Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tích phân xác định (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Tách tích phân: $I={\int }_1^2\left(1-\frac{1}{x}\right)\mathrm{d}x={\left[x-\ln x\right]}_1^2=(2-\ln 2)-(1-\ln 1)=1-\ln 2$. Vậy đáp án D, khớp với đáp án nguồn (Mã đề 102, Câu 9: D).

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất tuyến tính của tích phân xác định: ${\int }_2^3[f(x)+g(x)]dx={\int }_2^{3}f(x)dx+{\int }_2^{3}g(x)dx=1+4=5$. Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 101, Câu 10: B).

(AI giải đề cho tôi)
Từ $f^{\prime }(x)=18x-6$ và $f(0)=1$ ta được $f(x)=9x^2-6x+1$.
a) Sai vì $f(x)=9x^2-6x+1$, không phải $9x^2+6x+1$.
b) ${\int }_{-1}^2{f}^{\prime }(x)dx=f(2)-f(-1)=(36-12+1)-(9+6+1)=25-16=9\ne 39$, sai.
c) ${\int }_0^1[3f(x)-1]dx=3{\int }_0^1(9x^2-6x+1)dx-1=3(3-3+1)-1=2\ne 8$, sai.
d) ${\int }_{-1}^{2}2xf(x)dx={\int }_{-1}^2(18x^3-12x^2+2x)dx={\left[\frac{9}{2}{x}^4-4x^3+x^2\right]}_{-1}^2=(72-32+4)-(4.5+4+1)=44-9.5=34.5$. Vậy ${\int }_{-1}^2[f^{\prime }(x)-2xf(x)]dx=9-34.5=-25.5=\frac{-51}{2}$, đúng. Kết quả khớp với đáp án nguồn (SSSĐ cho mã đề 101).
a) (AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm: $f(x)=9x^2-6x+1$ (vì $f^{\prime }(x)=18x-6$), nên khẳng định $f(x)=9x^2+6x+1$ sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_{-1}^2{f}^{\prime }(x)dx=f(2)-f(-1)=25-16=9\ne 39$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_0^1[3f(x)-1]dx=3(3-3+1)-1=2\ne 8$.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_{-1}^{2}2xf(x)dx=34.5$ và ${\int }_{-1}^2{f}^{\prime }(x)dx=9$, hiệu bằng $-25.5=\frac{-51}{2}$, đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\int }_0^2(6x^2-2x)\mathrm{d}x={\left[2x^3-x^2\right]}_0^2=2\cdot 8-4=12$. Kết quả khớp với đáp án B (đáp án của mã đề 101, câu 2 là B).

(AI giải đề cho tôi)
Tích phân: ${\int }_1^2\left(x+\frac{1}{x}\right)dx={\left[\frac{x^2}{2}+\ln x\right]}_1^2=2+\ln 2-\frac{1}{2}=\ln 2+\frac{3}{2}$. Vậy $a=2,b=3,c=2$ (phân số $\frac{3}{2}$ tối giản), tổng $a+b+c=2+3+2=7$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Phần III, Câu 5, Mã đề 101: 7).

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất tuyến tính của tích phân: ${\int }_0^1\left(2f(x)-3x^2\right)dx=2{\int }_0^{1}f(x)dx-3{\int }_0^1{x}^{2}dx=2\cdot 1-3\cdot {\left[\frac{x^3}{3}\right]}_0^1=2-3\cdot \frac{1}{3}=2-1=1$. Vậy đáp án A, khớp với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 6: A).

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính tuyến tính của tích phân: ${\int }_0^3[2f(x)+g(x)-1]dx=2{\int }_0^{3}f(x)dx+{\int }_0^{3}g(x)dx-{\int }_0^{3}1dx=2\cdot 5+(-2)-3=5$. Vậy đáp án là A, trùng với đáp án nguồn (mã 1202, câu 12: A).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị $y=f^{\prime }(x)$: trên $[-1;0]$, đồ thị nằm trên trục hoành nên ${\int }_{-1}^0{f}^{\prime }(x)dx=S_K=1$, do đó $f(0)-f(-1)=1\Rightarrow f(0)=10+1=11$. Trên $[0;2]$, đồ thị nằm dưới trục hoành nên ${\int }_0^2{f}^{\prime }(x)dx=-S_H=-5$, do đó $f(2)-f(0)=-5\Rightarrow f(2)=11-5=6$. Vậy $f(0)+3f(2)=11+3\cdot 6=29$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (29).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục với đỉnh parabol tại $(0;6)$, chân cổng cắt trục hoành tại $x=\pm 2$. Parabol có dạng $y=6-a{x}^2$; thay $x=2,y=0$: $a=6/4=1,5$. Vậy $y=6-\frac{3}{2}{x}^2$. Diện tích cổng chào: $S={\int }_{-2}^2\left(6-\frac{3}{2}{x}^2\right)dx={\left[6x-\frac{1}{2}{x}^3\right]}_{-2}^2=(12-4)-(-12+4)=16m^2$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 16.

(AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm: $\int (3x^2+2x)dx=x^3+x^2+C$. Do đó $I={\left[x^3+x^2\right]}_0^1=1+1-0=2$. Vậy $I=2$, khớp với đáp án D (mã đề 1202, Câu 3: D).

(AI giải đề cho tôi)
Lời giải do AI cung cấp (không có lời giải trong nguồn): Trên $[0;1]$ có $x^2-1\le 0$, trên $[1;2]$ có $x^2-1\ge 0$. Diện tích là $S={\int }_0^1(1-x^2)dx+{\int }_1^2(x^2-1)dx=\left(x-\frac{x^3}{3}\right){|}_0^1+\left(\frac{x^3}{3}-x\right){|}_1^2=\frac{2}{3}+\frac{4}{3}=2$. Đáp án B, khớp với bảng đáp án mã đề 1202 (câu 8 = B).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\frac{x^2+4x+1}{x+4}=x+\frac{1}{x+4}$ (chia đa thức: $x^2+4x+1=x(x+4)+1$).

a) Thể tích: $V=\pi {\int }_1^2{\left(x+\frac{1}{x+4}\right)}^{2}dx=\pi {\int }_1^2\left(x^2+\frac{2x}{x+4}+\frac{1}{(x+4{)}^2}\right)dx$. Tính từng phần: ${\int }_1^2{x}^{2}dx=\frac{7}{3}$; ${\int }_1^2\frac{2x}{x+4}dx={\int }_1^2\left(2-\frac{8}{x+4}\right)dx=2-8\ln \frac{6}{5}$; ${\int }_1^2\frac{dx}{(x+4{)}^2}={\left[-\frac{1}{x+4}\right]}_1^2=\frac{1}{5}-\frac{1}{6}=\frac{1}{30}$. Tổng: $\frac{7}{3}+2+\frac{1}{30}-8\ln \frac{6}{5}=\frac{131}{30}-8\ln \frac{6}{5}\approx 4,3667-1,4586\approx 2,9081$. Vậy $V\approx \pi \cdot 2,9081\approx 9,136\approx 9,1$. Đúng.

b) ${\int }_1^{2}f(x)dx={\left[\frac{x^2}{2}+\ln |x+4|\right]}_1^2=\left(2+\ln 6\right)-\left(\frac{1}{2}+\ln 5\right)=\frac{3}{2}+\ln \frac{6}{5}$. Đúng.

c) Vì $f(x)=x+\frac{1}{x+4}$ nên một nguyên hàm là $\frac{x^2}{2}+\ln |x+4|$. Đúng.

d) Trên $[2;3]$, $f(x)>0$ nên diện tích $S={\int }_2^{3}f(x)dx=\left(\frac{9}{2}+\ln 7\right)-\left(2+\ln 6\right)=\frac{5}{2}+\ln \frac{7}{6}\approx 2,654\ne \ln 3+\ln 2\approx 1,792$. Sai.

Khớp với bảng đáp án mã đề 1201, dòng 14: D D D S.
a) (AI giải đề cho tôi)
$V=\pi {\int }_1^2{\left(x+\frac{1}{x+4}\right)}^{2}dx=\pi \left(\frac{131}{30}-8\ln \frac{6}{5}\right)\approx 9,136\approx 9,1$. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_1^2\left(x+\frac{1}{x+4}\right)dx=\frac{3}{2}+\ln \frac{6}{5}$. Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)=x+\frac{1}{x+4}$ nên $F(x)=\frac{x^2}{2}+\ln |x+4|$ là một nguyên hàm. Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$S={\int }_2^{3}f(x)dx=\frac{5}{2}+\ln \frac{7}{6}\approx 2,654\ne \ln 3+\ln 2\approx 1,792$. Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: trên [-1;0] f'(x)≥0 với diện tích (K)=5/12; trên [0;2] f'(x)≤0 với diện tích (H)=8/3. Ta có f(0)=f(-1)+∫_{-1}^{0}f'(x)dx=19/12+5/12=2. Tiếp theo f(2)=f(0)+∫_{0}^{2}f'(x)dx=2−8/3=−2/3. Vậy f(0)−3f(2)=2−3·(−2/3)=2+2=4, khớp với đáp án nguồn (mã 1201, câu 19 = 4).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int (2x-1)dx=x^2-x$. Do đó $I={\left[x^2-x\right]}_0^2=(4-2)-(0-0)=2$. Vậy $I=2$, khớp với đáp án D trong bảng đáp án (mã 1201, câu 2: D).

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: đáy cửa hầm rộng 8 m, chiều cao 8 m. Đặt hệ trục Oxy với gốc tại trung điểm đáy, parabol có đỉnh (0; 8) và cắt trục hoành tại x = ±4, nên y = ax² + 8; thay (4; 0): 16a + 8 = 0 ⇒ a = -1/2, tức y = 8 - x²/2. Diện tích: S = ∫_{-4}^{4} (8 - x²/2) dx = [8x - x³/6]_{-4}^{4} = (32 - 64/6) - (-32 + 64/6) = 64 - 128/6 = 128/3 ≈ 42,7 m². Kết quả khớp với đáp án nguồn 42,7 (mã đề 1201, câu 20).

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính tuyến tính của tích phân: ${\int }_0^2[f(x)+5g(x)-x]dx={\int }_0^{2}f(x)dx+5{\int }_0^{2}g(x)dx-{\int }_0^{2}xdx=2+5(-3)-{\left[\frac{x^2}{2}\right]}_0^2=2-15-2=-15$. Kết quả trùng với đáp án nguồn C.

(AI giải đề cho tôi)
Trên $[0;3]$, hiệu hai hàm: $(x^2-2x-3)-(x-3)=x^2-3x=x(x-3)\le 0$. Diện tích $S={\int }_0^3|x^2-3x|dx=-{\int }_0^3(x^2-3x)dx=-{\left[\frac{x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}\right]}_0^3=-\left(9-\frac{27}{2}\right)=\frac{9}{2}$. Khớp với đáp án A trong bảng mã đề 1201.

(AI giải đề cho tôi)
Tính chất tích phân: A đúng (tính chất cộng đoạn), B đúng (đổi cận), C đúng (tích phân không phụ thuộc biến). D sai vì $\underset{a}{\overset{a}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=0$, không phải 1. Vậy khẳng định sai là D, khớp đáp án đề 1002.

(AI giải đề cho tôi)
a) ${\int }_2^{8}f(x)dx={\int }_2^{5}f(x)dx+{\int }_5^{8}f(x)dx=2+7=9\ne 10$ → Sai. b) Theo công thức Newton–Leibniz, ${\int }_5^{8}f(x)dx=F(8)-F(5)=7$ → Đúng. c) ${\int }_5^8[f(x)-g(x)+1]dx=7-3+(8-5)=7\ne 5$ → Sai. d) ${\int }_2^8(3x^2+x)dx=\left(x^3+\frac{x^2}{2}\right){|}_2^8=(512+32)-(8+2)=534$, nên ${\int }_2^8[3x^2+x-f(x)]dx=534-9=525$ → Đúng. Kết quả khớp đáp án nguồn: a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_2^{8}f(x)dx=2+7=9\ne 10$, nên khẳng định sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Theo Newton–Leibniz: ${\int }_5^{8}f(x)dx=F(8)-F(5)=7$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_5^8[f(x)-g(x)+1]dx=7-3+3=7\ne 5$, nên khẳng định sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_2^8(3x^2+x)dx=534$ và ${\int }_2^{8}f(x)dx=9$, nên kết quả $534-9=525$, khẳng định đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Giải phương trình hoành độ giao điểm: $x^2-2x=2-x\iff x^2-x-2=0\iff x=-1$ hoặc $x=2$. Trên $[-1;2]$, đường $y=2-x$ nằm trên đường $y=x^2-2x$. Diện tích: $$S={\int }_{-1}^2\left[(2-x)-(x^2-2x)\right]dx={\int }_{-1}^2(-x^2+x+2)dx={\left[-\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+2x\right]}_{-1}^2$$ Tại $x=2$: $-\frac{8}{3}+2+4=\frac{10}{3}$; tại $x=-1$: $\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-2=-\frac{7}{6}$. Vậy $S=\frac{10}{3}+\frac{7}{6}=\frac{27}{6}=4,5$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 4,5.