Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tích phân xác định (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)-g(x)=x^3-3x^2+2-(-x^2+x)=x^3-2x^2-x+2=(x-2)(x-1)(x+1)$, nên hai đồ thị cắt nhau tại $x=-1,x=1,x=2$.

a) $S_2$ là phần giữa $x=1$ và $x=2$. Trên $(1;2)$, $f(x)-g(x)<0$ nên $S_2={\int }_1^2(g(x)-f(x))dx=-{\int }_1^2(x^3-2x^2-x+2)dx$. Nguyên hàm $F(x)=\frac{x^4}{4}-\frac{2x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+2x$; $F(2)=\frac{2}{3}$, $F(1)=\frac{13}{12}$, nên $S_2=-\left(\frac{2}{3}-\frac{13}{12}\right)=\frac{5}{12}$. Mệnh đề ĐÚNG.

b) Diện tích phải dùng giá trị tuyệt đối: $S={\int }_{-1}^2|f(x)-g(x)|dx={\int }_{-1}^1(f-g)dx+{\int }_1^2(g-f)dx$, không thể viết trực tiếp ${\int }_{-1}^2(x^3-4x^2-x+2)dx$ (thiếu dấu giá trị tuyệt đối, và biểu thức trong tích phân cũng sai vì $f-g=x^3-2x^2-x+2$). Mệnh đề SAI.

c) $V=\pi {\int }_1^{2}g(x{)}^{2}dx=\pi {\int }_1^2(x^2-x{)}^{2}dx=\pi {\left[\frac{x^5}{5}-\frac{x^4}{2}+\frac{x^3}{3}\right]}_1^2=\pi \left(\frac{31}{5}-\frac{15}{2}+\frac{7}{3}\right)=\frac{31\pi }{30}$. Đề nói $V=\frac{31}{30}$ (thiếu $\pi$) nên SAI.

d) $f(x)=x(x-1)(x-2)$... thực tế $f(x)=x^3-3x^2+2$, $f(1)=0$, $f(2)=-2$. Diện tích $={\int }_0^{1}fdx-{\int }_1^{2}fdx$ với nguyên hàm $G(x)=\frac{x^4}{4}-x^3+2x$: $G(1)=\frac{5}{4}$, $G(2)=0$, nên diện tích $=\frac{5}{4}+\frac{5}{4}=\frac{5}{2}\ne 1$. Mệnh đề SAI.

So sánh với đáp án nguồn (Đ S S S): khớp hoàn toàn.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(1;2)$, $g-f=-(x^3-2x^2-x+2)$; $S_2=-\left[F(2)-F(1)\right]=-\left(\frac{2}{3}-\frac{13}{12}\right)=\frac{5}{12}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Phải dùng ${\int }_{-1}^2|f(x)-g(x)|dx$; ngoài ra $f-g=x^3-2x^2-x+2$ chứ không phải $x^3-4x^2-x+2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$V=\pi {\int }_1^2(x^2-x{)}^{2}dx=\frac{31\pi }{30}$, không phải $\frac{31}{30}$ (thiếu $\pi$).
d) (AI giải đề cho tôi)
Diện tích $={\int }_0^{1}fdx-{\int }_1^{2}fdx=\frac{5}{4}+\frac{5}{4}=\frac{5}{2}\ne 1$.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường $y=x^2$ và $y=-3x$ trên đoạn $[-1;2]$ là $S={\int }_{-1}^2|x^2-(-3x)|dx={\int }_{-1}^2|x^2+3x|dx$. Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (đề 102, câu 8: B).

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất nguyên hàm: ${\int }_{-3}^{1}f(x)dx=F(1)-F(-3)=8-(-1)=9$. Vậy đáp án là C, trùng với đáp án nguồn (đề 102, câu 9: C).

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất tích phân: ${\int }_6^{17}f(x)dx={\int }_6^{8}f(x)dx+{\int }_8^{17}f(x)dx=-2+(-16)=-18$. Vậy đáp án là C, trùng với đáp án nguồn (đề 101, câu 12: C).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)-g(x)=x^3-3x^2+2+x^2-x=x^3-2x^2-x+2=(x+1)(x-1)(x-2)$, đổi dấu tại $x=-1,1,2$.
a) Trên $(-1;1)$, $f-g>0$ nên $S_1={\int }_{-1}^1(x^3-2x^2-x+2)dx={\left[\frac{x^4}{4}-\frac{2x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+2x\right]}_{-1}^1=\frac{13}{12}-\left(-\frac{19}{12}\right)=\frac{8}{3}$. Đúng.
b) Trên $(1;2)$, $f-g<0$ nên diện tích phần $S_2$ phải lấy ${\int }_1^2\left[-(x^3-2x^2-x+2)\right]dx$; công thức đề bài (không có giá trị tuyệt đối) cho ${\int }_{-1}^2(x^3-2x^2-x+2)dx=\frac{8}{3}-\frac{5}{12}=\frac{9}{4}\ne S$. Sai.
c) $V=\pi {\int }_1^3{g}^2(x)dx=\pi {\int }_1^3(x^4-2x^3+x^2)dx=\pi {\left[\frac{x^5}{5}-\frac{x^4}{2}+\frac{x^3}{3}\right]}_1^3=\pi \left(\frac{171}{10}-\frac{1}{30}\right)=\frac{256\pi }{15}\ne \frac{31}{30}$. Sai.
d) $f(x)=(x-1)(x^2-2x-2)$ có nghiệm $x=1,x=1\pm \sqrt{3}$; trên $(-1;1-\sqrt{3})$ thì $f<0$, trên $(1-\sqrt{3};1)$ thì $f>0$. Với $F(x)=\frac{x^4}{4}-x^3+2x$: $F(1)=\frac{5}{4}$, $F(1-\sqrt{3})=-1$, $F(-1)=-\frac{3}{4}$. Diện tích $=-(F(1-\sqrt{3})-F(-1))+(F(1)-F(1-\sqrt{3}))=\frac{1}{4}+\frac{9}{4}=\frac{5}{2}$. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên (-1;1) có f-g>0, S1 = ∫_{-1}^{1}(x^3-2x^2-x+2)dx = 8/3.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên (1;2) thì f-g<0 nên phải lấy trị tuyệt đối; tích phân đề bài cho 9/4 ≠ S.
c) (AI giải đề cho tôi)
V = π∫_1^3 (−x²+x)² dx = 256π/15 ≠ 31/30.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tách tại nghiệm x = 1−√3 của f, diện tích = 1/4 + 9/4 = 5/2.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $x=-1$, $x=2$ và hai đồ thị $y=3x$, $y=x^2$ là $S={\int }_{-1}^2\left|x^2-3x\right|\mathrm{d}x$ vì trên đoạn $[-1;2]$ hai đồ thị cắt nhau (tại $x=0$ và $x=3$ ngoài đoạn, nhưng $x^2-3x$ đổi dấu tại $x=0$ trong đoạn), nên phải lấy trị tuyệt đối của hiệu hai hàm. Khớp với đáp án A trong bảng chấm (đề 101, Câu 8 = A).

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất nguyên hàm: $\underset{-3}{\overset{1}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=F(1)-F(-3)=10-(-1)=11$. Vậy đáp án A, trùng với đáp án nguồn (đề 101, câu 9: A).

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính tuyến tính của tích phân: $I={\int }_0^9[2f(x)+3g(x)]\mathrm{d}x=2{\int }_0^{9}f(x)\mathrm{d}x+3{\int }_0^{9}g(x)\mathrm{d}x=2\cdot 37+3\cdot 16=74+48=122$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ trục: đáy tam giác đều cạnh 12 nằm trên trục Ox từ $x=-6$ đến $x=6$, đỉnh trên tại $(0;6\sqrt{3})$. Hai cạnh bên có phương trình $y=\sqrt{3}(x+6)$ (trái) và $y=-\sqrt{3}x+6\sqrt{3}$ (phải).

Parabol $(P):y=-\frac{\sqrt{3}}{4}{x}^2+5\sqrt{3}$ tiếp xúc cạnh phải: $-\frac{\sqrt{3}}{4}{x}^2+5\sqrt{3}=-\sqrt{3}x+6\sqrt{3}\iff x^2-4x+4=0\iff x=2$ (nghiệm kép), tiếp điểm $(2;4\sqrt{3})$. Tương tự tiếp xúc cạnh trái tại $(-2;4\sqrt{3})$.

Diện tích bị cắt ở đỉnh trên (phần trong tam giác nằm phía trên parabol, giữa $x=-2$ và $x=2$):
$$A=2{\int }_0^2\left[(-\sqrt{3}x+6\sqrt{3})-\left(-\frac{\sqrt{3}}{4}{x}^2+5\sqrt{3}\right)\right]dx=2\sqrt{3}{\int }_0^2\left(1-x+\frac{x^2}{4}\right)dx=2\sqrt{3}\left(2-2+\frac{2}{3}\right)=\frac{4\sqrt{3}}{3}.$$

Do tính đối xứng, ba đỉnh được cắt cong như nhau nên tổng diện tích bị cắt là $3\cdot \frac{4\sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3}$.

Diện tích tam giác đều cạnh 12 là $\frac{12^2\sqrt{3}}{4}=36\sqrt{3}$.

Vậy $S=36\sqrt{3}-4\sqrt{3}=32\sqrt{3}\approx 55,4256\approx 55,4(d{m}^2)$, khớp với đáp án 55.4.

Trả lời: 9,76

Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ như hình vẽ.



Gọi $(P_1):y=a{x}^2+bx+c$ với $a>0$ đi qua các điểm $A(-4;8)$, $O(0;0)$, $B(4;8)$ nên ta có $$\{\begin{array}{l}16a-4b+c=8\\ 16a+4b+c=8\\ c=0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}a=\frac{1}{2}\\ b=c=0\end{array}.$$ Suy ra $(P_1):y=\frac{1}{2}{x}^2$.

Gọi $(P_2):y=m{x}^2+nx+p$ với $m>0$ đi qua các điểm $D(-4;6)$, $E(-2;3)$, $F(4;5)$ nên ta có $$\{<table><tbody><tr><td>16a-4b+c=6</td></tr><tr><td>16a+4b+c=5</td></tr><tr><td>4a-2b+c=3</td></tr></tbody></table>\Rightarrow \{<table><tbody><tr><td>a=\frac{11}{48}</td></tr><tr><td>b=-\frac{1}{8}</td></tr><tr><td>c=\frac{11}{6}</td></tr></tbody></table>$$ Suy ra $(P_2):y=\frac{11}{48}{x}^2-\frac{1}{8}x+\frac{11}{6}$.

Diện tích của hình phẳng trong lưới ô vuông được giới hạn bởi hai đường parabol $$S=\underset{-4}{\overset{4}{\int }}\left|\frac{1}{2}{x}^2-\left(\frac{11}{48}{x}^2-\frac{1}{8}x+\frac{11}{6}\right)\right|\mathrm{d}x\approx 9,76\left({\mathrm{cm}}^2\right).$$

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất tuyến tính của tích phân: ${\int }_{-1}^4[f(x)+g(x)]dx={\int }_{-1}^{4}f(x)dx+{\int }_{-1}^{4}g(x)dx=6+(-3)=3$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: $A(0;3)$, $B(2;3)$ nên trên $[0;2]$ đồ thị là đoạn thẳng $y=3$. Parabol $(P)$ đi qua $B(2;3)$ và cắt trục hoành tại $x=3$, $x=5$.

a) Diện tích hình $(H)$ trên $[0;2]$ là hình chữ nhật cạnh $2$ và $3$: $S=2\cdot 3=6$ (đvdt). → Đúng.

b) Trên $[0;2]$, $f(x)=3$, không phải $f(x)=2$. → Sai.

c) Parabol $y=x^2-8x+15=(x-3)(x-5)$ có nghiệm $x=3,5$ và $y(2)=4-16+15=3$ khớp với điểm $B(2;3)$. → Đúng.

d) Với $f(x)=x^2-8x+15$ trên $[2;5]$: ${\int }_2^{3}fdx={\left[\frac{x^3}{3}-4x^2+15x\right]}_2^3=18-\frac{38}{3}=\frac{16}{3}$; ${\int }_3^{5}fdx=\frac{125}{3}-25-18=-\frac{4}{3}$, diện tích phần dưới trục là $\frac{4}{3}$. Tổng diện tích $(H^{\prime })=6+\frac{16}{3}+\frac{4}{3}=\frac{38}{3}\approx 12,67\ne 8$ (đvdt). → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[0;2]$ đồ thị là đoạn thẳng $y=3$ (từ $A(0;3)$ đến $B(2;3)$), diện tích hình chữ nhật $S=2\cdot 3=6$ (đvdt).
b) (AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ $A(0;3)$, $B(2;3)$ nên $f(x)=3$ với mọi $x\in [0;2]$, không phải $2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y=x^2-8x+15=(x-3)(x-5)$ cắt trục hoành tại $x=3,5$ và $y(2)=3$ trùng điểm $B(2;3)$, khớp hình vẽ.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_2^{3}fdx=\frac{16}{3}$, phần dưới trục trên $[3;5]$ có diện tích $\frac{4}{3}$. Diện tích $(H^{\prime })=6+\frac{16}{3}+\frac{4}{3}=\frac{38}{3}\approx 12,67\ne 8$ (đvdt).

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất cộng tính của tích phân: ${\int }_0^{3}f(x)dx={\int }_0^{1}f(x)dx+{\int }_1^{3}f(x)dx=2+6=8$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình hoành độ giao điểm: $x^3-2x^2-3x+4=2x-2\iff x^3-2x^2-5x+6=0\iff (x+2)(x-1)(x-3)=0$, được $x=-2,1,3$.

a) Tại $x=-2$: $y=-6$; $x=1$: $y=0$; $x=3$: $y=4$ (thay vào $d:y=2x-2$ đều đúng). Vậy a đúng.

b) $f(x)=x^3-2x^2-3x+4=(x-1)(x^2-x-4)$; trên $[-1;2]$, $f>0$ trên $[-1;1)$ và $f<0$ trên $(1;2]$. Diện tích $={\int }_{-1}^{1}fdx-{\int }_1^{2}fdx$. Với $F(x)=\frac{x^4}{4}-\frac{2x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}+4x$: $F(1)=\frac{25}{12}$, $F(-1)=-\frac{55}{12}$, $F(2)=\frac{2}{3}$. Diện tích $=\left(\frac{25}{12}+\frac{55}{12}\right)+\left(\frac{2}{3}-\frac{25}{12}\right)=\frac{80}{12}-\frac{17}{12}=\frac{63}{12}=\frac{21}{4}$. Vậy b đúng.

c) Diện tích giữa $(C)$ và $d$: $g(x)=x^3-2x^2-5x+6=(x+2)(x-1)(x-3)$, $g>0$ trên $(-2;1)$, $g<0$ trên $(1;3)$. Với $G(x)=\frac{x^4}{4}-\frac{2x^3}{3}-\frac{5x^2}{2}+6x$: $G(1)=\frac{37}{12}$, $G(-2)=-\frac{38}{3}$, $G(3)=-\frac{9}{4}$. Diện tích $=\left(\frac{37}{12}+\frac{38}{3}\right)+\left(-\frac{9}{4}-\frac{37}{12}\right)=\frac{189}{12}-\frac{64}{12}=\frac{125}{12}\ne \frac{253}{12}$. Vậy c sai.

d) Hai miền: $S_1=\frac{189}{12}$, $S_2=\frac{64}{12}$, tỉ số $\frac{S_1}{S_2}=\frac{189}{64}\ne \frac{63}{16}=\frac{252}{64}$. Vậy d sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Giải $x^3-2x^2-5x+6=0$ được $x=-2,1,3$; tọa độ các điểm $A(-2;-6),B(1;0),C(3;4)$ thỏa cả hai phương trình.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)>0$ trên $[-1;1)$, $f(x)<0$ trên $(1;2]$; tích phân cho diện tích $=\frac{21}{4}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Diện tích giữa $(C)$ và $d$ bằng ${\int }_{-2}^3|x^3-2x^2-5x+6|dx=\frac{125}{12}$, không phải $\frac{253}{12}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$S_1=\frac{189}{12}$, $S_2=\frac{64}{12}$ nên $\frac{S_1}{S_2}=\frac{189}{64}\ne \frac{63}{16}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)-g(x)=a{x}^3+(b-d)x^2+(c-e)x+2$ là đa thức bậc ba có nghiệm $x=-1;1;2$, nên $f(x)-g(x)=k(x+1)(x-1)(x-2)$. Tại $x=0$: $f(0)-g(0)=1-(-1)=2=k\cdot (1)(-1)(-2)=2k\Rightarrow k=1$. Vậy $h(x)=f(x)-g(x)=(x^2-1)(x-2)=x^3-2x^2-x+2$. Theo hình vẽ, trên $(-1;1)$ thì $f>g$, trên $(1;2)$ thì $g>f$. Diện tích: $S={\int }_{-1}^{1}h(x)dx+\left|{\int }_1^{2}h(x)dx\right|$. Trên $[-1;1]$, phần lẻ của $h$ triệt tiêu: ${\int }_{-1}^1(-2x^2+2)dx={\left[-\frac{2x^3}{3}+2x\right]}_{-1}^1=\frac{8}{3}$. Tính ${\int }_1^2(x^3-2x^2-x+2)dx={\left[\frac{x^4}{4}-\frac{2x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+2x\right]}_1^2=\frac{2}{3}-\frac{13}{12}=-\frac{5}{12}$. Vậy $S=\frac{8}{3}+\frac{5}{12}=\frac{37}{12}\approx 3,08$.

(AI giải đề cho tôi)
Tích phân ${\int }_0^1{x}^{2024}dx={\left[\frac{x^{2025}}{2025}\right]}_0^1=\frac{1}{2025}$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Hình phẳng giới hạn bởi parabol $y=-x^2+3x+3$ (nằm trên) và đường thẳng $y=x$ (nằm dưới). Giao điểm: $-x^2+3x+3=x\iff x^2-2x-3=0\iff x=-1$ hoặc $x=3$, khớp với hình vẽ. Diện tích: $S={\int }_{-1}^3\left[(-x^2+3x+3)-x\right]\mathrm{d}x={\int }_{-1}^3(-x^2+2x+3)\mathrm{d}x$. Vậy đáp án A. (Kiểm tra: $S={\left[-\frac{x^3}{3}+x^2+3x\right]}_{-1}^3=9-\left(\frac{1}{3}+1-3\right)=\frac{32}{3}>0$.)

(AI giải đề cho tôi)
Tính tích phân: ${\int }_1^3\left(1+\frac{2}{x}\right)dx={\left[x+2\ln |x|\right]}_1^3=(3+2\ln 3)-(1+0)=2+2\ln 3$. Vậy $a=2,b=2,c=3$ (thỏa $c<9$). Do đó $S=a+b+c=2+2+3=7$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Theo hình vẽ, trên đoạn $[a;c]$ đồ thị hàm số nằm dưới trục hoành nên $f(x)\le 0$, diện tích phần đó là $-{\int }_a^{c}f(x)\mathrm{d}x$. Trên đoạn $[c;b]$ đồ thị nằm trên trục hoành nên $f(x)\ge 0$, diện tích phần đó là ${\int }_c^{b}f(x)\mathrm{d}x$. Vậy $S=-\underset{a}{\overset{c}{\int }}f(x)\mathrm{d}x+\underset{c}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$. Các phương án A, B, D sai vì không tính đúng dấu của tích phân trên đoạn $[a;c]$ (D sai vì $\left|{\int }_a^{b}f\right|$ chỉ đúng khi hàm không đổi dấu).

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất đổi cận tích phân: ${\int }_2^{1}f(x)dx=-{\int }_1^{2}f(x)dx=-\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{3}$. Vậy đáp án D.