Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tích phân xác định (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lý Newton - Leibniz, vì $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ nên $\underset{1}{\overset{2}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=F(2)-F(1)=5-9=-4$. Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 101, Câu 9: B).

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: A(0;2), B(2;2), C(3;0), D(5;-1), E(5;0).
a) Hình thang OABC có hai đáy OA = 2, BC = 3 (khoảng cách từ B(2;2) đến C(3;0) theo phương ngang là 3) và chiều cao 2, diện tích = ((2+3)/2)·2 = 5. Tam giác CDE có đáy CE = 2, chiều cao = 1 (tung độ D), diện tích = (2·1)/2 = 1. Cả hai đúng.
b) Trên [0;3] đồ thị nằm trên trục Ox nên ∫₀³ f(x)dx = diện tích OABC = 5. Đúng.
c) Trên [3;5] đồ thị nằm dưới trục Ox nên ∫₃⁵ f(x)dx = -diện tích CDE = -1. Do đó ∫₀⁵ f(x)dx = 5 + (-1) = 4. Đúng.
d) ∫₃⁵ f(x)dx = -1 (vì f(x) ≤ 0 trên [3;5]), không phải 1. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Diện tích hình thang OABC = ((2+3)/2)·2 = 5; diện tích tam giác CDE = (1/2)·2·1 = 1.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên [0;3] f(x) ≥ 0 nên ∫₀³ f(x)dx = diện tích hình thang OABC = 5.
c) (AI giải đề cho tôi)
∫₀⁵ f(x)dx = 5 + (-1) = 4 vì phần [3;5] nằm dưới trục Ox.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên [3;5] f(x) ≤ 0 nên ∫₃⁵ f(x)dx = -diện tích tam giác CDE = -1, không phải 1.

(AI giải đề cho tôi)
Tích phân: ${\int }_1^2\left(x+\frac{1}{x}\right)dx={\left[\frac{x^2}{2}+\ln x\right]}_1^2=(2+\ln 2)-\left(\frac{1}{2}+0\right)=\frac{3}{2}+\ln 2$. Vậy $a=2$, $b=3$, $c=2$ (phân số tối giản), tổng $a+b+c=2+3+2=7$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất tuyến tính của tích phân xác định: ${\int }_2^{5}3f(x)dx=3{\int }_2^{5}f(x)dx=3\cdot 2=6$. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Theo hình vẽ, trên đoạn $[-1;1]$ đồ thị $y=f(x)$ nằm trên trục hoành nên $f(x)\ge 0$, do đó diện tích phần này là ${\int }_{-1}^{1}f(x)dx$. Trên đoạn $[1;2]$ đồ thị nằm dưới trục hoành nên $f(x)\le 0$, diện tích phần này là $-{\int }_1^{2}f(x)dx$. Vậy $S=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}f(x)dx-\underset{1}{\overset{2}{\int }}f(x)dx$.

(AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm: $\int (-3x-4)dx=-\frac{3x^2}{2}-4x+C$. Do đó ${\int }_4^7(-3x-4)dx=\left(-\frac{3\cdot 49}{2}-28\right)-\left(-\frac{3\cdot 16}{2}-16\right)=\left(-\frac{203}{2}\right)-(-40)=-\frac{203}{2}+\frac{80}{2}=-\frac{123}{2}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Trên $[2;3]$, hiệu hai hàm: $6x^2-30x+36-(2x+1)=6x^2-32x+35$. Phương trình $6x^2-32x+35=0$ có nghiệm $x=\frac{16\pm \sqrt{46}}{6}\approx 1,54$ và $3,80$, nên trên $[2;3]$ biểu thức luôn âm (tại $x=2$: $-5<0$). Diện tích $S={\int }_2^3-(6x^2-32x+35)dx=-{\left[2x^3-16x^2+35x\right]}_2^3=-(15-22)=7$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ trục như hình: hai đầu mút cánh hoa tại $(\pm 2;4)$ nằm trên nửa đường tròn tâm $O$ nên $R^2=2^2+4^2=20$, $R=2\sqrt{5}$. Parabol có dạng $y=a{x}^2$, qua $(2;4)$ nên $a=1$, tức $y=x^2$. Diện tích phần trồng hoa (giữa đường thẳng $y=4$ và parabol): $S_{hoa}={\int }_{-2}^2(4-x^2)dx={\left[4x-\frac{x^3}{3}\right]}_{-2}^2=16-\frac{16}{3}=\frac{32}{3}$ m². Diện tích nửa hình tròn: $\frac{1}{2}\pi R^2=10\pi$ m². Diện tích trồng cỏ: $S_{co}=10\pi -\frac{32}{3}$ m². Chi phí: $150000\cdot \frac{32}{3}+100000\left(10\pi -\frac{32}{3}\right)=1600000+1000000\pi -\frac{3200000}{3}\approx 1600000+3141592.65-1066666.67\approx 3674926$ đồng. Làm tròn đến hàng nghìn: $3675000$ đồng, vậy $\overline{abcd}=3675$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất tích phân: ${\int }_5^{18}f(x)dx={\int }_5^{8}f(x)dx+{\int }_8^{18}f(x)dx$. Suy ra ${\int }_5^{8}f(x)dx=-20-16=-36$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích thiết diện tại hoành độ $x$ là $S(x)=7x\sqrt{25-x^2}$. Thể tích: $$V={\int }_0^{5}7x\sqrt{25-x^2}dx.$$ Đặt $u=25-x^2\Rightarrow du=-2xdx$. Khi $x=0,u=25$; khi $x=5,u=0$: $$V=\frac{7}{2}{\int }_0^{25}\sqrt{u}du=\frac{7}{2}\cdot \frac{2}{3}{u}^{3/2}{|}_0^{25}=\frac{7}{3}\cdot 125=\frac{875}{3}.$$ Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y=e^x$, $y=0$, $x=0$, $x=2$ là $S={\int }_0^2{e}^x\mathrm{d}x$ vì $e^x\ge 0$ trên $[0;2]$. Các phương án có hệ số $\pi$ dùng cho thể tích khối tròn xoay, không phải diện tích. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Xét hiệu hai hàm số: $(-5x+x^2)-(-x^2+x)=2x^2-6x=2x(x-3)$. Trên $[-1;0]$, $2x(x-3)\ge 0$; trên $[0;2]$, $2x(x-3)\le 0$. Do đó $S={\int }_{-1}^0(2x^2-6x)dx+{\int }_0^2(6x-2x^2)dx$. Tính: ${\int }_{-1}^0(2x^2-6x)dx={\left[\frac{2x^3}{3}-3x^2\right]}_{-1}^0=0-\left(-\frac{2}{3}-3\right)=\frac{11}{3}$; ${\int }_0^2(6x-2x^2)dx={\left[3x^2-\frac{2x^3}{3}\right]}_0^2=12-\frac{16}{3}=\frac{20}{3}$. Vậy $S=\frac{11}{3}+\frac{20}{3}=\frac{31}{3}$, khớp với đáp án nguồn C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: trên đoạn $[-4;-1]$, đồ thị $f(x)$ là đoạn thẳng nối điểm $(-4;2)$ và $(-1;1)$ (các đường nét đứt chỉ rõ hai điểm này). Diện tích hình thang dưới đồ thị trên $[-4;-1]$ là $\frac{(2+1)\cdot 3}{2}=\frac{9}{2}$.

Do đó ${\int }_{-4}^{-1}f(x)\mathrm{d}x=\frac{9}{2}$ (hàm dương trên đoạn này).

Suy ra ${\int }_{-4}^{2}f(x)\mathrm{d}x={\int }_{-4}^{-1}f(x)\mathrm{d}x+{\int }_{-1}^{2}f(x)\mathrm{d}x=\frac{9}{2}+\frac{47}{10}=\frac{45+47}{10}=\frac{92}{10}=9,2$.

Vì $F^{\prime }(x)=f(x)$ nên ${\int }_{-4}^{2}f(x)\mathrm{d}x=F(2)-F(-4)=9,2$, do đó $F(-4)-F(2)=-9,2$. Kết quả trùng với đáp án $-9,2$ của đề.

$${\int }_0^{\frac{\pi }{6}}\sin x\cdot \sin 7xdx=\frac{1}{2}{\int }_0^{\frac{\pi }{6}}(\cos 6x-\cos 8x)dx(0,25)$$ $$=\left(\frac{1}{12}\sin 6x-\frac{1}{16}\sin 8x\right){|}_0^{\frac{\pi }{6}}=\frac{\sqrt{3}}{32}(0,25)$$ Nếu HS chỉ ghi đáp án mà không giải thì không có điểm.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đồ thị $y=x^2-2x$ và $y=-x^2+4x$ cắt nhau khi $x^2-2x=-x^2+4x\iff 2x^2-6x=0\iff x=0$ hoặc $x=3$. Trên $[-1;0]$ và $[3;4]$ thì $x^2-2x\ge -x^2+4x$; trên $[0;3]$ thì $-x^2+4x\ge x^2-2x$. Do đó diện tích là $$S={\int }_{-1}^0(2x^2-6x)dx+{\int }_0^3(-2x^2+6x)dx+{\int }_3^4(2x^2-6x)dx.$$ Với $\int (2x^2-6x)dx=\frac{2x^3}{3}-3x^2$: trên $[-1;0]$ ta được $0-\left(-\frac{2}{3}-3\right)=\frac{11}{3}$; trên $[3;4]$ ta được $\left(\frac{128}{3}-48\right)-(18-27)=\frac{11}{3}$. Trên $[0;3]$: ${\int }_0^3(-2x^2+6x)dx=\left(-\frac{2x^3}{3}+3x^2\right){|}_0^3=-18+27=9$. Vậy $S=\frac{11}{3}+9+\frac{11}{3}=\frac{49}{3}$, khớp đáp án B của bảng đáp án mã 101.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=e^x-2$.
a) Nguyên hàm: $\int f^{\prime }(x)dx=e^x-2x+C$ → Đúng.
b) $f(x)=e^x-2x+C$; $f(0)=1+C=2\Rightarrow C=1$, vậy $f(x)=e^x-2x+1$, không phải $e^x-2x+2$ → Sai.
c) ${\int }_0^{2}f(x)dx={\int }_0^2(e^x-2x+1)dx=(e^x-x^2+x){|}_0^2=e^2-4+2-1=e^2-3\ne e^2-4$ → Sai.
d) Hiệu hai hàm: $(x^2+e^x-6)-(e^x-2)=x^2-4\le 0$ trên $[-2;0]$. Diện tích $={\int }_{-2}^0(4-x^2)dx={\left[4x-\frac{x^3}{3}\right]}_{-2}^0=0-\left(-8+\frac{8}{3}\right)=\frac{16}{3}\ne \frac{29}{3}$ → Sai.
Kết quả: a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Sai, khớp đáp án mã 101 (ĐSSS).
a) (AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm của $e^x-2$ là $e^x-2x+C$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Từ $f(0)=2$ suy ra $C=1$, nên $f(x)=e^x-2x+1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_0^2(e^x-2x+1)dx=e^2-3\ne e^2-4$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Diện tích $={\int }_{-2}^0(4-x^2)dx=\frac{16}{3}\ne \frac{29}{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo đồ thị, trên đoạn $[2;5]$ đồ thị của $f(x)$ là đoạn thẳng nối điểm $(2;3)$ với điểm $(5;1)$, nên $${\int }_2^{5}f(x)dx=\frac{(3+1)\cdot 3}{2}=6.$$ Do đó $$F(5)-F(-2)={\int }_{-2}^{5}f(x)dx={\int }_{-2}^{2}f(x)dx+{\int }_2^{5}f(x)dx=\frac{29}{5}+6=\frac{59}{5}=11,8.$$ Kết quả trùng với đáp án nguồn $11,8$.

$$\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{3}}{\int }}\sin x.\cos 5xdx=\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{3}}{\int }}(\sin 6x-\sin 4x)dx$$ $$=\left(\frac{-1}{12}\cos 6x+\frac{1}{8}\cos 4x\right){|}_0^{\frac{\pi }{3}}=-\frac{3}{16}$$ Nếu HS chỉ ghi đáp án mà không giải thích không có điểm. (Điểm: 0,25 + 0,25)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\int }_3^{1}f(x)dx=6$ nên ${\int }_1^{3}f(x)dx=-6$. Theo tính chất cộng tính của tích phân: ${\int }_0^{3}f(x)dx={\int }_0^{1}f(x)dx+{\int }_1^{3}f(x)dx=-4+(-6)=-10$. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Trên đoạn $[0;1]$, ta có $x^2+5\ge 6x$ (vì $x^2-6x+5=(x-1)(x-5)\ge 0$ với $x\in [0;1]$). Diện tích là $$S={\int }_0^1\left(x^2+5-6x\right)dx={\left[\frac{x^3}{3}+5x-3x^2\right]}_0^1=\frac{1}{3}+5-3=\frac{8}{3}.$$ Vậy đáp án A.