Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tích phân xác định (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Tách tích phân tại $x=2$: ${\int }_1^2(x^2-2x+3)dx={\left[\frac{x^3}{3}-x^2+3x\right]}_1^2=\frac{14}{3}-\frac{7}{3}=\frac{7}{3}$; ${\int }_2^3(x^2-1)dx={\left[\frac{x^3}{3}-x\right]}_2^3=6-\frac{2}{3}=\frac{16}{3}$. Vậy ${\int }_1^{3}f(x)dx=\frac{7}{3}+\frac{16}{3}=\frac{23}{3}$, nên $I=\frac{1}{2}\cdot \frac{23}{3}=\frac{23}{6}\approx 3.83$.

(AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm của $3^x$ là $\frac{3^x}{\ln 3}$. Do đó ${\int }_0^b{3}^{x}dx=\frac{3^x}{\ln 3}{|}_0^b=\frac{3^b-1}{\ln 3}$ (với $b>0$). Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm: $\int (5x^5-x-5)dx=\frac{5x^6}{6}-\frac{x^2}{2}-5x$. Tại $x=6$: $\frac{5\cdot 46656}{6}-18-30=38880-48=38832$. Tại $x=3$: $\frac{5\cdot 729}{6}-\frac{9}{2}-15=607.5-19.5=588$. Vậy tích phân $=38832-588=38244$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y=2x-3$, trục hoành và hai đường thẳng $x=1$, $x=2$ là $S=\underset{1}{\overset{2}{\int }}|2x-3|dx$. Công thức này không có hệ số $\pi$ (loại A, C) và không thể dùng $\left|\int (2x-3)dx\right|$ vì hàm số đổi dấu trên đoạn $[1,2]$ (đồ thị cắt trục hoành tại $x=\frac{3}{2}$), nên loại D. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: trên đoạn $[-1;1]$ đồ thị $y=f(x)$ nằm trên trục $Ox$ nên $f(x)\ge 0$, do đó diện tích phần đó là $\underset{-1}{\overset{1}{\int }}f(x)dx$. Trên đoạn $[1;2]$ đồ thị nằm dưới trục $Ox$ nên $f(x)\le 0$, diện tích phần đó là $-\underset{1}{\overset{2}{\int }}f(x)dx$. Vậy $S=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}f(x)dx-\underset{1}{\overset{2}{\int }}f(x)dx$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có nguyên hàm: $\int (\cos x+\sin x)dx=\sin x-\cos x$. Do đó $$\underset{\pi /4}{\overset{\pi /3}{\int }}(\cos x+\sin x)dx={\left[\sin x-\cos x\right]}_{\pi /4}^{\pi /3}=\left(\sin \frac{\pi }{3}-\cos \frac{\pi }{3}\right)-\left(\sin \frac{\pi }{4}-\cos \frac{\pi }{4}\right).$$ Tính từng phần: $\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$ nên $\sin \frac{\pi }{3}-\cos \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$. Vì $\sin \frac{\pi }{4}=\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ nên $\sin \frac{\pi }{4}-\cos \frac{\pi }{4}=0$. Vậy giá trị tích phân bằng $$\frac{\sqrt{3}-1}{2}-0=\frac{\sqrt{3}-1}{2}\approx 0,366.$$

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị $y=f(x)$, $y=g(x)$ và hai đường thẳng $x=a$, $x=b$ (với $f,g$ liên tục trên $[a;b]$) được tính bằng công thức $S={\int }_a^b\left|f(x)-g(x)\right|\mathrm{d}x$, vì trên mỗi đoạn con, khoảng cách dọc giữa hai đồ thị là $|f(x)-g(x)|$ và luôn không âm. Do đó đáp án đúng là D. Phương án A chỉ đúng khi $f(x)-g(x)$ không đổi dấu trên $[a;b]$; phương án B sai vì dùng tổng $f+g$; phương án C sai vì tích phân có thể âm.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\int }_0^1{e}^{3x}dx={\frac{1}{3}{e}^{3x}|}_0^1=\frac{e^3-e^0}{3}=\frac{e^3-1}{3}$. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Tích phân: ${\int }_0^1\frac{2e^{2x}+e^x-3}{e^x}dx={\int }_0^1(2e^x+1-3e^{-x})dx={\left[2e^x+x+3e^{-x}\right]}_0^1=(2e+1+3e^{-1})-(2+0+3)=2e+\frac{3}{e}-4=\frac{2e^2-4e+3}{e}$. Vậy $m=2,n=-4,p=3$, suy ra $m+2n-p=2-8-3=-9$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, đường thẳng $d$ đi qua hai điểm $(1;3)$ và $(5;7)$, nên $d:y=x+2$. Trên đoạn $[1;5]$, đường thẳng $d$ nằm phía trên $(P)$ (theo hình, parabol nằm dưới dây cung). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $(P)$ và $d$ là:
$$S=\underset{1}{\overset{5}{\int }}[(x+2)-f(x)]dx=\underset{1}{\overset{5}{\int }}(x+2)dx-\underset{1}{\overset{5}{\int }}f(x)dx.$$
Tính: $\underset{1}{\overset{5}{\int }}(x+2)dx=\left(\frac{x^2}{2}+2x\right){|}_1^5=\left(\frac{25}{2}+10\right)-\left(\frac{1}{2}+2\right)=\frac{45}{2}-\frac{5}{2}=20.$
Suy ra $\frac{32}{3}=20-\underset{1}{\overset{5}{\int }}f(x)dx$, nên $\underset{1}{\overset{5}{\int }}f(x)dx=20-\frac{32}{3}=\frac{28}{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $I={\int }_0^{\pi /2}f(x)dx+2{\int }_0^{\pi /2}\sin xdx=5+2{\left[-\cos x\right]}_0^{\pi /2}=5+2(0-(-1))=5+2=7$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: trên $[0;1]$ thì $f(t)=2$; trên $[1;2]$ $f$ đi thẳng từ $2$ lên $4$; trên $[2;3]$ $f$ đi thẳng từ $4$ về $0$. Do đó $g(3)={\int }_0^{3}f(t)dt$ bằng diện tích hình thang phía trên trục hoành từ $0$ đến $3$: hình chữ nhật $[0;1]$ diện tích $2\cdot 1=2$, hình thang $[1;2]$ diện tích $\frac{2+4}{2}\cdot 1=3$, tam giác $[2;3]$ diện tích $\frac{4\cdot 1}{2}=2$. Vậy $g(3)=2+3+2=7$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất tuyến tính của tích phân: $I={\int }_0^{6}3f(x)dx=3{\int }_0^{6}f(x)dx=3\cdot 12=36$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Đường (C): $y=3x^2-3$ với $x\ge 0$ cắt trục tung tại $(0;-3)$ và cắt trục hoành tại $x=1$ (vì $3x^2-3=0\Rightarrow x=1$ với $x\ge 0$). Hình phẳng giới hạn bởi (C) và hai trục tọa độ nằm trong khoảng $0\le x\le 1$, với $y\le 0$. Diện tích: $$S={\int }_0^1\left|3x^2-3\right|dx={\int }_0^1(3-3x^2)dx={\left[3x-x^3\right]}_0^1=3-1=2.$$ Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
a) ${\int }_1^2[f(x)-g(x)]dx=-1-3=-4$, nên ${\int }_2^1[f(x)-g(x)]dx=4\ne -4$ → Sai. b) ${\int }_1^{3}f(x)dx={\int }_1^2+{\int }_2^3=-2+1=-1$ → Đúng. c) ${\int }_5^{-2}g(x)dx=3\Rightarrow {\int }_{-2}^{5}g(x)dx=-3$; khi đó ${\int }_{-2}^5[f-4g-1]dx=8-4(-3)-7=13\ne -13$ → Sai. d) ${\int }_2^{1}3f(x)dx=-3{\int }_1^{2}f(x)dx=-6$ → Đúng. Kết quả khớp đáp án nguồn (mã đề 211: S, Đ, S, Đ).
a) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_1^2[f(x)-g(x)]dx=-1-3=-4$, do đó ${\int }_2^1[f(x)-g(x)]dx=4\ne -4$.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_1^{3}f(x)dx={\int }_1^{2}f(x)dx+{\int }_2^{3}f(x)dx=-2+1=-1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_{-2}^{5}g(x)dx=-{\int }_5^{-2}g(x)dx=-3$, nên ${\int }_{-2}^5[f(x)-4g(x)-1]dx=8-4(-3)-7=13\ne -13$.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_2^{1}3f(x)dx=-3{\int }_1^{2}f(x)dx=-3\cdot 2=-6$.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình hoành độ giao điểm: $7x^2+46x-4=4x-4\iff 7x^2+42x=0\iff x=0$ hoặc $x=-6$. Trên $[-6;0]$, parabol nằm dưới đường thẳng nên diện tích $S={\int }_{-6}^0\left[(4x-4)-(7x^2+46x-4)\right]dx={\int }_{-6}^0(-7x^2-42x)dx={\left[-\frac{7x^3}{3}-21x^2\right]}_{-6}^0=0-\left(504-756\right)=252$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 252.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất tuyến tính của tích phân: ${\int }_0^2\left(f(x)+3x^2\right)\mathrm{d}x={\int }_0^{2}f(x)\mathrm{d}x+{\int }_0^{2}3x^2\mathrm{d}x=10$.

Tính ${\int }_0^{2}3x^2\mathrm{d}x={x^3|}_0^2=8-0=8$.

Suy ra ${\int }_0^{2}f(x)\mathrm{d}x=10-8=2$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 211, câu 17 = 2).

(AI giải đề cho tôi)
Tính tuyến tính của tích phân: với $f,g$ liên tục trên $[a;b]$ thì ${\int }_a^b[f(x)+g(x)]\mathrm{d}x={\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x+{\int }_a^{b}g(x)\mathrm{d}x$ (tính tuyến tính của tích phân xác định). A sai vì tích phân của tích không bằng tích các tích phân (ví dụ $f(x)=g(x)=x$ trên $[0;1]$: vế trái $=\frac{1}{3}$, vế phải $=\frac{1}{4}$). B sai vì ${\int }_a^{b}kf(x)\mathrm{d}x=k{\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$, không bằng ${\int }_a^{b}f(kx)\mathrm{d}x$ nói chung. D sai vì tích phân của thương không bằng thương các tích phân. Đáp án khớp với bảng đáp án mã đề 211: Câu 2 = C.

Lời giải (theo biểu điểm và đáp án, trang 14-15):
$$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(3x^2+10x-1\right)\mathrm{d}x=\left(x^3+5x^2-x\right){|}_1^2$$
$$=\left(2^3+5.2^2-2\right)-\left(1^3+5.1^2-1\right)=21$$