Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tích phân xác định (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Hình vẽ cho hai đường: $y=-x^2+3$ (parabol hướng xuống) và $y=x^2-2x-1$ (parabol hướng lên). Giao điểm: $-x^2+3=x^2-2x-1\iff 2x^2-2x-4=0\iff x=-1$ hoặc $x=2$, khớp với giới hạn tích phân trong hình. Trên $[-1;2]$, đường $y=-x^2+3$ nằm phía trên nên $S={\int }_{-1}^2\left[(-x^2+3)-(x^2-2x-1)\right]dx={\int }_{-1}^2(-2x^2+2x+4)dx$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 15: a) Giải √(2x)=4−x với điều kiện x≤4: bình phương 2x=(4−x)² ⇔ x²−10x+16=0 ⇔ x=2 hoặc x=8 (loại vì x=8>4). Vậy hoành độ giao điểm là x=2 → ĐÚNG. b) Diện tích cần tính là S₁=∫₀²√(2x)dx, không phải ∫₀²2x dx (đó là diện tích dưới đường y=2x) → SAI. c) Trên [2;4] đường y=4−x nằm trên trục hoành nên S₂=∫₂⁴(4−x)dx; công thức ∫₀²(x−4)dx sai cả cận lẫn dấu (hàm âm nên tích phân cho giá trị âm) → SAI. d) Hình phẳng S gồm phần dưới y=√(2x) trên [0;2] và phần dưới y=4−x trên [2;4], nên S=∫₀²√(2x)dx+∫₂⁴(4−x)dx → ĐÚNG. (Thực tế S=8/3+2=14/3.)
a) (AI giải đề cho tôi)
√(2x)=4−x ⇔ 2x=(4−x)² (x≤4) ⇔ x²−10x+16=0 ⇔ x=2 hoặc x=8 (loại). Vậy x=2, đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
S₁=∫₀²√(2x)dx chứ không phải ∫₀²2x dx.
c) (AI giải đề cho tôi)
S₂=∫₂⁴(4−x)dx; công thức ∫₀²(x−4)dx sai cận và cho giá trị âm.
d) (AI giải đề cho tôi)
S=∫₀²√(2x)dx+∫₂⁴(4−x)dx=8/3+2=14/3, công thức đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\frac{1}{x^2-4}=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+2}\right)$.

a) Sai. Phân tích đúng là $\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+2}\right)$; đề đưa dấu ngược lại (thử $x=0$: $f(0)=-\frac{1}{4}$ còn biểu thức ở ý a) cho $+\frac{1}{4}$).

b) Sai. Nguyên hàm: $\int f(x)dx=\frac{1}{4}\ln \left|\frac{x-2}{x+2}\right|$. Vậy ${\int }_3^{4}f(x)dx=\frac{1}{4}\left(\ln \frac{2}{6}-\ln \frac{1}{5}\right)=\frac{1}{4}\ln \frac{5}{3}\approx 0,128<\frac{1}{2}$.

c) Đúng. ${\int }_3^{4}f(x)dx=\frac{1}{4}\ln \frac{5}{3}$, phân số tối giản $\frac{a}{b}=\frac{5}{3}$ nên $a\cdot b=5\cdot 3=15$.

d) Sai. ${\int }_3^4\frac{f^{\prime }(x)}{f^2(x)}dx={\left[-\frac{1}{f(x)}\right]}_3^4=-f(4)+f(3)=-\frac{1}{12}+\frac{1}{5}=\frac{7}{60}$. Do đó ${\int }_3^4\left[f(x)+\frac{f^{\prime }(x)}{f^2(x)}\right]dx=\frac{1}{4}\ln \frac{5}{3}+\frac{7}{60}\ne \frac{1}{4}\ln \frac{5}{3}+7$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Phân tích đúng: $f(x)=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+2}\right)$; ý a) viết ngược dấu nên sai (kiểm tra $x=0$: $f(0)=-1/4$ nhưng biểu thức ý a) cho $1/4$).
b) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_3^{4}f(x)dx=\frac{1}{4}\ln \frac{5}{3}\approx 0,128<\frac{1}{2}$ nên sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_3^{4}f(x)dx=\frac{1}{4}\ln \frac{5}{3}$, $a=5,b=3$ tối giản, $a\cdot b=15$ nên đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_3^4\frac{f^{\prime }(x)}{f^2(x)}dx={\left[-\frac{1}{f(x)}\right]}_3^4=\frac{7}{60}$, nên tổng bằng $\frac{1}{4}\ln \frac{5}{3}+\frac{7}{60}\ne \frac{1}{4}\ln \frac{5}{3}+7$, sai.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất cộng tính của tích phân: ${\int }_1^{3}f(x)\mathrm{d}x={\int }_1^{2}f(x)\mathrm{d}x+{\int }_2^{3}f(x)\mathrm{d}x=-3+4=1$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y=f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=a,x=b$ là $S={\int }_a^b|f(x)|dx$. Với $f(x)=4-x^2$, $a=0$, $b=3$, ta có $S={\int }_0^3\left|4-x^2\right|dx$. Lưu ý trên $[2;3]$ hàm số nhận giá trị âm nên không thể bỏ dấu giá trị tuyệt đối (loại B), và công thức có bình phương hoặc hệ số $\pi$ (loại A, D) là công thức thể tích/không đúng. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất tích phân: ${\int }_1^{8}f(x)dx={\int }_1^{3}f(x)dx+{\int }_3^{8}f(x)dx$. Suy ra ${\int }_1^{3}f(x)dx=2-(-6)=8$. Vậy chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Tích phân cần tính: ${\int }_0^2[3x-2f(x)]dx=3\cdot \frac{x^2}{2}{|}_0^2-2{\int }_0^{2}f(x)dx=3\cdot 2-2(-4)=6+8=14$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $F(x)=x\sin x$ là nguyên hàm của $f(x)$ nên ${\int }_0^{\pi /2}f(x)dx=F(\pi /2)-F(0)=\frac{\pi }{2}\sin \frac{\pi }{2}-0=\frac{\pi }{2}$. Do đó ${\int }_0^{\pi /2}[2+f(x)]dx=2\cdot \frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{2}=\pi +\frac{\pi }{2}=\frac{3\pi }{2}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: parabol $(P)$ có đỉnh $(0;4)$ và đi qua $(1;3)$ nên $f(x)=4-x^2$. Đường thẳng $d$ đi qua điểm $(1;3)$ và có hệ số góc $1$ (như hình vẽ) nên $d:y=x+2$. Phương trình hoành độ giao điểm: $4-x^2=x+2\iff x^2+x-2=0\iff x=1$ hoặc $x=-2$. Trên $[-2;1]$ thì $d$ nằm trên $(P)$, diện tích $S={\int }_{-2}^1[(x+2)-(4-x^2)]dx={\int }_{-2}^1(x^2+x-2)dx={\left[\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}-2x\right]}_{-2}^1=\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-2\right)-\left(-\frac{8}{3}+2+4\right)=-\frac{7}{6}+\frac{10}{3}=\frac{9}{2}$. Vậy a) đúng. b) ${\int }_0^1{f}^{\prime }(x)dx=f(1)-f(0)=3-4=-1\ne 3$, sai. c) $f(0)=4$, đúng. d) $d:y=x+2\ne x+3$, sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $f(x)=4-x^2$ và $d:y=x+2$, giao điểm tại $x=-2,x=1$; $S={\int }_{-2}^1(x^2+x-2)dx=\frac{9}{2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_0^1{f}^{\prime }(x)dx=f(1)-f(0)=3-4=-1\ne 3$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Parabol có đỉnh tại $(0;4)$ nên $f(0)=4$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ đi qua $(1;3)$ với hệ số góc $1$ nên có phương trình $y=x+2$, không phải $y=x+3$.

(AI giải đề cho tôi)
Tích phân không có tính chất tích: nói chung ${\int }_a^{b}f(x)g(x)dx\ne {\int }_a^{b}f(x)dx\cdot {\int }_a^{b}g(x)dx$. Ví dụ với $f(x)=g(x)=x$ trên $[0;1]$: vế trái $={\int }_0^1{x}^{2}dx=\frac{1}{3}$, còn vế phải $=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$, không bằng nhau. Các mệnh đề A (tính tuyến tính), C (tính cộng đoạn), D (đảo cận) đều đúng. Vậy mệnh đề SAI là B.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục theo hình vẽ: $D(0;3)$, $C(4;3)$, $A(0;-3)$, $B(4;-3)$, diện tích tường $24m^2$. Đường cong $y={\log }_{a}x$ đi qua $(1;0)$ và $C(4;3)$ nên ${\log }_{a}4=3\Rightarrow a=\sqrt[3]{4}$, $\ln a=\frac{\ln 4}{3}$.

Phần $H_2$ (vàng) giới hạn bởi đường cong, cạnh phải $x=4$ và cạnh dưới $y=-3$:
$$S_{H_2}={\int }_0^4\left({\log }_{a}x+3\right)dx={\left[x{\log }_{a}x-\frac{x}{\ln a}+3x\right]}_0^4=12+12-\frac{12}{\ln 4}=24-\frac{12}{\ln 4}\approx 15,344(m^2).$$

Phần $H_1$ (xanh): $S_{H_1}=24-15,344=8,656(m^2)$.

Số hộp sơn (mỗi hộp sơn được $3m^2$, chỉ bán nguyên hộp):
- Xanh: $\frac{8,656}{3}\approx 2,89\Rightarrow 3$ hộp $=300$ nghìn đồng.
- Vàng: $\frac{15,344}{3}\approx 5,11\Rightarrow 6$ hộp $=840$ nghìn đồng.

Tổng: $300+840=1140$ nghìn đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Tách tích phân: ${\int }_{-3}^{-1}(x+2)dx={\left[\frac{x^2}{2}+2x\right]}_{-3}^{-1}=\left(\frac{1}{2}-2\right)-\left(\frac{9}{2}-6\right)=-\frac{3}{2}+\frac{3}{2}=0$. Và ${\int }_{-1}^3{x}^{2}dx={\left[\frac{x^3}{3}\right]}_{-1}^3=\frac{27+1}{3}=\frac{28}{3}$. Vậy ${\int }_{-3}^{3}f(x)dx=\frac{28}{3}$, chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\int }_0^1\frac{2e^{2x}+3}{e^x}dx={\int }_0^1(2e^x+3e^{-x})dx={\left[2e^x-3e^{-x}\right]}_0^1=(2e-3e^{-1})-(2-3)=2e-\frac{3}{e}+1=\frac{2e^2+e-3}{e}$. Vậy $m=2,n=1,p=-3$, do đó $T=m+2n-p=2+2-(-3)=7$.

(AI giải đề cho tôi)
Trên đoạn $[\pi /6,\pi /3]$ thì $\sin x>0$ nên $S={\int }_{\pi /6}^{\pi /3}\sin xdx={\left[-\cos x\right]}_{\pi /6}^{\pi /3}=\cos \frac{\pi }{6}-\cos \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$. Vậy $a=3,b=1,c=2$, do đó $2a-b+c=6-1+2=7$.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích $S_1={\int }_0^a{e}^{x}dx=e^a-1$, $S_2={\int }_0^b{e}^{x}dx=e^b-1$. Theo giả thiết: $e^b-1=5(e^a-1)+4=5e^a-1$, suy ra $e^b=5e^a$, do đó $b-a=\ln 5$.

(AI giải đề cho tôi)
Tích phân xác định không phụ thuộc biến tích phân nên A đúng. Công thức Newton–Leibniz ở B đúng. Tính chất đổi cận ${\int }_c^{d}f(x)dx=-{\int }_d^{c}f(x)dx$ ở C đúng. Tích phân với cận trên bằng cận dưới ${\int }_b^{b}f(x)dx=0$ xác định được, nên D sai.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\underset{0}{\overset{2}{\int }}[4f(x)-3]dx=4\underset{0}{\overset{2}{\int }}f(x)dx-\underset{0}{\overset{2}{\int }}3dx=4\cdot 3-3\cdot (2-0)=12-6=6$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất tuyến tính của tích phân: $A={\int }_2^5[f(x)+g(x)]dx={\int }_2^{5}f(x)dx+{\int }_2^{5}g(x)dx=3+9=12$. Vậy chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất tuyến tính của tích phân: ${\int }_{-1}^2[4f(x)-5g(x)]dx=4{\int }_{-1}^{2}f(x)dx-5{\int }_{-1}^{2}g(x)dx$. Thay ${\int }_{-1}^{2}f(x)dx=-1$: $4(-1)-5G=6\Rightarrow -4-5G=6\Rightarrow G=-2$. Vậy ${\int }_{-1}^{2}g(x)dx=-2$, chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\int }_2^{3}3x^{2}dx=x^3{|}_2^3=27-8=19$. Theo giả thiết: $19-5{\int }_2^{3}f(x)dx=4$, suy ra $5{\int }_2^{3}f(x)dx=15$, tức ${\int }_2^{3}f(x)dx=3$. Vậy đáp án A.