Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tích phân xác định (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất tuyến tính của tích phân: ${\int }_1^{2022}[f(x)+g(x)]\mathrm{d}x={\int }_1^{2022}f(x)\mathrm{d}x+{\int }_1^{2022}g(x)\mathrm{d}x=-3+2=-1$. Kết quả khớp với đáp án A trong bảng đáp án (mã đề 211, câu 5: A).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lý Newton-Leibniz: ${\int }_{-1}^2{f}^{\prime }(x)\mathrm{d}x=f(2)-f(-1)=-1-8=-9$. Vậy đáp án là A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 211, câu 7: A).

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất tuyến tính của tích phân: ${\int }_1^{2022}[f(x)+g(x)]dx={\int }_1^{2022}f(x)dx+{\int }_1^{2022}g(x)dx=-3+2=-1$. Vậy đáp án B, khớp với bảng đáp án (mã đề 111, câu 10: B).

(AI giải đề cho tôi)
a) ${\int }_1^2[f(x)-g(x)]dx=-1-3=-4$, đổi cận: ${\int }_2^1[f-g]dx=4\ne -4$ → Sai.
b) ${\int }_2^{1}3f(x)dx=-3{\int }_1^{2}f(x)dx=-3\cdot 2=-6$ → Đúng.
c) ${\int }_5^{-2}g(x)dx=3\Rightarrow {\int }_{-2}^{5}g(x)dx=-3$. Khi đó ${\int }_{-2}^5[f-4g-1]dx=8-4(-3)-7=8+12-7=13\ne -13$ → Sai.
d) ${\int }_1^{3}f(x)dx={\int }_1^2+{\int }_2^3=-2+1=-1$ → Đúng. Kết quả khớp đáp án nguồn (SDSD).
a) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_1^2[f-g]dx=-1-3=-4$; đổi cận cho ${\int }_2^1[f-g]dx=4\ne -4$.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_2^{1}3f(x)dx=-3\cdot 2=-6$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_{-2}^{5}g=-3$; tích phân cần tính $=8+12-7=13\ne -13$.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_1^{3}f=-2+1=-1$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left(f(x)+3x^2\right)\mathrm{d}x=\underset{0}{\overset{2}{\int }}f(x)\mathrm{d}x+\underset{0}{\overset{2}{\int }}3x^2\mathrm{d}x=10$. Mà $\underset{0}{\overset{2}{\int }}3x^2\mathrm{d}x={x^3|}_0^2=8$. Suy ra $\underset{0}{\overset{2}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=10-8=2$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 111, câu 16: 2).

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình hoành độ giao điểm: $7x^2+46x-4=4x-4\iff 7x^2+42x=0\iff 7x(x+6)=0\iff x=0$ hoặc $x=-6$. Trên $(-6;0)$, $7x^2+42x=7x(x+6)<0$ nên parabol nằm dưới đường thẳng. Diện tích: $S={\int }_{-6}^0\left|7x^2+42x\right|dx=-{\int }_{-6}^0(7x^2+42x)dx=-\left(\frac{7x^3}{3}+21x^2\right){|}_{-6}^0=\frac{7\cdot 216}{3}-21\cdot 36=504-756=-(-252)=252$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 252.

Lời giải:
$$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(3x^2+10x-1\right)\mathrm{d}x=\left(x^3+5x^2-x\right){|}_1^2$$
$$=\left(2^3+5.2^2-2\right)-\left(1^3+5.1^2-1\right)=21$$

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức Newton–Leibniz: ${\int }_{-1}^2{f}^{\prime }(x)\mathrm{d}x=f(2)-f(-1)=-1-8=-9$. Vậy đáp án là A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 111, câu 5: A).

(AI giải đề cho tôi)
Tính tuyến tính của tích phân xác định: với $f,g$ liên tục trên $[a;b]$ thì ${\int }_a^b[f(x)+g(x)]dx={\int }_a^{b}f(x)dx+{\int }_a^{b}g(x)dx$, nên A đúng. B sai vì tích phân không có tính chất chia; C sai vì tích phân của tích không bằng tích các tích phân; D sai vì ${\int }_a^{b}kf(x)dx=k{\int }_a^{b}f(x)dx$, không bằng ${\int }_a^{b}f(kx)dx$. Đáp án khớp với đáp án nguồn (mã đề 111, câu 8: A).

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất tuyến tính của tích phân: ${\int }_0^1[f(x)+g(x)]dx={\int }_0^{1}f(x)dx+{\int }_0^{1}g(x)dx=3+7=10$. Vậy đáp án B, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1005, câu 12: B).

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2 (Phần II): a) Đúng theo công thức Newton–Leibniz: ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$. b) Đúng theo tính chất đổi cận: ${\int }_b^{a}f(x)dx=-{\int }_a^{b}f(x)dx$. c) Sai: vì ${\int }_c^{a}f(x)dx=n$ nên ${\int }_a^{c}f(x)dx=-n$, do đó ${\int }_c^{b}f(x)dx={\int }_a^{b}f(x)dx-{\int }_a^{c}f(x)dx=m-(-n)=m+n\ne m-n$. d) Sai: ${\int }_a^b[2024f(x)+2025]dx=2024{\int }_a^{b}f(x)dx+2025(b-a)$, không phải $2025(a-b)$. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 1001 câu 14: ĐĐSS.
a) (AI giải đề cho tôi)
Công thức Newton–Leibniz: ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$ vì $F^{\prime }(x)=f(x)$ liên tục trên $[a;b]$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tính chất đổi cận: ${\int }_b^{a}f(x)dx=-{\int }_a^{b}f(x)dx$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì ${\int }_c^{a}f(x)dx=n$ nên ${\int }_a^{c}f(x)dx=-n$. Theo tính chất phân đoạn: ${\int }_c^{b}f(x)dx={\int }_a^{b}f(x)dx-{\int }_a^{c}f(x)dx=m-(-n)=m+n\ne m-n$.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_a^b[2024f(x)+2025]dx=2024{\int }_a^{b}f(x)dx+2025{\int }_a^{b}dx=2024{\int }_a^{b}f(x)dx+2025(b-a)$, khác với khẳng định $2025(a-b)$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Trên $[1;3]$, $f(x)=x^3+2x>0$ nên diện tích hình thang cong là $S=\underset{1}{\overset{3}{\int }}(x^3+2x)dx$. Đúng. b) $F(x)=\frac{x^4}{4}+2x$ có $F^{\prime }(x)=x^3+2\ne f(x)=x^3+2x$, nên $F$ không phải nguyên hàm của $f$; hơn nữa $S=F(3)-F(1)=\frac{81}{4}+6-\frac{1}{4}-2=24\ne 28=\underset{1}{\overset{3}{\int }}f(x)dx$. Sai. c) $\underset{1}{\overset{3}{\int }}f(x)dx=\left(\frac{x^4}{4}+x^2\right){|}_1^3=\left(\frac{81}{4}+9\right)-\left(\frac{1}{4}+1\right)=28$; $\underset{1}{\overset{3}{\int }}g(x)dx=\left(\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}\right){|}_1^3=\left(9+\frac{9}{2}\right)-\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{2}\right)=\frac{38}{3}$. Vậy $I=10\cdot 28+6\cdot \frac{38}{3}=280+76=356$. Đúng. d) Theo tính chất cộng tính của tích phân: $\underset{1}{\overset{3}{\int }}fdx+\underset{3}{\overset{5}{\int }}fdx=\underset{1}{\overset{5}{\int }}fdx$. Đúng. Kết quả khớp bảng đáp án (trang 5) cột mã đề 1005, câu 16: Đ, S, Đ, Đ. Lưu ý: trang đề in chân trang "Mã đề 1001", nhưng cột 1001 của bảng đáp án cho câu 16 là ĐĐĐS, không khớp với nội dung câu được in; cột 1005 (ĐSĐĐ) khớp đúng với nội dung câu này.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[1;3]$ có $f(x)=x^3+2x>0$ nên $S=\underset{1}{\overset{3}{\int }}(x^3+2x)dx$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$F^{\prime }(x)=x^3+2\ne f(x)$, nên $F$ không là nguyên hàm của $f$; thực tế $S=\underset{1}{\overset{3}{\int }}f(x)dx=28\ne F(3)-F(1)=24$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\underset{1}{\overset{3}{\int }}f(x)dx=28$, $\underset{1}{\overset{3}{\int }}g(x)dx=\frac{38}{3}$, nên $I=280+76=356$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tính chất cộng tính: $\underset{1}{\overset{3}{\int }}fdx+\underset{3}{\overset{5}{\int }}fdx=\underset{1}{\overset{5}{\int }}fdx$.

Đáp án chính thức theo bảng đáp án mã đề 1001, câu 17: 79.

Đáp án chính thức theo bảng đáp án mã đề 1001, câu 19: 415.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất tuyến tính của tích phân: ${\int }_0^{1}5f(x)\mathrm{d}x=5{\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x=5\cdot 4=20$. Bảng đáp án (trang 5) cho kết quả C, trùng khớp với kết quả tính toán.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất tuyến tính của tích phân: ${\int }_0^{1}2f(x)dx=2{\int }_0^{1}f(x)dx=2\cdot 4=8$. Vậy đáp án A, khớp với bảng đáp án (Mã đề 102, Câu 12: A).

Từ $f^{\prime }(x)=10x-8$ và $f(0)=1$ suy ra $f(x)=5x^2-8x+1$. a) Đúng. b) Sai vì ${\int }_0^2{f}^{\prime }(x)dx=f(2)-f(0)=4$. c) Đúng vì ${\int }_{-2}^1(10x^2-16x+1)dx=57$. d) Sai vì ${\int }_{-1}^1[f^{\prime }(x)-2xf(x)]dx=-\frac{16}{3}$. (Khớp bảng đáp án mã đề 102, Phần II câu 3: Đ S Đ S.)
a) Nguyên hàm của $f^{\prime }(x)=10x-8$ là $f(x)=5x^2-8x+C$. Vì $f(0)=1$ nên $C=1$, suy ra $f(x)=5x^2-8x+1$. Đúng.
b) ${\int }_0^2{f}^{\prime }(x)dx=f(2)-f(0)=(5\cdot 4-16+1)-1=5-1=4\ne 5$. Sai.
c) Với $f(x)=5x^2-8x+1$ ta có $2f(x)-1=10x^2-16x+1$. Khi đó ${\int }_{-2}^1(10x^2-16x+1)dx={\left[\frac{10x^3}{3}-8x^2+x\right]}_{-2}^1=\left(\frac{10}{3}-8+1\right)-\left(-\frac{80}{3}-32-2\right)=-\frac{14}{3}+\frac{185}{3}=57$. Đúng.
d) Với $f(x)=5x^2-8x+1$ ta có $f^{\prime }(x)-2xf(x)=10x-8-2x(5x^2-8x+1)=-10x^3+16x^2+8x-8$. Trên $[-1;1]$, các hạng tử lẻ $-10x^3$ và $8x$ có tích phân bằng $0$, nên ${\int }_{-1}^1\left[f^{\prime }(x)-2xf(x)\right]dx=2{\int }_0^1(16x^2-8)dx=2\left(\frac{16}{3}-8\right)=-\frac{16}{3}\ne \frac{16}{3}$. Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Tích phân: $I={\int }_1^5\frac{4x^2-1}{x}dx={\int }_1^5\left(4x-\frac{1}{x}\right)dx={\left[2x^2-\ln x\right]}_1^5=(50-\ln 5)-(2-0)=48-\ln 5$. Vậy $a=48$, $b=5$, $a-b=43$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (43).

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức Newton - Leibniz: $I={\int }_1^{2026}{f}^{\prime }(x)dx=f(2026)-f(1)=2-1=1$. Vậy đáp án là C, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 102, câu 6: C).

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất tuyến tính của tích phân: ${\int }_0^1[f(x)-g(x)]dx={\int }_0^{1}f(x)dx-{\int }_0^{1}g(x)dx=5-(-4)=9$. Vậy đáp án là B, khớp với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 7: B).