Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tích phân xác định (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Giải phương trình hoành độ giao điểm: $2-x^2=x\iff x^2+x-2=0\iff x=1$ hoặc $x=-2$. Trên đoạn $[-2;1]$ ta có $2-x^2\ge x$. Diện tích là $S={\int }_{-2}^1(2-x^2-x)dx={\left[2x-\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}\right]}_{-2}^1=\left(2-\frac{1}{3}-\frac{1}{2}\right)-\left(-4+\frac{8}{3}-2\right)=\frac{7}{6}+\frac{2}{3}=\frac{11}{6}$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ giả thiết ${\int }_1^{3}f(x)dx=2$. a) Theo công thức Newton–Leibniz, $F(3)-F(1)={\int }_1^{3}f(x)dx=2$, nên $F(3)=2+3=5\ne 1$ → sai. b) ${\int }_1^{3}2f(x)dx=2{\int }_1^{3}f(x)dx=4$ → đúng. c) ${\int }_1^{2}f(x)dx={\int }_1^{3}f(x)dx-{\int }_2^{3}f(x)dx=2-(-1)=3\ne 1$ → sai. d) ${\int }_1^3\left[3f(x)+\frac{1}{x}\right]dx=3\cdot 2+\ln 3=6+\ln 3$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
F(3)-F(1)=2 nên F(3)=5, không phải 1.
b) (AI giải đề cho tôi)
2·2=4.
c) (AI giải đề cho tôi)
2-(-1)=3, không phải 1.
d) (AI giải đề cho tôi)
6+ln3.

(AI giải đề cho tôi)
Hai parabol đi qua các đỉnh hình vuông, đỉnh trên Oy. Parabol trên qua A(-4;4), B(4;4), đỉnh (0;2): $y=a{x}^2+2$ với $16a+2=4\Rightarrow a=\frac{1}{8}$, tức $y=\frac{x^2}{8}+2$. Tương tự parabol dưới: $y=-\frac{x^2}{8}-2$. → a) Đúng.

Diện tích trồng hoa là phần nằm giữa hai parabol với $x\in [-4;4]$:
$$S_1={\int }_{-4}^4\left[\left(\frac{x^2}{8}+2\right)-\left(-\frac{x^2}{8}-2\right)\right]dx={\int }_{-4}^4\left(\frac{x^2}{4}+4\right)dx=\frac{32}{3}+32=\frac{128}{3}{m}^2.$$
→ b) Sai ($\frac{128}{3}\ne \frac{44}{3}$).

Diện tích trồng cỏ: $S_2=64-\frac{128}{3}=\frac{64}{3}{m}^2$. Tỉ số $\frac{S_1}{S_2}=\frac{128/3}{64/3}=2\ne \frac{11}{37}$ → c) Sai.

Chi phí: $\frac{128}{3}\cdot 100000+\frac{64}{3}\cdot 70000=\frac{12800000+4480000}{3}=5760000$ đồng $\ne 4900000$ đồng → d) Sai. (Lưu ý: ngay cả nếu lấy $S_1=\frac{44}{3}$, $S_2=\frac{148}{3}$ thì chi phí là $\frac{4400000+10360000}{3}=4920000$ đồng, vẫn khác $4900000$.)
a) (AI giải đề cho tôi)
Parabol qua $(\pm 4;4)$ đỉnh $(0;2)$: $y=\frac{x^2}{8}+2$; parabol qua $(\pm 4;-4)$ đỉnh $(0;-2)$: $y=-\frac{x^2}{8}-2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$S_1={\int }_{-4}^4\left(\frac{x^2}{4}+4\right)dx=\frac{128}{3}{m}^2\ne \frac{44}{3}{m}^2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$S_2=64-\frac{128}{3}=\frac{64}{3}$, nên $\frac{S_1}{S_2}=2\ne \frac{11}{37}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Chi phí $=\frac{128}{3}\cdot 100000+\frac{64}{3}\cdot 70000=5760000$ đồng $\ne 4900000$ đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Tính tích phân: ${\int }_1^{2}3x^{2}dx=x^3{|}_1^2=8-1=7$. Với ${\int }_1^2\sqrt{x}dx=\frac{2}{3}{x}^{3/2}{|}_1^2=\frac{2}{3}(2\sqrt{2}-1)=\frac{4\sqrt{2}-2}{3}$. Vậy ${\int }_1^2(3x^2+\sqrt{x})dx=7+\frac{4\sqrt{2}-2}{3}=\frac{21-2+4\sqrt{2}}{3}=\frac{19+4\sqrt{2}}{3}$. Suy ra $a=19$, $b=4$, nên $a+b=23$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất cộng tính của tích phân: ${\int }_1^{3}f(x)\mathrm{d}x={\int }_1^{2}f(x)\mathrm{d}x+{\int }_2^{3}f(x)\mathrm{d}x=-3+4=1$. Vậy đáp án là A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có nguyên hàm $\int \frac{dx}{{\sin }^{2}x}=-\cot x+C$. Do đó $I={\left[-\cot x\right]}_{\pi /4}^{\pi /3}=-\cot \frac{\pi }{3}+\cot \frac{\pi }{4}$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng đẳng thức: A đúng vì ${\int }_a^{b}kdx=kx{|}_a^b=k(b-a)$ (thực tế đúng với mọi $k\in \mathbb{R}$, kể cả $k=0$). B đúng theo tính chất cộng tính của tích phân xác định. C đúng theo tính chất đổi cận: ${\int }_a^{b}f(x)dx=-{\int }_b^{a}f(x)dx$. D sai vì ${\int }_b^{a}f(x)dx=-{\int }_a^{b}f(x)dx$, nên hai vế chỉ bằng nhau khi tích phân bằng 0, không phải đẳng thức tổng quát. Vậy đẳng thức sai là D.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lý cơ bản của giải tích: ${\int }_1^4{f}^{\prime }(x)dx=f(4)-f(1)=10$. Suy ra $f(1)=f(4)-10=19-10=9$. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lý Newton–Leibniz, nếu $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $[a;b]$ thì $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=F(b)-F(a)$. Vậy đáp án đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $f(x)=x^2+2x$.
a) Nguyên hàm: $\int (x^2+2x)dx=\frac{x^3}{3}+x^2+C$. Mệnh đề đúng.
b) ${\int }_0^1(x^2+2x)dx=\left(\frac{x^3}{3}+x^2\right){|}_0^1=\frac{1}{3}+1=\frac{4}{3}\ne \frac{2}{3}$. Mệnh đề sai.
c) Trên $[0;2]$, $f(x)=x(x+2)\ge 0$ nên diện tích $S={\int }_0^2(x^2+2x)dx=\frac{8}{3}+4=\frac{20}{3}\ne \frac{10}{3}$. Mệnh đề sai.
d) Thể tích khối tròn xoay: $V=\pi {\int }_0^1(x^2+2x{)}^{2}dx=\pi {\int }_0^1(x^4+4x^3+4x^2)dx=\pi \left(\frac{1}{5}+1+\frac{4}{3}\right)=\frac{38\pi }{15}$. Mệnh đề nói bằng $\frac{38}{15}$ (thiếu $\pi$) nên sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm của $x^2+2x$ là $\frac{x^3}{3}+x^2+C$, đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_0^1(x^2+2x)dx=\frac{1}{3}+1=\frac{4}{3}\ne \frac{2}{3}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)\ge 0$ trên $[0;2]$, $S={\int }_0^2(x^2+2x)dx=\frac{20}{3}\ne \frac{10}{3}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$V=\pi {\int }_0^1(x^2+2x{)}^{2}dx=\frac{38\pi }{15}$, không phải $\frac{38}{15}$ (thiếu hệ số $\pi$).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $${\int }_1^2\left(1+\frac{3}{x}\right)dx={\left[x+3\ln |x|\right]}_1^2=(2+3\ln 2)-(1+3\ln 1)=1+3\ln 2.$$ Vậy $a=1,b=3,c=2$ (thỏa $c<7$), do đó $S=a+b+c=1+3+2=6$.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích cần tính là $S={\int }_0^3{x}^{2}dx={\frac{x^3}{3}|}_0^3=\frac{27}{3}=9$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Tính tích phân: ${\int }_0^m(2x-7)dx={\left[x^2-7x\right]}_0^m=m^2-7m$. Theo đề: $m^2-7m=-12\iff m^2-7m+12=0\iff (m-3)(m-4)=0$, suy ra $m=3$ hoặc $m=4$. Vậy chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hình (H) giới hạn bởi y=3e^{-x}, trục hoành, trục tung và x=2 (với 0≤x≤2, f(x)>0).
a) Diện tích S = ∫₀² 3e^{-x}dx = [-3e^{-x}]₀² = -3e^{-2}+3 = 3 - 3/e². Đúng.
b) ∫3e^{-x}dx = -3e^{-x}+C. Đúng.
c) ∫₀² f(x)dx = 3 - 3e^{-2} = (3e²-3)/e², khác (3-3e²)/e² (giá trị âm). Sai.
d) Thể tích V = π∫₀² 9e^{-2x}dx = 9π[-e^{-2x}/2]₀² = (9π/2)(1-e^{-4}) = 9π(e⁴-1)/(2e⁴). Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
S = ∫₀² 3e^{-x}dx = 3(1-e^{-2}) = 3 - 3/e².
b) (AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm của 3e^{-x} là -3e^{-x}+C.
c) (AI giải đề cho tôi)
∫₀² f(x)dx = 3 - 3e^{-2} = (3e²-3)/e² > 0, không phải (3-3e²)/e².
d) (AI giải đề cho tôi)
V = π∫₀² 9e^{-2x}dx = (9π/2)(1-e^{-4}) = 9π(e⁴-1)/(2e⁴).

(AI giải đề cho tôi)
Ta tính tích phân: ${\int }_0^1\sqrt{x}dx={\left[\frac{2}{3}{x}^{3/2}\right]}_0^1=\frac{2}{3}$ và ${\int }_0^1{e}^{x}dx=e-1$.

Do đó: $${\int }_0^1\left(\sqrt{x}-e^x\right)dx=\frac{2}{3}-(e-1)=-e+\frac{5}{3}.$$

Vậy $a=-1$, $\frac{b}{c}=\frac{5}{3}$ (tối giản, $b=5$, $c=3$).

Suy ra $a+b-c=-1+5-3=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục toạ độ với gốc tại tâm hình chữ nhật: $x\in [-50;50]$ (cm), $y\in [-25;25]$ (cm). Trục đối xứng chung của hai parabol là trục $Ox$ (đường trung bình chiều dài), đỉnh chung là $O(0;0)$.

Parabol phải (đi qua hai đỉnh $(50;\pm 25)$) có dạng $x=a{y}^2$ với $a=\frac{50}{25^2}=\frac{2}{25}$. Nhánh trên: $y=\sqrt{\frac{x}{a}}=\frac{5}{\sqrt{2}}\sqrt{x}$, với $x\in [0;50]$.

Parabol trái đối xứng qua trục $Oy$: nhánh trên $y=\frac{5}{\sqrt{2}}\sqrt{-x}$, với $x\in [-50;0]$.

Phần màu xanh phía trên là phần nằm phía trên cả hai nhánh trên (giới hạn bởi cạnh trên của hình chữ nhật); phần màu xanh phía dưới đối xứng nên diện tích gấp đôi.

Diện tích phần xanh phía trên:
$$S_{tr\hat{e}n}=2{\int }_0^{50}\left(25-\frac{5}{\sqrt{2}}\sqrt{x}\right)dx=2{\left[25x-\frac{5}{\sqrt{2}}\cdot \frac{2}{3}{x}^{3/2}\right]}_0^{50}$$
$$=2500-\frac{10}{3\sqrt{2}}\cdot 50\sqrt{50}=2500-\frac{10}{3\sqrt{2}}\cdot 250\sqrt{2}=2500-\frac{2500}{3}=\frac{2500}{3}(c{m}^2).$$

Tổng diện tích màu xanh:
$$S=2\cdot \frac{2500}{3}=\frac{5000}{3}c{m}^2=\frac{50}{3}d{m}^2\approx 16,7d{m}^2.$$

Vậy diện tích phần màu xanh là khoảng $16,7d{m}^2$.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng tính tuyến tính của tích phân: $I={\int }_0^2(2f(x)-3g(x)+1)dx=2{\int }_0^{2}f(x)dx-3{\int }_0^{2}g(x)dx+{\int }_0^{2}1dx=2\cdot 3-3\cdot (-2)+2=6+6+2=14$. Vậy $I=14$, chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lý Newton–Leibniz: ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$. Từ giả thiết $3F(b)=1+3F(a)$ suy ra $3F(b)-3F(a)=1$, tức $3(F(b)-F(a))=1$, nên $F(b)-F(a)=\frac{1}{3}$. Vậy ${\int }_a^{b}f(x)dx=\frac{1}{3}$, chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y=3^x$, hai trục tọa độ và đường thẳng $x=2$ là $S={\int }_0^2{3}^{x}dx={\frac{3^x}{\ln 3}|}_0^2=\frac{3^2-3^0}{\ln 3}=\frac{9-1}{\ln 3}=\frac{8}{\ln 3}$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất cộng tính của tích phân: ${\int }_6^{17}f(x)dx={\int }_6^{8}f(x)dx+{\int }_8^{17}f(x)dx=-2+16=14$. Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (đề 102, Câu 12: B).