Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tích phân xác định (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Theo Newton-Leibniz: ${\int }_{-1}^0{f}^{\prime }(x)dx=f(0)-f(-1)$. Từ đồ thị, $f(-1)=1$ (cực đại tại $x=-1$ có giá trị $1$) và $f(0)=-2$ (đồ thị cắt trục tung tại $-2$). Vậy tích phân bằng $-2-1=-3$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Trên đoạn $[1;2]$ ta có $y=2+\frac{1}{x}>0$ nên diện tích là $$S={\int }_1^2\left(2+\frac{1}{x}\right)dx={\left[2x+\ln x\right]}_1^2=(4+\ln 2)-(2+\ln 1)=2+\ln 2.$$ Vậy $a=2,b=1,c=2$ (các số nguyên), do đó $a+b+c=2+1+2=5$. Khớp với đáp án B của đề (mã 1204).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $O$ là trung điểm $AB$, trục $Oy$ là trục đối xứng. Khi đó $S(0;12)$, $A(-4;0)$, $B(4;0)$, $M(-2;0)$. Parabol $(P):y=12-\frac{3}{4}{x}^2$ (vì qua $(\pm 4;0)$ và đỉnh $(0;12)$). Điểm $N$ thuộc $(P)$, khác phía với $A$ (nên $x_N>0$) và cao 9 m: $9=12-\frac{3}{4}{x}^2\Rightarrow x^2=4\Rightarrow x=2$, tức $N(2;9)$.

Diện tích cần tính bằng tích phân: phần dưới cung parabol $SN$ (từ $x=-2$ đến $x=2$) trừ phần dưới đoạn $MS$ (từ $x=-2$ đến $0$) và phần dưới đoạn $MN$ (từ $x=0$ đến $2$).

- ${\int }_{-2}^2\left(12-\frac{3x^2}{4}\right)dx={\left[12x-\frac{x^3}{4}\right]}_{-2}^2=(24-2)-(-24+2)=44$.
- Diện tích tam giác dưới $MS$: $\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 12=12$.
- Diện tích hình thang dưới $MN$ trên $[0;2]$: tại $x=0$, đường thẳng $MN$ (từ $(-2;0)$ đến $(2;9)$) có $y=4,5$; tại $x=2$ có $y=9$, diện tích $=\frac{4,5+9}{2}\cdot 2=13,5$.

Vậy diện tích rèm vải $=44-12-13,5=18,5$ (m${}^2$).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $I={\int }_1^3[2f(x)-1]dx=2{\int }_1^{3}f(x)dx-{\int }_1^{3}1dx=2\cdot 4-(3-1)=8-2=6$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hình phẳng giới hạn bởi $y=x^2$, trục hoành $y=0$ và đường thẳng $x=1$ trên đoạn $[0;1]$. Vì $x^2\ge 0$ trên $[0;1]$, diện tích là $S={\int }_0^1{x}^2\mathrm{d}x=\frac{1}{3}$. Các phương án có hệ số $\pi$ dùng cho thể tích vật thể quay, không phải diện tích; phương án C tích phân $x$ cũng sai. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Tách tích phân theo khoảng: ${\int }_{-1}^{\pi }f(x)dx={\int }_{-1}^0(2x^2-x)dx+{\int }_0^{\pi }\sin xdx$. Phần thứ nhất: ${\left[\frac{2x^3}{3}-\frac{x^2}{2}\right]}_{-1}^0=0-\left(-\frac{2}{3}-\frac{1}{2}\right)=\frac{7}{6}$. Phần thứ hai: $[-\cos x{]}_0^{\pi }=1-(-1)=2$. Tổng: $\frac{7}{6}+2=\frac{19}{6}\approx 3.1667\approx 3.17$.

(AI giải đề cho tôi)
Trên đoạn $[0;1]$ ta có $e^x+x>0$ nên diện tích là $S_{(H)}={\int }_0^1(e^x+x)dx=\left(e^x+\frac{x^2}{2}\right){|}_0^1=e+\frac{1}{2}-1=e-\frac{1}{2}$. Vậy $a=1$, $b=2$ (phân số $\frac{1}{2}$ tối giản), suy ra $S=2026(a+b)=2026\cdot 3=6078$.

(AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm: $\int (3x^2+1)dx=x^3+x+C$. Do đó $I={\left[x^3+x\right]}_0^1=1+1-0=2$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất cộng tính của tích phân: nếu $f$ liên tục trên $[a;b]$ và $c\in [a;b]$ thì ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x={\int }_a^{c}f(x)\mathrm{d}x+{\int }_c^{b}f(x)\mathrm{d}x$. Đây chính là khẳng định ở phương án C. Các phương án A, B, D sai do sai thứ tự cận (ví dụ ${\int }_b^c=-{\int }_c^b$, ${\int }_c^a=-{\int }_a^c$).

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường cong $y=x^2-2x-1$ và $y=-x^2+3$ cắt nhau tại $x^2-2x-1=-x^2+3\iff 2x^2-2x-4=0\iff x=-1$ hoặc $x=2$. Trên đoạn $[-1;2]$, parabol $y=-x^2+3$ nằm phía trên $y=x^2-2x-1$, nên diện tích gạch chéo là $S={\int }_{-1}^2\left[(-x^2+3)-(x^2-2x-1)\right]dx={\int }_{-1}^2(-2x^2+2x+4)dx$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
a) Giải √(2x)=4−x (x≤4): bình phương 2x=(4−x)² ⇔ x²−10x+16=0 ⇔ x=2 hoặc x=8 (loại vì x=8>4). Vậy hoành độ giao điểm là x=2 → đúng.
b) Diện tích cần tính là S₁=∫₀²√(2x)dx, không phải ∫₀²2x dx → sai.
c) Trên [2;4] ta có 4−x≥0 nên S₂=∫₂⁴(4−x)dx, không phải ∫₀²(x−4)dx → sai.
d) Hình phẳng S gồm phần dưới đường y=√(2x) trên [0;2] và phần dưới đường y=4−x trên [2;4], nên S=∫₀²√(2x)dx+∫₂⁴(4−x)dx → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
√(2x)=4−x ⇔ 2x=(4−x)² ⇔ x²−10x+16=0 ⇔ x=2 (x=8 loại do x≤4).
b) (AI giải đề cho tôi)
S₁=∫₀²√(2x)dx chứ không phải ∫₀²2x dx.
c) (AI giải đề cho tôi)
S₂=∫₂⁴(4−x)dx; công thức ∫₀²(x−4)dx sai cả cận lẫn biểu thức (và cho giá trị âm).
d) (AI giải đề cho tôi)
S=∫₀²√(2x)dx+∫₂⁴(4−x)dx, đúng theo hình vẽ.

(AI giải đề cho tôi)
Liên tục tại x=1: 3-2+m = 1-4 = -3 nên m = -4 (a đúng). Với x<1: F(x)=x-2x²+C, F(-2)=-2-8+C=-6 cho C=4, nên F(x)=x-2x²+4 khi x<1, F(1⁻)=3. Với x≥1: F(x)=x³-x²-4x+C', F(1)=C'=3, nên F(x)=x³-x²-4x+3 (không phải +7, b sai). ∫₋₁⁵ f = ∫₋₁¹(1-4x)dx + ∫₁⁵(3x²-2x-4)dx = 2 + 84 = 86 ≠ 108 (c sai). Đổi biến t=ln x: ∫₁^{e²} f(ln x)dx/x = ∫₀² f(t)dt = ∫₀¹(1-4t)dt + ∫₁²(3t²-2t-4)dt = -1 + 0 = -1 ≠ 3 (d sai).
a) (AI giải đề cho tôi)
f liên tục tại x=1: 3(1)-2(1)+m = 1-4(1) = -3, suy ra m = -4.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với x<1: F(x)=x-2x²+C, F(-2)=-6 cho C=4 nên F(x)=x-2x²+4, F(1⁻)=3. Với x≥1: F(x)=x³-x²-4x+C', F(1)=C'=3 nên hằng số phải là 3, không phải 7.
c) (AI giải đề cho tôi)
∫₋₁¹(1-4x)dx = 2; ∫₁⁵(3x²-2x-4)dx = [x³-x²-4x]₁⁵ = 80-(-4) = 84. Tổng bằng 86 ≠ 108.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đặt t=ln x, t chạy từ 0 đến 2: ∫₀² f(t)dt = ∫₀¹(1-4t)dt + ∫₁²(3t²-2t-4)dt = -1 + 0 = -1 ≠ 3.

(AI giải đề cho tôi)
Phân tích: $f(x)=\frac{1}{x^2-4}=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+2}\right)$.
a) Sai, vì đề đưa $\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x-2}$ (dấu ngược).
b) ${\int }_3^{4}f(x)dx=\frac{1}{4}\ln \frac{x-2}{x+2}{|}_3^4=\frac{1}{4}\left(\ln \frac{2}{6}-\ln \frac{1}{5}\right)=\frac{1}{4}\ln \frac{5}{3}\approx 0,128<\frac{1}{2}$ → Sai.
c) $\frac{a}{b}=\frac{5}{3}$ tối giản nên $a.b=15$ → Đúng.
d) ${\int }_3^4\frac{f^{\prime }(x)}{f^2(x)}dx=-\frac{1}{f(x)}{|}_3^4=-f(4)+f(3)=-\frac{1}{12}+\frac{1}{5}=\frac{7}{60}$. Vậy tổng bằng $\frac{1}{4}\ln \frac{5}{3}+\frac{7}{60}\ne \frac{1}{4}\ln \frac{5}{3}+7$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đúng phải là $f(x)=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+2}\right)$, đề viết ngược dấu.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_3^{4}f(x)dx=\frac{1}{4}\ln \frac{5}{3}\approx 0,128<\frac{1}{2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\frac{a}{b}=\frac{5}{3}$ tối giản, $a=5,b=3$ nên $a.b=15$.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_3^4\frac{f^{\prime }}{f^2}dx=\frac{7}{60}$, tổng là $\frac{1}{4}\ln \frac{5}{3}+\frac{7}{60}$, không bằng $\frac{1}{4}\ln \frac{5}{3}+7$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo hình vẽ: bảng gỗ $9\times 5=45$ dm². Hai parabol có đỉnh $(0;2)$ và $(0;-3)$, cùng đi qua $(-4;0)$ và $(4;0)$ (đuôi cá tại $x=-4$, mũi cá tại $x=4$).

Parabol trên: $f(x)=a(16-x^2)$, với $16a=2\Rightarrow a=\frac{1}{8}$, nên $f(x)=\frac{16-x^2}{8}$.

Parabol dưới: $g(x)=b(x^2-16)$, với $-16b=-3\Rightarrow b=\frac{3}{16}$, nên $g(x)=\frac{3(x^2-16)}{16}$.

Diện tích logo (màu xanh):
$$S={\int }_{-4}^4(f(x)-g(x))dx={\int }_{-4}^4\frac{5(16-x^2)}{16}dx=\frac{5}{16}\left(16x-\frac{x^3}{3}\right){|}_{-4}^4=\frac{5}{16}\cdot \frac{256}{3}=\frac{80}{3}{\text{dm}}^2.$$

Chi phí sơn xanh: $\frac{80}{3}\times 20000=\frac{1600000}{3}\approx 533333$ đồng.

Phần trắng: $45-\frac{80}{3}=\frac{55}{3}$ dm², chi phí $\frac{55}{3}\times 10000=\frac{550000}{3}\approx 183333$ đồng.

Tổng: $\frac{2150000}{3}\approx 716667$ đồng $\approx 717$ nghìn đồng (làm tròn đến hàng nghìn đồng).

(AI giải đề cho tôi)
Theo hình vẽ, trên đoạn $[0;4]$ đồ thị hàm $f(x)$ nằm dưới trục hoành trên phần có diện tích $S_1$ và nằm trên trục hoành trên phần có diện tích $S_2$. Do đó ${\int }_0^{4}f(x)dx=S_2-S_1=3-2=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đồ thị cắt tại điểm có hoành độ x=2 (vì √(2x)=4−x ⇒ 2x=(4−x)² ⇒ x=2, y=2).

a) Diện tích $S_1={\int }_0^2\sqrt{2x}dx=\sqrt{2}\cdot \frac{2}{3}{x}^{3/2}{|}_0^2=\frac{2\sqrt{2}}{3}\cdot 2\sqrt{2}=\frac{8}{3}$ (đơn vị diện tích).

b) Diện tích $S_2={\int }_2^4(4-x)dx=\left(4x-\frac{x^2}{2}\right){|}_2^4=(16-8)-(8-2)=2$ (đơn vị diện tích).

c) Hình phẳng $S$ gồm hai phần: phần bên trái giới hạn bởi $y=\sqrt{2x}$, Ox, từ $x=0$ đến $x=2$ (chính là phần a), và phần bên phải giới hạn bởi $y=4-x$, Ox, từ $x=2$ đến $x=4$ (chính là phần b). Do đó $S=S_1+S_2=\frac{8}{3}+2=\frac{14}{3}$ (đơn vị diện tích).

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất cộng tính của tích phân: ${\int }_1^{3}f(x)\mathrm{d}x={\int }_1^{2}f(x)\mathrm{d}x+{\int }_2^{3}f(x)\mathrm{d}x=-3+4=1$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\int }_0^2(3x-2f(x))dx=3{\int }_0^{2}xdx-2{\int }_0^{2}f(x)dx=3\cdot \frac{x^2}{2}{|}_0^2-2(-4)=3\cdot 2+8=14$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Tích phân không có tính chất tích: ${\int }_a^{b}f(x)g(x)dx\ne {\int }_a^{b}f(x)dx\cdot {\int }_a^{b}g(x)dx$ nói chung. Ví dụ $f=g=1$ trên $[0;1]$: vế trái $=1$, vế phải $=1\cdot 1=1$; nhưng với $f(x)=x,g(x)=x$ trên $[0;1]$: vế trái $=\frac{1}{3}$, vế phải $=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$, mâu thuẫn. Các mệnh đề A (tính tuyến tính), C (tính cộng đoạn), D (đảo cận) đều đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Tách tích phân theo khoảng: ${\int }_{-3}^{3}f(x)dx={\int }_{-3}^{-1}(x+2)dx+{\int }_{-1}^3{x}^{2}dx$. Phần thứ nhất: ${\left[\frac{x^2}{2}+2x\right]}_{-3}^{-1}=\left(\frac{1}{2}-2\right)-\left(\frac{9}{2}-6\right)=-\frac{3}{2}+\frac{3}{2}=0$. Phần thứ hai: ${\left[\frac{x^3}{3}\right]}_{-1}^3=\frac{27}{3}-\frac{-1}{3}=\frac{28}{3}$. Vậy ${\int }_{-3}^{3}f(x)dx=0+\frac{28}{3}=\frac{28}{3}$, chọn đáp án B.