Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tiệm cận (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng là $x=-2$ (đường thẳng đứng qua $x=-2$), tiệm cận xiên là đường thẳng đi qua $(-2;0)$ và $(0;-4)$ nên có phương trình $y=-2x-4$ (hệ số góc âm vì nhánh đồ thị đi xuống). Do đó $a=-2$, $b=-4$, $d=2$. Xét $f(x)=-2x-4-\frac{2}{x+2}$: có TCĐ $x=-2$, TCX $y=-2x-4$, và $f(0)=-4-\frac{2}{2}=-5$ khớp với đồ thị (điểm $-5$ trên trục $Oy$). Vậy: a) Sai vì TCX là $y=-2x-4$ chứ không phải $y=2x-4$; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng vì $f(0)=-5$. Kết quả khớp bảng đáp án mã 1020: S, D, D, D.
a) (AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, tiệm cận xiên đi qua $(-2;0)$ và $(0;-4)$, hệ số góc $=\frac{-4-0}{0-(-2)}=-2<0$, nên TCX là $y=-2x-4$, không phải $y=2x-4$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có đường thẳng đứng tiệm cận tại $x=-2$, nên $d=2$ và TCĐ là $x=-2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $a=-2$, $b=-4$, $d=2$ và $c=2$ (khớp nhánh đồ thị và điểm $f(0)=-5$), ta được $y=-2x-4-\frac{2}{x+2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f(0)=-2\cdot 0-4-\frac{2}{0+2}=-4-1=-5$, khớp điểm $-5$ trên trục $Oy$ trong hình.

(AI giải đề cho tôi)
Vì bậc tử bằng bậc mẫu nên ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{x-2}{x+1}=\frac{1}{1}=1$. Vậy tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là đường thẳng $y=1$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (bảng đáp án mã đề 1020, trang 13): C.

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $\frac{2x^2+x-5}{x+3}=2x-5+\frac{10}{x+3}$. Khi $x\to \pm \infty$, $\frac{10}{x+3}\to 0$ nên tiệm cận xiên là $\Delta :y=2x-5$, tức $a=2,b=-5$. Vậy $a+b=2+(-5)=-3$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 1020, câu 4: D).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: khi $x\to 1^{-}$ thì $y\to -\infty$ và khi $x\to 1^{+}$ thì $y\to +\infty$, nên $x=1$ là tiệm cận đứng (1 đường). Khi $x\to -\infty$, $y\to -3$ và khi $x\to +\infty$, $y\to 2$, nên đồ thị có hai tiệm cận ngang $y=-3$ và $y=2$. Tổng cộng $1+2=3$ đường tiệm cận. Khớp đáp án B (theo bảng đáp án chính thức, Mã đề 1020, Câu 9 = B).

Chọn D. Ta có $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }y=1\Rightarrow y=1$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Chọn C (theo thứ tự phương án trong lời giải gốc; theo đề mã 1010 là phương án B). Đồ thị hàm số có $\underset{x\to +\infty }{\lim }y=2$, $\underset{x\to -\infty }{\lim }y=-3$ và $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }y=+\infty$, $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }y=-\infty$ nên có 1 đường tiệm cận đứng là $x=1$ và hai đường tiệm cận ngang là $y=-3$; $y=2$.

a) Đúng: tiệm cận đứng $x=-2\iff x+2=0$ suy ra $d=2$.
b) Đúng: đồ thị đi qua điểm $C(0;-5)$ nên $f(0)=-5$.
c) Sai: tiệm cận xiên đi qua $A(-2;0),B(0;-4)$ nên $\{\begin{array}{l}-2a+b=0\\ b=-4\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=-2\\ b=-4\end{array}$, tiệm cận xiên là $y=-2x-4$.
d) Đúng: $y=-2x-4+\frac{c}{x+2}$ với $f(0)=-5$ suy ra $c=-2$, vậy $y=-2x-4-\frac{2}{x+2}$.
a) Đúng. Dựa vào đồ thị ta thấy tiệm cận đứng là đường thẳng $x=-2\iff x+2=0$ suy ra $d=2$.
b) Đúng. Dựa vào đồ thị ta thấy đồ thị đi qua điểm $C(0;-5)$ nên $f(0)=-5$.
c) Sai. Dựa vào đồ thị ta thấy tiệm cận xiên là đường thẳng $y=ax+b$ và đi qua hai điểm $A(-2;0),B(0;-4)$ nên ta có hệ $\{\begin{array}{l}-2a+b=0\\ b=-4\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=-2\\ b=-4\end{array}$. Suy ra tiệm cận xiên là đường thẳng $y=-2x-4$.
d) Đúng. Từ các dữ kiện trên ta có $y=-2x-4+\frac{c}{x+2}$ mà $f(0)=-5$ suy ra $c=-2$. Vậy đồ thị hàm số đã cho có dạng $y=-2x-4-\frac{2}{x+2}$.

Chọn A. Dựa vào đồ thị ta thấy đồ thị hàm số nhận đường thẳng $x=-1$ làm tiệm cận đứng, đường thẳng $y=x+1$ làm tiệm cận xiên, do đó hàm số cần tìm là $y=\frac{x^2+2x+2}{x+1}$.

Chọn C. (Lời giải gốc in ở trang 16–17 dành cho câu tương ứng trong bộ lời giải, nơi phương án chứa giá trị $-3$ được đánh dấu là A; trong đề mã 1010, giá trị $-3$ là phương án C.) Ta xét phương trình đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=\frac{2x^2+x-5}{x+3}$ có dạng $\Delta :y=ax+b$. Ta xét $$\{\begin{array}{l}a=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\frac{f(x)}{x}\right)=2\Rightarrow b=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(f(x)-ax\right)=-5\\ a=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\frac{f(x)}{x}\right)=2\Rightarrow b=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(f(x)-ax\right)=-5\end{array}$$ Vậy đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận xiên là $\Delta :y=2x-5$. Vậy $a+b=2+(-5)=-3$, tương ứng với phương án C.

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $-2x^2+7x-3=(x-1)(-2x+5)+2$, nên $y=-2x+5+\frac{2}{x-1}$. Khi $x\to \pm \infty$, $\frac{2}{x-1}\to 0$, vậy tiệm cận xiên là $y=-2x+5$, tức $a=-2$, $b=5$. Suy ra $5b-a=5\cdot 5-(-2)=27$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: khi $x\to 3^{-}$ thì $f(x)\to +\infty$ và khi $x\to 3^{+}$ thì $f(x)\to +\infty$, nên đồ thị có tiệm cận đứng $x=3$. Khi $x\to +\infty$, $f(x)\to 1$, nên đồ thị có tiệm cận ngang $y=1$. Vậy khẳng định đúng là D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, đồ thị hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ có tiệm cận đứng $x=1$ (đồ thị tiến đến vô cực khi $x\to 1$) và tiệm cận ngang $y=-1$ (đồ thị tiến đến $-1$ khi $x\to \pm \infty$; kiểm tra: đồ thị cắt trục tung tại $y=-2$ và đi qua điểm gần $(2;-1)$, phù hợp với hàm dạng $y=\frac{-x-2}{x-1}$). Vậy đường tiệm cận ngang là $y=-1$, trùng với đáp án nguồn (mã đề 201, câu 1: B).

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $\frac{3x^2-7x+4}{x-2}=3x-1+\frac{2}{x-2}$. Vậy tiệm cận xiên là $y=3x-1$. Thử các điểm: $N(-1;2)$: $3(-1)-1=-4\ne 2$; $P(2;3)$: $3(2)-1=5\ne 3$; $Q(0;1)$: $-1\ne 1$; $M(1;2)$: $3(1)-1=2$ ✓. Vậy tiệm cận xiên đi qua điểm $M(1;2)$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích nước trong bể sau $t$ phút: $V(t)=3000+20t$ (lít). Gọi $S(t)$ là khối lượng muối (gam), nồng độ nước muối bơm vào là $c$ (gam/lít) thì $S^{\prime }(t)=20c$. Vì $f(t)=\frac{S(t)}{V(t)}$ nên $$f^{\prime }(t)=\frac{S^{\prime }V-S{V}^{\prime }}{V^2}=\frac{20c\cdot (3000+20t)-20S}{(3000+20t{)}^2}=\frac{20(c-f(t))}{3000+20t}.$$ Khi $t\to \infty$, nếu $f\to 11$ thì $f^{\prime }\to 0$ nên $c=11$ (nồng độ nước muối bơm vào là 11 gam/lít). Đặt $u=11-f$: $u^{\prime }=-\frac{20u}{3000+20t}\Rightarrow u=\frac{C}{3000+20t}$. Vì $f(0)=0$ (bể chứa nước tinh khiết) nên $C=11\cdot 3000=33000$. Vậy $$f(t)=11-\frac{33000}{3000+20t}.$$ Sau 1 giờ ($t=60$): $f(60)=11-\frac{33000}{4200}=11-\frac{55}{7}=\frac{22}{7}\approx 3,14$ gam/lít. Khớp với đáp án nguồn 3,14.

(AI giải đề cho tôi)
Phép chia: $\frac{-2x^2-x+4}{x+1}=-2x+1+\frac{3}{x+1}$. Vậy tiệm cận xiên là $y=-2x+1$. Thử các điểm: $N(2;1)$: $-2\cdot 2+1=-3\ne 1$; $Q(1;-1)$: $-2\cdot 1+1=-1$ đúng; $M(1;2)$: $-1\ne 2$; $P(-1;-1)$: $1\ne -1$. Vậy tiệm cận xiên đi qua $Q(1;-1)$, khớp với đáp án nguồn B.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích nước trong bể tại thời điểm $t$ phút: $V(t)=2000+20t$ (lít) vì bể ban đầu chứa $2m^3=2000$ lít và mỗi phút bơm thêm 20 lít (không có nước chảy ra). Gọi $c$ (gam/lít) là nồng độ nước muối bơm vào. Khối lượng muối trong bể sau $t$ phút: $S(t)=20ct$ (giây phút đầu bể không có muối). Do đó $f(t)=\frac{20ct}{2000+20t}=\frac{ct}{100+t}$. Tiệm cận ngang: ${\lim }_{t\to \infty }f(t)=c=12$, vậy $f(t)=\frac{12t}{100+t}$. Sau 2 giờ ($t=120$ phút): $f(120)=\frac{12\cdot 120}{220}=\frac{1440}{220}\approx 6,5454\approx 6,55$ gam/lít, khớp với đáp án 6,55.

(AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận đứng: $x=-\frac{d}{c}$; tiệm cận ngang: $y=\frac{a}{c}$. Giao điểm của hai tiệm cận là $I\left(-\frac{d}{c};\frac{a}{c}\right)$, đây chính là tâm đối xứng của đồ thị hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất. Vậy chọn C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 2: C).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, hàm số có tiệm cận ngang $y=-1$ và đường thẳng đứng $x=1$ là tiệm cận đứng (nhánh đồ thị tiến đến vô cực khi $x\to 1$). Vậy đường tiệm cận đứng có phương trình $x=1$, đáp án B. Khớp với đáp án nguồn (Câu 5, mã đề 101: B).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{3x+1}{x+2}$ xác định khi $x+2\ne 0$, tức $x\ne -2$. Ta có ${\lim }_{x\to -2^{+}}\frac{3x+1}{x+2}=+\infty$ (hoặc $-\infty$ tùy phía), nên đường thẳng $x=-2$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Vậy đáp án đúng là D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 2102, Câu 10: D).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\frac{x^2-2x+1}{x+4}=\frac{(x-1{)}^2}{x+4}=x-6+\frac{25}{x+4}$, tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{-4\}$.
a) $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(1-\frac{6}{x}+\frac{25}{x(x+4)}\right)=1\ne -1$ → Sai.
b) Vì $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\left(f(x)-(x-6)\right)=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{25}{x+4}=0$ nên $y=x-6$ là tiệm cận xiên → Đúng.
c) Hàm số xác định khi $x+4\ne 0$, tức $D=\mathbb{R}\setminus \{-4\}$, không phải $\mathbb{R}\setminus \{4\}$ → Sai.
d) $f^{\prime }(x)=\frac{(2x-2)(x+4)-(x-1{)}^2}{(x+4{)}^2}=\frac{(x-1)(x+9)}{(x+4{)}^2}$. Trên $(-\infty ;-4)$: $f^{\prime }>0$ khi $x<-9$, $f^{\prime }<0$ khi $-9<x<-4$, cực đại $f(-9)=\frac{100}{-5}=-20$; trên $(-4;+\infty )$: $f^{\prime }<0$ khi $-4<x<1$, $f^{\prime }>0$ khi $x>1$, cực tiểu $f(1)=0$; các giới hạn vô cực tại $-4$ và $\pm \infty$ khớp bảng biến thiên → Đúng. Kết quả khớp đáp án mã đề 2102: a) S, b) Đ, c) S, d) Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2-2x+1}{x^2+4x}=1\ne -1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)=x-6+\frac{25}{x+4}$ và $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{25}{x+4}=0$ nên $y=x-6$ là tiệm cận xiên.
c) (AI giải đề cho tôi)
Điều kiện $x+4\ne 0$ nên $D=\mathbb{R}\setminus \{-4\}$, không phải $\mathbb{R}\setminus \{4\}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=\frac{(x-1)(x+9)}{(x+4{)}^2}$; cực đại tại $x=-9$ với $f(-9)=-20$, cực tiểu tại $x=1$ với $f(1)=0$, tiệm cận đứng $x=-4$; bảng biến thiên trong đề khớp hoàn toàn.