Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tiệm cận (Toán học Lớp 12)

Đáp án bảng mã đề 2102, câu 16: a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Đúng (DDSD).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{3x+1}{x+2}$ xác định khi $x+2\ne 0$, tức $x\ne -2$. Tại $x=-2$: ${\lim }_{x\to -2^{-}}\frac{3x+1}{x+2}=+\infty$ và ${\lim }_{x\to -2^{+}}\frac{3x+1}{x+2}=-\infty$, nên đồ thị có tiệm cận đứng $x=-2$. (Tiệm cận ngang là $y=3$.) Kết quả khớp với đáp án nguồn A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=\frac{x^2-2x+1}{x+4}$. Chia đa thức: $x^2-2x+1=(x+4)(x-6)+25$, nên $f(x)=x-6+\frac{25}{x+4}$.

a) Vì $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\left(f(x)-(x-6)\right)=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{25}{x+4}=0$ nên đường thẳng $y=x-6$ là tiệm cận xiên của $(C)$. → Đúng.

b) Hàm số xác định khi $x+4\ne 0$, tức $D=\mathbb{R}\setminus \{-4\}$, không phải $\mathbb{R}\setminus \{4\}$. → Sai.

c) $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x-6+\frac{25}{x+4}}{x}=1\ne -1$. → Sai.

d) $f^{\prime }(x)=\frac{(2x-2)(x+4)-(x^2-2x+1)}{(x+4{)}^2}=\frac{(x-1)(x+9)}{(x+4{)}^2}$.
$f^{\prime }(x)=0\iff x=-9$ hoặc $x=1$; $f^{\prime }(x)>0$ khi $x<-9$ hoặc $x>1$, $f^{\prime }(x)<0$ khi $-9<x<-4$ hoặc $-4<x<1$.
Giá trị: $f(-9)=\frac{(-9{)}^2-2(-9)+1}{-5}=\frac{100}{-5}=-20$ (cực đại); $f(1)=0$ (cực tiểu); $\underset{x\to -4^{-}}{\lim }f(x)=-\infty$, $\underset{x\to -4^{+}}{\lim }f(x)=+\infty$; $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f(x)=\pm \infty$ theo tiệm cận $y=x-6$.
Bảng biến thiên: tăng từ $-\infty$ đến $-20$ tại $x=-9$, giảm đến $-\infty$ khi $x\to -4^{-}$; từ $+\infty$ giảm đến $0$ tại $x=1$, rồi tăng đến $+\infty$. Khớp với bảng . → Đúng.

Kết quả: a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Đúng — trùng với đáp án mã đề 2101 (DSSD).
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $f(x)=x-6+\frac{25}{x+4}$ và $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{25}{x+4}=0$ nên $y=x-6$ là tiệm cận xiên.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số xác định khi $x\ne -4$, nên $D=\mathbb{R}\setminus \{-4\}$, không phải $\mathbb{R}\setminus \{4\}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x-6+\frac{25}{x+4}}{x}=1\ne -1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=\frac{(x-1)(x+9)}{(x+4{)}^2}$; cực đại $f(-9)=-20$, cực tiểu $f(1)=0$, tiệm cận đứng $x=-4$ với $y\to -\infty$ bên trái và $y\to +\infty$ bên phải — khớp bảng biến thiên đã cho.

(AI giải đề cho tôi)
Xét hàm số $y=\frac{x-2}{x+1}$, tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$. Đạo hàm: $y^{\prime }=\frac{(x+1)-(x-2)}{(x+1{)}^2}=\frac{3}{(x+1{)}^2}>0$ với mọi $x\ne -1$, nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $(-\infty ;-1)$ và $(-1;+\infty )$, do đó không có cực trị. Đồ thị có tiệm cận đứng $x=-1$ và tiệm cận ngang $y=1$ (vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=1$), tức hai đường tiệm cận. So sánh với đáp án mã đề 2101, câu 16: DDSD — khớp hoàn toàn: a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng. Lưu ý: mệnh đề d đúng vì $y^{\prime }=\frac{3}{(x+1{)}^2}$, không có xung đột với bảng đáp án.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận đứng $x=-1$ và tiệm cận ngang $y=1$, tức hai đường tiệm cận.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{3}{(x+1{)}^2}>0$ với mọi $x\ne -1$ nên hàm số đồng biến trên $(-\infty ;-1)$ và $(-1;+\infty )$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì $y^{\prime }>0$ trên toàn tập xác định, hàm số không có cực trị.
d) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{(x+1)-(x-2)}{(x+1{)}^2}=\frac{3}{(x+1{)}^2}$, đúng như mệnh đề.

(AI giải đề cho tôi)
Tập xác định: $4-x^2\ge 0\Rightarrow x\in [-2;2]$, và $x^2-3x\ne 0\Rightarrow x\ne 0$ (x=3 không thuộc miền xác định). Vậy $D=[-2;0)\cup (0;2]$.

Tiệm cận đứng: tại $x=0$, ta có $\sqrt{4-x^2}\to 2$ và $x^2-3x\to 0$ nên ${\lim }_{x\to 0^{\pm }}f(x)=\pm \infty$ (với $x\to 0^{-}$, mẫu $x^2-3x>0$; với $x\to 0^{+}$, mẫu $<0$). Vậy $x=0$ là tiệm cận đứng.

Tiệm cận ngang: tập xác định bị chặn $[-2;2]$, không có $x\to \pm \infty$, nên không có tiệm cận ngang (giới hạn tại hai đầu mút $x=\pm 2$ đều hữu hạn).

Tổng số tiệm cận đứng và ngang là $1$. Chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x+1}{x-2}$ xác định khi $x-2\ne 0$, tức $x\ne 2$. Tại $x=2$, mẫu số bằng 0 và tử số $x+1=3\ne 0$, nên ${\lim }_{x\to 2^{+}}y=+\infty$, ${\lim }_{x\to 2^{-}}y=-\infty$. Vậy đồ thị có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=2$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{3x-1}{x+3}$ có bậc tử bằng bậc mẫu nên có tiệm cận ngang $y=\frac{3}{1}=3$. Thật vậy, ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{3x-1}{x+3}=3$. Đáp án: $y=3$, chọn D. (Tiệm cận đứng là $x=-3$.) Khớp với đáp án nguồn (mã đề 1201, câu 12: D).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: tại $x=0$ hàm số không xác định và $y\to -\infty$ khi $x\to 0$ (các nhánh trái, phải của $x=0$ đều xuống $-\infty$), nên đồ thị có tiệm cận đứng $x=0$. Ngoài ra ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=1$ và ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=3$, nên đồ thị có hai tiệm cận ngang $y=1$ và $y=3$. Vậy đồ thị có tất cả $3$ đường tiệm cận. Khớp với đáp án nguồn: C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ ở Câu 7, đồ thị có tiệm cận đứng $x=-\frac{1}{2}$ (nét đứt dọc) và đường tiệm cận xiên được vẽ nét đứt, ghi rõ là $y=x-2$; đồ thị tiến gần đường thẳng này khi $x\to \pm \infty$. Vậy tiệm cận xiên là $y=x-2$, khớp đáp án B (bảng hướng dẫn chấm, mã đề 1201: B).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x-1}{x-3}$ xác định khi $x\ne 3$. Tại $x=3$, mẫu số bằng 0 và tử số $3-1=2\ne 0$, nên ${\lim }_{x\to 3^{\pm }}\frac{x-1}{x-3}=\pm \infty$. Vậy đồ thị có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=3$. Khớp với đáp án nguồn (mã đề 121, câu 12: C).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=\frac{x^2+2x+2}{x+1}=\frac{(x+1{)}^2+1}{x+1}=x+1+\frac{1}{x+1}$, tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$. a) Vì ${\lim }_{x\to -1^{+}}y=+\infty$ và ${\lim }_{x\to -1^{-}}y=-\infty$ nên đồ thị $(C)$ có tiệm cận đứng $x=-1$ → Đúng. b) Vì bậc tử lớn hơn bậc mẫu nên không có tiệm cận ngang (đường $y=0$ không phải TCN) → Sai. c) Vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }\left[y-(x+1)\right]={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{1}{x+1}=0$ nên $(C)$ có tiệm cận xiên $y=x+1$ → Đúng. d) Thay $x=1$ vào $y=x+1$ được $y=2\ne 0$, nên $M(1;0)$ không thuộc đường tiệm cận xiên → Sai. Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) Đ; b) S; c) Đ; d) S.
a) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to -1^{\pm }}\frac{x^2+2x+2}{x+1}=\pm \infty$ nên $(C)$ có tiệm cận đứng $x=-1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Bậc của tử (2) lớn hơn bậc của mẫu (1) nên đồ thị không có tiệm cận ngang; thay vào đó có tiệm cận xiên.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y=x+1+\frac{1}{x+1}$ và ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{1}{x+1}=0$ nên tiệm cận xiên là $y=x+1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $x=1$, đường $y=x+1$ có $y=2\ne 0$, nên $M(1;0)$ không thuộc tiệm cận xiên.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị hàm phân thức $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ có hai đường tiệm cận: tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=1$ (nhìn từ hình vẽ). Tâm đối xứng của đồ thị hàm phân thức là giao điểm của hai đường tiệm cận, nên tâm đối xứng là $(1;1)$. Điều này khớp với đáp án nguồn (Câu 5, mã đề 121: D).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị ở Câu 8, đường thẳng đứng $x=-2$ là tiệm cận đứng (nhánh đồ thị tiến đến vô cực khi $x\to -2$), còn đường ngang $y=1$ là tiệm cận ngang vì khi $x\to \pm \infty$, đồ thị tiến đến đường thẳng $y=1$ (đường nét đứt ngang qua mức $y=1$). Vậy tiệm cận ngang là $y=1$, khớp với đáp án C trong bảng đáp án (Mã đề 121, Câu 8: C).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{3x+2}{x+1}$ có bậc tử số bằng bậc mẫu số, nên tiệm cận ngang là $y=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{3x+2}{x+1}=3$. Vậy tiệm cận ngang là $y=3$, tương ứng đáp án C (khớp bảng đáp án mã đề 002, câu 4 = C).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=x+2-\frac{1}{x+2}$. Khi $x\to \pm \infty$, $\frac{1}{x+2}\to 0$ nên $y-(x+2)\to 0$. Vậy tiệm cận xiên là đường thẳng $y=x+2$. Đáp án B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 002, câu 5: B).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2x+3}{x-1}$ có bậc tử và bậc mẫu bằng nhau, hệ số góc của tiệm cận ngang bằng tỉ số hệ số cao nhất: $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{2x+3}{x-1}=2$. Vậy tiệm cận ngang là $y=2$. Đáp án A, trùng với đáp án của đề (đề 001, câu 4: A).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=x+4-\frac{10}{x+2}$. Khi $x\to \pm \infty$, $\frac{10}{x+2}\to 0$ nên $y-(x+4)\to 0$. Vậy tiệm cận xiên là đường thẳng $y=x+4$. Khớp với đáp án A trong đề và bảng đáp án (mã 001, câu 5: A).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x=2$ và tiệm cận ngang $y=2$ (đường tiệm cận xiên và nhánh cong đối xứng qua giao của hai tiệm cận). Tâm đối xứng của đồ thị hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất là giao điểm của hai tiệm cận, nên tâm đối xứng là $(2;2)$. Điều này khớp với đáp án D trong bảng hướng dẫn chấm (mã đề 001, câu 6: D).

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, đồ thị hàm số có đường thẳng $y=x+1$ là tiệm cận xiên (đồ thị $(C)$ tiến dần tới đường thẳng này khi $x\to \pm \infty$). Đáp án khớp với mã đề 3102, Câu 1: C.

(AI giải đề cho tôi)
Tập xác định: 4x^2-9>=0 nên x<=-3/2 hoặc x>=3/2; do đó x=1 không thuộc tập xác định và không phải tiệm cận đứng. Khi x→+∞, f(x)=√(4x²−9)/(x−1)→2; khi x→−∞, f(x)→−2. Vậy đồ thị có hai tiệm cận ngang y=2 và y=−2, không có tiệm cận đứng, tổng cộng đúng hai đường tiệm cận. Khớp đáp án nguồn: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
lim_{x→+∞} √(4x²−9)/(x−1) = lim 2x√(1−9/(4x²))/(x−1) = 2, nên y=2 là tiệm cận ngang.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tập xác định là x≤−3/2 hoặc x≥3/2, nên x=1 không thuộc tập xác định; hơn nữa lim_{x→1} f(x) không tồn tại (hàm không xác định lân cận x=1), nên x=1 không phải tiệm cận đứng.
c) (AI giải đề cho tôi)
lim_{x→−∞} √(4x²−9)/(x−1) = lim (−2x√(1−9/(4x²)))/(x−1) = −2, nên y=−2 là tiệm cận ngang.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có đúng hai tiệm cận ngang y=2, y=−2 và không có tiệm cận đứng, nên tổng cộng đúng hai đường tiệm cận.