Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tiệm cận (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x^2+3}{x-2}$ có tiệm cận đứng $x=2$ và tiệm cận xiên $y=x+2$ (do $x^2+3=(x-2)(x+2)+7$). Bốn đường $x=2$, $y=x+2$, $x=0$, $y=0$ tạo thành hình thang vuông với các đỉnh $(0,0)$, $(2,0)$, $(2,4)$, $(0,2)$. Hai đáy là $2$ và $4$, chiều cao là $2$, nên $S=\frac{(2+4)\cdot 2}{2}=6$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 3102, câu 4 phần trả lời ngắn = 6).

(AI giải đề cho tôi)
[Lời giải do AI solution agent cung cấp, không có trong nguồn] Hàm số $y=\frac{x^2+3}{x-2}$ có ${\lim }_{x\to 2^{\pm }}y=\pm \infty$ nên tiệm cận đứng là $x=2$. Phép chia: $\frac{x^2+3}{x-2}=x+2+\frac{7}{x-2}$, và vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }\left(\frac{x^2+3}{x-2}-(x+2)\right)=0$ nên tiệm cận xiên là $y=x+2$. Hai tiệm cận này cùng hai trục tọa độ tạo thành hình thang vuông với các đỉnh $(0;0)$, $(2;0)$, $(2;4)$, $(0;2)$: tiệm cận xiên $y=x+2$ cắt trục tung tại $(0;2)$ và cắt đường $x=2$ tại $(2;4)$. Hai đáy song song có độ dài $4$ (trên đường $x=2$, từ $(2;0)$ đến $(2;4)$) và $2$ (trên trục tung, từ $(0;0)$ đến $(0;2)$), chiều cao bằng $2$. Diện tích $S=\frac{4+2}{2}\cdot 2=6$. Kết quả khớp với bảng đáp án nguồn (mã đề 3102, Phần III Câu 5 = 6).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=\frac{x^2-x+1}{x-1}=\frac{x(x-1)+1}{x-1}=x+\frac{1}{x-1}$. Khi $x\to \pm \infty$, $\frac{1}{x-1}\to 0$, nên ${\lim }_{x\to \pm \infty }\left[y-x\right]={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{1}{x-1}=0$. Vậy đồ thị có tiệm cận xiên $y=x$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Câu 11, mã đề 3101: B).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: khi $x\to -\infty$ thì $y\to 5$ nên đồ thị có tiệm cận ngang $y=5$. Khi $x\to 2^{-}$ thì $y\to -\infty$ và khi $x\to 3^{-}$ thì $y\to -\infty$ nên đồ thị có hai tiệm cận đứng $x=2$ và $x=3$. Khi $x\to +\infty$ thì $y\to -\infty$ (không có tiệm cận ngang bên phải). Vậy tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng là $1+2=3$. Đáp án B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 3101, câu 12: B).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: nhánh bên trái và nhánh bên phải đều tiến tới đường thẳng $y=-2$ khi $x\to \pm \infty$, nên tiệm cận ngang là $y=-2$; đồ thị tiến đến vô cực khi $x\to -1^{-}$ và $x\to -1^{+}$, nên tiệm cận đứng là $x=-1$. Đồ thị dạng hàm phân giác có tâm đối xứng là giao hai tiệm cận $I(-1;-2)$, không phải $I(1;0)$.
a) Sai: tâm đối xứng là $I(-1;-2)$, không phải $I(1;0)$.
b) Đúng: tiệm cận đứng là $x=-1$.
c) Sai: tiệm cận ngang là $y=-2$, không phải $y=0$.
d) Đúng: đồ thị có 1 tiệm cận đứng và 1 tiệm cận ngang, tổng số đường tiệm cận là 2. Kết quả khớp với đáp án nguồn (SDSD).
a) (AI giải đề cho tôi)
Tâm đối xứng của đồ thị là giao điểm của hai tiệm cận $x=-1$ và $y=-2$, tức $I(-1;-2)$, không phải $I(1;0)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị tiến đến vô cực khi $x\to -1^{\pm }$ nên tiệm cận đứng là $x=-1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Khi $x\to \pm \infty$, đồ thị tiến tới $y=-2$ nên tiệm cận ngang là $y=-2$, không phải $y=0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có 1 tiệm cận đứng ($x=-1$) và 1 tiệm cận ngang ($y=-2$), tổng cộng 2 đường tiệm cận.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng $x=-1$ nên $d=1$; tiệm cận ngang $y=2$ nên $a=2$; đồ thị đi qua $(0;1)$ nên $\frac{b}{d}=1\Rightarrow b=1$. Vậy $f(x)=\frac{2x+1}{x+1}$ (kiểm tra $ad-b=2-1=1\ne 0$). Điểm $M(a;b)$ với $a<0$ thuộc đồ thị nên $b=\frac{2a+1}{a+1}$. Tổng khoảng cách từ $M$ đến hai tiệm cận $x=-1$ và $y=2$ là $S=|a+1|+|b-2|$. Với nhánh $a<-1$ thì $b>2$, nên $S=-(a+1)+(b-2)=\frac{2a+1}{a+1}-a-3$. Có $S^{\prime }(a)=\frac{1}{(a+1{)}^2}-1=0\Rightarrow a+1=\pm 1$, kết hợp $a<-1$ ta được $a=-2$. Khi đó $b=\frac{2(-2)+1}{-2+1}=3$, và $S(-2)=1$ là giá trị nhỏ nhất (so sánh với các giá trị khác trên nhánh này $S\to +\infty$ khi $a\to -\infty$ hoặc $a\to -1^{-}$). Với nhánh $-1<a<0$ thì $b<1<2$, $S=(a+1)+(2-b)=a+3-\frac{2a+1}{a+1}$, $S^{\prime }(a)=1-\frac{1}{(a+1{)}^2}>0$ trên $(-1;0)$ nên $S$ tăng, giá trị nhỏ nhất tiệm cận $2$ khi $a\to -1^{+}$, không nhỏ hơn $1$. Vậy $a+b=-2+3=1$. Kết quả trùng với đáp án đề 3101 (câu 3 phần trả lời ngắn bằng 1).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{3x-2}{x+1}$ xác định khi $x\ne -1$. Tại $x=-1$, mẫu số bằng 0 và tử số bằng $-5\ne 0$, nên ${\lim }_{x\to -1^{\pm }}y=\pm \infty$. Vậy đường tiệm cận đứng là $x=a=-1$. Vì bậc tử bằng bậc mẫu, ta có ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=\frac{3}{1}=3$, nên đường tiệm cận ngang là $y=b=3$. Do đó $a+b=-1+3=2$, khớp với đáp án nguồn (mã đề 3101, câu 6 phần trả lời ngắn = 2).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$: tiệm cận đứng $x=-\frac{d}{c}<0$ nên $\frac{d}{c}>0$, tức $c$ cùng dấu $d$; tiệm cận ngang $y=\frac{a}{c}>0$ nên $a$ cùng dấu $c$. Suy ra $a$ cùng dấu $d$, do đó $ad>0$. Nhánh phải cắt trục $Oy$ tại điểm có tung âm: $y(0)=\frac{b}{d}<0$ nên $b$ trái dấu $d$, mà $d$ cùng dấu $c$ nên $bc<0$. Kiểm tra thêm: hàm đồng biến trên mỗi nhánh nên $y^{\prime }=\frac{ad-bc}{(cx+d{)}^2}>0\Rightarrow ad>bc$, phù hợp $ad>0>bc$. Vậy $ad>0$ và $bc<0$, đáp án D, trùng với đáp án mã đề 3101 (Câu 9 = D).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: tại $x=0$ hàm số không xác định (vạch đôi, $y\to -4$ bên trái và $y\to +\infty$ bên phải) nên đồ thị có tiệm cận đứng $x=0$. Khi $x\to -\infty$, $y\to 0$ nên có tiệm cận ngang $y=0$; khi $x\to +\infty$, $y\to 3$ nên có tiệm cận ngang $y=3$. Tổng số tiệm cận đứng và ngang là $1+2=3$. Khớp với đáp án nguồn B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, khi $x\to \pm \infty$ đồ thị tiến tới đường thẳng $y=2$ (đường màu ngang trên hình), nên tiệm cận ngang là $y=2$. Đường $x=-1$ là tiệm cận đứng. Đáp án A, khớp với bảng đáp án (mã 1002, câu 6: A).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, khi $x\to \pm \infty$ đồ thị của $y=f(x)$ tiệm cận về đường thẳng $y=2$ (đường ngang màu xanh trên hình). Đường $x=-1$ là tiệm cận đứng. Vậy tiệm cận ngang là $y=2$, khớp đáp án C trong bảng đáp án (mã đề 1001, câu 4: C).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: khi $x\to -\infty$, $y\to 0$ nên có tiệm cận ngang $y=0$; khi $x\to 0^{-}$, $y\to -\infty$ và khi $x\to 0^{+}$, $y\to +\infty$ nên có tiệm cận đứng $x=0$; khi $x\to +\infty$, $y\to 3$ nên có tiệm cận ngang $y=3$. Tổng số tiệm cận đứng và ngang là $1+2=3$. Khớp với đáp án nguồn D.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số xác định trên $\mathbb{R}\setminus \{-1;1\}$, liên tục trên mỗi khoảng xác định. Từ bảng biến thiên: khi $x\to -1^{\pm }$, $y\to \pm \infty$ (trên $(-\infty ;-1)$ hàm giảm tới $-\infty$, trên $(-1;0)$ hàm bắt đầu từ $+\infty$), nên $x=-1$ là tiệm cận đứng. Tương tự, khi $x\to 1^{\pm }$, $y\to \pm \infty$ (trên $(0;1)$ hàm giảm tới $-\infty$, trên $(1;+\infty )$ hàm bắt đầu từ $+\infty$), nên $x=1$ là tiệm cận đứng. Tại $x=0$, hàm có giá trị hữu hạn $y=-1$ và liên tục, nên $x=0$ không phải tiệm cận đứng. Vậy đồ thị có đúng 2 tiệm cận đứng là $x=-1$ và $x=1$, khớp với đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $\frac{x^2-6x+7}{x-2}=x-4+\frac{-1}{x-2}$. Khi $x\to \pm \infty$, $\frac{-1}{x-2}\to 0$ nên tiệm cận xiên là $y=x-4$, tức $a=1,b=-4$. Suy ra $2a+6b=2\cdot 1+6\cdot (-4)=2-24=-22$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (-22).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{3x+1}{x-2}$ có bậc tử bằng bậc mẫu nên có tiệm cận ngang $y=\frac{a}{c}=\frac{3}{1}=3$. Cụ thể: ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{3x+1}{x-2}={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{3+\frac{1}{x}}{1-\frac{2}{x}}=3$. Vậy tiệm cận ngang là đường thẳng $y=3$. (Đáp án mã đề 1002 câu 2 là C, khớp với kết quả.)

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị ở trang 5: nhánh bên phải của đồ thị đi xuống và tiệm cận theo đường thẳng đứng $x=1$ (tiệm cận đứng), còn khi $x\to \pm \infty$ đồ thị tiệm cận đường ngang $y=-1$ (tiệm cận ngang). Với hàm $y=\frac{ax+b}{cx+d}$, tiệm cận đứng là $x=-\frac{d}{c}=1$ và tiệm cận ngang là $y=\frac{a}{c}=-1$. Vậy đáp án là $x=1,y=-1$, khớp với đáp án nguồn (C) — bảng đáp án mã đề 1002, câu 3 cho kết quả C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{1}{x+3}=0$ nên ${\lim }_{x\to \pm \infty }\left[y-(x-2)\right]=0$. Vậy tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=x-2+\frac{1}{x+3}$ là đường thẳng $y=x-2$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (đề 1002, câu 5: A).

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x=-1$ và khi $x\to \pm \infty$, đồ thị tiệm cận đường thẳng $y=x$ (đường nét đứt đi qua gốc tọa độ $O$ với hệ số góc bằng 1, cắt trục tung tại $0$). Kiểm tra: đường $y=x$ có hệ số góc $a=1$ và $b=0$, khớp với đường tiệm cận nét đứt trong hình. Vậy tiệm cận xiên là $y=x$, đáp án D. Kết quả này trùng với đáp án nguồn (đề 1002, câu 8: D).

(AI giải đề cho tôi)
Vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{5}{x+2}=0$ nên ${\lim }_{x\to \pm \infty }\left[y-(-x)\right]={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{5}{x+2}=0$. Vậy tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=-x+\frac{5}{x+2}$ là đường thẳng $y=-x$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (đề 1001, câu 11: D).

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $\frac{x^2-5x+7}{x-3}=x-2+\frac{1}{x-3}$. Khi $x\to \pm \infty$, $\frac{1}{x-3}\to 0$ nên tiệm cận xiên là $y=x-2$, tức $a=1,b=-2$. Suy ra $3a-5b=3(1)-5(-2)=3+10=13$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (13).