, nếu $G(x)$ là một nguyên hàm của $g(x)$ trên đoạn $[a;b]$ thì ${\int }_a^{b}g(x)\mathrm{d}x=G(b)-G(a)$. Do đó mệnh đề đúng là phương án C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1212, câu 8: C).

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất tuyến tính của tích phân: ${\int }_2^3[f(x)+g(x)]dx={\int }_2^{3}f(x)dx+{\int }_2^{3}g(x)dx=5+(-2)=3$. Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1211, câu 1: B).

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất cơ bản của tích phân: ${\int }_{2025}^{2026}{f}^{\prime }(x)dx=f(2026)-f(2025)$. Vì $f(2025)-f(2026)=2008$ nên $f(2026)-f(2025)=-2008$. Do đó ${\int }_{2025}^{2026}\frac{1}{4}{f}^{\prime }(x)dx=\frac{1}{4}\cdot (-2008)=-502$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (-502).

(AI giải đề cho tôi)
Tách tại x=2 (nơi 2^x=4): I = ∫₀²(4−2^x)dx + ∫₂³(2^x−4)dx. Phần một: [4x − 2^x/ln2]₀² = 8 − 4/ln2 + 1/ln2 = 8 − 3/ln2. Phần hai: [2^x/ln2 − 4x]₂³ = 8/ln2 − 12 − 4/ln2 + 8 = 4/ln2 − 4. Cộng lại I = 4 + 1/ln2, vậy a=4, b=1, c=1, P = 16+1+1 = 18, khớp đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục toạ độ: $O(0;0)$, $A(10;0)$, $C(0;10)$, $B(10;10)$. Vì khoảng cách từ $M$ đến $OA$ và $OC$ đều bằng 4 nên $M(4;4)$.

Parabol $(P_1)$ đi qua $O,A,M$ có dạng $y=a{x}^2+bx$ (đi qua $O$). Qua $A$: $100a+10b=0\Rightarrow b=-10a$. Qua $M$: $16a+4b=4\Rightarrow 16a-40a=4\Rightarrow a=-\frac{1}{6}$, $b=\frac{5}{3}$. Vậy $y_1=\frac{10x-x^2}{6}$.

Parabol $(P_2)$ đi qua $O,C,M$ có dạng $x=\frac{10y-y^2}{6}$ (hoàn toàn tương tự theo $y$).

Phần không tô đậm là phần chứa $O$, giới hạn bởi cạnh $OC$, cạnh $OA$ và đường gấp khúc gồm $(P_2)$ từ $C$ đến $M$ và $(P_1)$ từ $M$ đến $A$. Do $(P_2)$ chỉ có nhánh qua $M$ với $x=x_2(y)$ khi $y\ge 4$ và $(P_1)$ có $y=y_1(x)$ khi $x\ge 4$, phần không tô đậm gồm:
- hình vuông nhỏ $[0;4]\times [0;4]$ (phần chứa $O$ bên dưới trái điểm $M$): diện tích $16$;
- vùng dưới $(P_1)$ từ $x=4$ đến $x=10$: ${\int }_4^{10}\frac{10x-x^2}{6}dx={\left[\frac{5x^2}{6}-\frac{x^3}{18}\right]}_4^{10}=\left(\frac{500}{6}-\frac{1000}{18}\right)-\left(\frac{80}{6}-\frac{64}{18}\right)=18$;
- vùng bên trái $(P_2)$ từ $y=4$ đến $y=10$: do đối xứng cũng bằng $18$.

Diện tích không tô đậm: $16+18+18=52$.

Diện tích phần tô đậm: $100-52=48$ (diện tích đơn vị).

So sánh với đáp án nguồn (48): khớp.