Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tích phân xác định (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất cộng tính của tích phân: ${\int }_a^{c}f(x)dx={\int }_a^{b}f(x)dx+{\int }_b^{c}f(x)dx=2+3=5$ (vì $a<b<c$). Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất tích phân: ${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{d}f(x)dx+{\int }_d^{b}f(x)dx$. Ta có ${\int }_b^{d}f(x)dx=2$ nên ${\int }_d^{b}f(x)dx=-2$. Vậy ${\int }_a^{b}f(x)dx=5+(-2)=3$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Tách tích phân: ${\int }_1^8\frac{x^2-5x+3}{\sqrt[3]{x}}dx={\int }_1^8\left(x^{5/3}-5x^{2/3}+3x^{-1/3}\right)dx$. Nguyên hàm: $\frac{3}{8}{x}^{8/3}-3x^{5/3}+\frac{9}{2}{x}^{2/3}$. Tại $x=8$: $\frac{3}{8}\cdot 256-3\cdot 32+\frac{9}{2}\cdot 4=96-96+18=18$. Tại $x=1$: $\frac{3}{8}-3+\frac{9}{2}=\frac{15}{8}$. Vậy tích phân $=18-\frac{15}{8}=\frac{129}{8}$, tối giản với $a=129,b=8$, nên $a+b=137$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $I={\int }_0^{10}(x^{2022}-x+1)dx={\left[\frac{x^{2023}}{2023}-\frac{x^2}{2}+x\right]}_0^{10}=\frac{10^{2023}}{2023}-50+10=\frac{10^{2023}}{2023}-40$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $a,b$ là hằng số nên $(2a-b)$ là hằng số. Do đó $I={\int }_{-1}^2(2a-b)dx=(2a-b)\cdot (2-(-1))=3(2a-b)=6a-3b$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức Newton–Leibniz: $I={\int }_1^2{f}^{\prime }(x)dx=f(2)-f(1)=5-2=3$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đồ thị là $y=x^3-3x+2$ và $y=-2x^2+2x+8$. Phương trình hoành độ giao điểm: $x^3-3x+2=-2x^2+2x+8\iff x^3+2x^2-5x-6=0\iff (x+1)(x-3)(x+2)=0$, nên chúng cắt nhau tại $x=-1$ và $x=3$ (khớp với hình vẽ). Trên đoạn $[-1;3]$, parabol $y=-2x^2+2x+8$ nằm phía trên (tại $x=0$: $8>2$). Do đó $S={\int }_{-1}^3\left[(-2x^2+2x+8)-(x^3-3x+2)\right]dx={\int }_{-1}^3(-x^3-2x^2+5x+6)dx$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ Câu 4.23: trên đoạn $[-3;0]$ đồ thị $y=f(x)$ nằm phía trên trục $Ox$ nên $f(x)\ge 0$, diện tích phần này là ${\int }_{-3}^{0}f(x)dx$. Trên đoạn $[0;4]$ đồ thị nằm phía dưới trục $Ox$ nên $f(x)\le 0$, diện tích phần này là $-{\int }_0^{4}f(x)dx={\int }_4^{0}f(x)dx$. Vậy tổng diện tích phần gạch là $S={\int }_{-3}^{0}f(x)dx+{\int }_4^{0}f(x)dx$, tương ứng phương án A. Các phương án B, C, D sai vì không đổi dấu tích phân trên đoạn $[0;4]$ (hoặc dùng sai cận).

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: trên khoảng $(-2,-1)$ đồ thị $y=f(x)$ nằm dưới trục hoành nên $a={\int }_{-2}^{-1}f(x)dx<0$; trên $(-1,1)$ đồ thị nằm trên trục hoành nên $b={\int }_{-1}^{1}f(x)dx>0$; trên $(1,2)$ đồ thị nằm dưới trục hoành nên $c={\int }_1^{2}f(x)dx<0$. Diện tích hình phẳng $(H)$ là $S={\int }_{-2}^2|f(x)|dx=-a+b-c=b-a-c$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Trên đoạn $[0;2]$ ta có $y=-x^2+5x+6>0$ (đỉnh parabol tại $x=2,5$, giá trị dương). Diện tích: $S={\int }_0^2(-x^2+5x+6)dx={\left[-\frac{x^3}{3}+\frac{5x^2}{2}+6x\right]}_0^2=-\frac{8}{3}+10+12=\frac{58}{3}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Giao điểm: $x^2=x+2\Rightarrow x=-1,x=2$. Diện tích $S={\int }_{-1}^2(x+2-x^2)dx={\left[\frac{x^2}{2}+2x-\frac{x^3}{3}\right]}_{-1}^2=\left(2+4-\frac{8}{3}\right)-\left(\frac{1}{2}-2+\frac{1}{3}\right)=\frac{10}{3}-\left(-\frac{7}{6}\right)=\frac{27}{6}=\frac{9}{2}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Giải phương trình hoành độ giao điểm: $x^3-x=x-x^2\iff x(x+2)(x-1)=0\iff x=-2,x=0,x=1$. Đặt $h(x)=(x^3-x)-(x-x^2)=x^3+x^2-2x$. Trên $[-2;0]$, $h(x)\ge 0$ (ví dụ $h(-1)=2>0$); trên $[0;1]$, $h(x)\le 0$ (ví dụ $h(1/2)<0$). Nguyên hàm: $\int h(x)dx=\frac{x^4}{4}+\frac{x^3}{3}-x^2$. Ta có ${\int }_{-2}^{0}hdx=0-\left(4-\frac{8}{3}-4\right)=\frac{8}{3}$ và ${\int }_0^{1}hdx=\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-1=-\frac{5}{12}$. Vậy $S=\frac{8}{3}+\frac{5}{12}=\frac{32+5}{12}=\frac{37}{12}$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hình vẽ cho phần gạch sọc giới hạn bởi đồ thị (C) của $f(x)=-x^3+3x^2+2$ và đường thẳng đi qua gốc $O$ và điểm $(3;2)$, tức $y=\frac{2}{3}x$, trên đoạn $[0;3]$. Trên $[0;3]$ ta có $f(x)\ge \frac{2}{3}x$ (tại $x=0$: $2>0$; tại $x=3$: $2=2$). Diện tích: $$S={\int }_0^3\left(-x^3+3x^2+2-\frac{2}{3}x\right)dx={\left[-\frac{x^4}{4}+x^3+2x-\frac{x^2}{3}\right]}_0^3=-\frac{81}{4}+27+6-3=\frac{39}{4}.$$ Vậy $S=\frac{39}{4}$, chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ Hình 8: đồ thị $y=f(x)$ cắt trục hoành tại $x=-1$, $x=1$, $x=4$; $f(x)\ge 0$ trên $[-1;1]$ và $f(x)\le 0$ trên $[1;4]$, phần diện tích dưới trục (trên $[1;4]$) lớn hơn phần trên trục (trên $[-1;1]$).

a) ĐÚNG. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị và trục hoành là $S={\int }_{-1}^4|f(x)|dx$.

b) SAI. Vì $f(x)\le 0$ trên $[1;4]$ nên ${\int }_1^{4}f(x)dx<0$, do đó ${\int }_{-1}^{1}f(x)dx+{\int }_1^{4}f(x)dx={\int }_{-1}^{4}f(x)dx\ne S$. Đúng phải là $S={\int }_{-1}^{1}f(x)dx-{\int }_1^{4}f(x)dx$.

c) SAI. Thể tích khối tròn xoay khi quay $(H)$ quanh trục hoành là $V=\pi {\int }_{-1}^4[f(x){]}^{2}dx$; công thức trong ý c) thiếu hệ số $\pi$.

d) ĐÚNG. Với $F$ là nguyên hàm của $f$: $F(1)-F(-1)={\int }_{-1}^{1}f(x)dx>0\Rightarrow F(1)>F(-1)$; $F(4)-F(1)={\int }_1^{4}f(x)dx<0\Rightarrow F(4)<F(1)$; và $F(-1)-F(4)=-{\int }_{-1}^{4}f(x)dx={\int }_1^4|f(x)|dx-{\int }_{-1}^{1}f(x)dx>0$ vì theo hình vẽ diện tích phần dưới trục lớn hơn phần trên trục. Vậy $F(1)>F(-1)>F(4)$.
a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y=f(x)$ và trục hoành luôn được tính bằng $S={\int }_{-1}^4|f(x)|dx$, nên ý này ĐÚNG.
b) Từ hình vẽ, $f(x)\ge 0$ trên $[-1;1]$ và $f(x)\le 0$ trên $[1;4]$, nên ${\int }_1^{4}f(x)dx<0$. Do đó ${\int }_{-1}^{1}f(x)dx+{\int }_1^{4}f(x)dx={\int }_{-1}^{4}f(x)dx\ne S$. Đúng phải là $S={\int }_{-1}^{1}f(x)dx-{\int }_1^{4}f(x)dx$. Ý này SAI.
c) Công thức thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay $(H)$ quanh trục hoành là $V=\pi {\int }_{-1}^4[f(x){]}^{2}dx$. Công thức trong ý c) thiếu hệ số $\pi$, nên ý này SAI.
d) Với $F$ là nguyên hàm của $f$: $F(1)-F(-1)={\int }_{-1}^{1}f(x)dx>0$ nên $F(1)>F(-1)$. $F(4)-F(1)={\int }_1^{4}f(x)dx<0$ nên $F(4)<F(1)$. Ngoài ra $F(-1)-F(4)=-{\int }_{-1}^{4}f(x)dx={\int }_1^4|f(x)|dx-{\int }_{-1}^{1}f(x)dx>0$ vì theo hình vẽ diện tích phần dưới trục hoành (từ $x=1$ đến $x=4$) lớn hơn diện tích phần trên trục (từ $x=-1$ đến $x=1$). Vậy $F(1)>F(-1)>F(4)$, ý này ĐÚNG.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lý cơ bản của giải tích (công thức Newton–Leibniz): nếu $f(x)$ liên tục trên $[a;b]$ và $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ thì $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=F(b)-F(a)$. Do đó đáp án A đúng; các phương án B, C, D đều sai vì sai dấu, sai phép toán hoặc dùng nhầm $f$ thay vì $F$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức Newton–Leibniz, vì $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$ nên ${\int }_0^{9}f(x)dx=F(9)-F(0)=9$. a) Đúng theo công thức Newton–Leibniz. b) Nếu $F(0)=3$ thì $F(9)-3=9\Rightarrow F(9)=12$, không phải $-12$ → sai. c) ${\int }_0^{9}3f(x)dx=3\cdot 9=27$ → đúng. d) Theo tính chất tích phân ${\int }_0^{6}f(x)dx+{\int }_6^{9}f(x)dx={\int }_0^{9}f(x)dx=9$, không phải 18 → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Công thức Newton–Leibniz: ${\int }_0^{9}f(x)dx=F(9)-F(0)$ vì $F$ là nguyên hàm của $f$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $F(9)-F(0)=9$ nên nếu $F(0)=3$ thì $F(9)=12$, không phải $-12$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_0^{9}3f(x)dx=3{\int }_0^{9}f(x)dx=3\cdot 9=27$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất tích phân: ${\int }_0^{6}f(x)dx+{\int }_6^{9}f(x)dx={\int }_0^{9}f(x)dx=9$, không phải 18.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất cộng tính của tích phân: ${\int }_1^{3}f(x)\mathrm{d}x={\int }_1^{2}f(x)\mathrm{d}x+{\int }_2^{3}f(x)\mathrm{d}x=7+(-1)=6$. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất tích phân xác định: ${\int }_a^{b}f(x)dx=-{\int }_b^{a}f(t)dt$ (A đúng), ${\int }_a^{a}f(x)dx=0$ (B đúng), và theo công thức Newton–Leibniz ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(x){|}_a^b=F(b)-F(a)$ (C đúng). Khẳng định D sai vì ${\int }_a^{b}f(x)dx$ không bằng $f^{\prime }(b)-f^{\prime }(a)$; nguyên hàm của $f$ là $F$, không phải $f^{\prime }$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=x+e^x$. a) Sai: ${\int }_1^2{f}^{\prime }(x)dx=\left(e^x+\frac{x^2}{2}\right){|}_1^2=(e^2+2)-(e+\frac{1}{2})=e^2-e+\frac{3}{2}$, không phải $e^2+e+\frac{5}{2}$. b) Sai: hai đường $y=x+e^x$ và $y=x+1$ cắt nhau khi $e^x=1\iff x=0$; diện tích giới hạn bởi hai đường và $x=2$ là ${\int }_0^2(e^x-1)dx=(e^x-x){|}_0^2=e^2-2-1=e^2-3\ne \frac{57}{13}$. c) Đúng: $f(x)=e^x+\frac{x^2}{2}+C$, $f(0)=1+C=4\Rightarrow C=3$; ${\int }_0^{1}f(x)dx=(e-1)+\frac{1}{6}+3=e+\frac{13}{6}=\frac{6e+13}{6}$. d) Sai: nguyên hàm là $f(x)=e^x+\frac{x^2}{2}+C$ chứ không phải $e^x+x^2+C$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị đúng là $e^2-e+\frac{3}{2}$, vì $(e^2+2)-(e+\frac{1}{2})=e^2-e+\frac{3}{2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hai đường cắt tại $x=0$; diện tích $={\int }_0^2(e^x-1)dx=e^2-3\ne \frac{57}{13}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $f(0)=4$ thì $C=3$, ${\int }_0^{1}f(x)dx=e+\frac{13}{6}=\frac{6e+13}{6}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm đúng là $f(x)=e^x+\frac{x^2}{2}+C$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính tuyến tính của tích phân: ${\int }_0^1[f(x)-2g(x)]dx={\int }_0^{1}f(x)dx-2{\int }_0^{1}g(x)dx=2-2\cdot 5=2-10=-8$. Vậy đáp án là B.