Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ phẳng, tích vô hướng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng $\vec{u}\cdot \vec{v}=|\vec{u}||\vec{v}|\cos 60^{\circ }=3\cdot 4\cdot \frac{1}{2}=6$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hai vecto bằng nhau khi và chỉ khi chúng có cùng điểm đầu và cùng điểm cuối. Vì $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}$ cùng có điểm đầu là $A$, nên điểm cuối phải trùng nhau, tức $B$ trùng với $C$. Khi đó không tồn tại tam giác $ABC$ (suy biến), nên các phương án A, B, C đều sai. Đáp án đúng là D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $N$ nằm giữa $M$ và $P$ nên thứ tự các điểm là $M,N,P$ trên cùng một đường thẳng. Xét từng cặp: $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{MP}$ cùng hướng từ $M$ về phía $P$ (cùng hướng). $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{PN}$ ngược hướng. $\overrightarrow{MP}$ và $\overrightarrow{PN}$ ngược hướng. $\overrightarrow{NP}$ và $\overrightarrow{NM}$ ngược hướng. Vậy cặp vecto cùng hướng là $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{MP}$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình vuông $ABCD$: $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}$ vuông góc nên khác nhau (A sai); $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ ngược hướng nên khác nhau (B sai); $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BD}$ vuông góc nên khác nhau (C sai). Còn $|\overrightarrow{AD}|=AD$ và $|\overrightarrow{CB}|=CB$ đều bằng cạnh hình vuông, nên $|\overrightarrow{AD}|=|\overrightarrow{CB}|$ đúng. Chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình vuông $ABCD$ (đỉnh ghi theo thứ tự), ta xét từng phương án:
- A: $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BD}$ là hai vecto của hai đường chéo vuông góc với nhau, không thể bằng nhau. Sai.
- B: Vì $ABCD$ là hình vuông nên $AB=BC$, do đó $\left|\overrightarrow{AB}\right|=\left|\overrightarrow{BC}\right|$. Đúng.
- C: $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ cùng phương nhưng ngược hướng (do $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$), nên $\overrightarrow{AB}\ne \overrightarrow{CD}$. Sai.
- D: $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ vuông góc với nhau (cạnh và đường chéo), không cùng hướng. Sai.
Vậy khẳng định đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa, vecto có điểm đầu $A$ và điểm cuối $B$ được kí hiệu là $\overrightarrow{AB}$ (mũi tên hướng từ $A$ đến $B$). Phương án A chỉ là đoạn thẳng $AB$, C là độ dài vecto, D là vecto ngược hướng. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $-\overrightarrow{DG}=\overrightarrow{GD}$, nên $\vec{v}=\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{GD}+\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{GE}$ (quy tắc ba điểm). Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}$ (tính chất tổng ba vecto từ trọng tâm đến ba đỉnh). Do đó đáp án đúng là C. Các phương án A, B, D đều sai vì tổng này luôn xác định được, ba vecto $\overrightarrow{GA},\overrightarrow{GB},\overrightarrow{GC}$ không bằng nhau, và $\overrightarrow{GC}\ne \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}$ (vế phải bằng $-\overrightarrow{GC}$).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình bình hành $ABCD$ ta có $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BA}$ (vì $CD$ song song và bằng $AB$, cùng chiều với $\overrightarrow{BA}$). Do đó $\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CA}$ (quy tắc ba điểm). Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng phương án với quy tắc ba điểm và tính chất hình bình hành $ABCD$ (có $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$):
- A: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\ne \overrightarrow{CA}$, sai.
- B: $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BD}\ne \overrightarrow{AC}$, sai.
- C: $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BD}$ (vì $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$ trong hình bình hành), đúng.
- D: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}\ne \overrightarrow{CA}$, sai.
Vậy đáp án đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $I$ là trung điểm của $AB$ nên $\overrightarrow{IA}=-\overrightarrow{IB}$. Do đó $\vec{v}=\overrightarrow{IA}-\overrightarrow{IB}=-\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IB}=-2\overrightarrow{IB}=2\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{BA}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề với tam giác $ABC$:
A) $\overrightarrow{AB}+\vec{0}=\overrightarrow{AB}\ne \vec{0}$, nên A sai.
B) Theo quy tắc ba điểm: $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}\ne \overrightarrow{BA}$, nên B sai.
C) Cộng một vecto với vecto $\vec{0}$ được chính nó: $\overrightarrow{AB}+\vec{0}=\overrightarrow{AB}$, nên C đúng.
D) Theo quy tắc trừ hai vecto cùng điểm đầu: $\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{BA}\ne \overrightarrow{AB}$, nên D sai.
Vậy mệnh đề đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}$. Vì tam giác $ABC$ đều cạnh 5 nên $|\overrightarrow{BC}|=BC=5$. Vậy độ dài véc-tơ bằng 5, chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M$ là trung điểm $BC$ nên theo quy tắc trung điểm: $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)$. Vậy đáp án B. (Kiểm tra A: $\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\ne \overrightarrow{AM}$, sai.)

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình chữ nhật $ABCD$ có $AB=3$, $AD=4$, tam giác $ABC$ vuông tại $B$ với $BC=AD=4$. Theo định lý Pythagoras: $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$. Vậy $\left|\overrightarrow{AC}\right|=AC=5$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\overrightarrow{MP}=\frac{1}{4}\overrightarrow{MN}$ nên $P$ nằm trên đoạn thẳng $MN$, cùng phía với $N$ so với $M$, và $MP=\frac{1}{4}MN=\frac{1}{4}\cdot 8=2$ cm. Vậy $P$ là điểm trên đoạn $MN$ sao cho $MP=2$ cm (khi đó $PN=6$ cm). Cách dựng: từ $M$ vẽ cung tròn bán kính 2 cm cắt đoạn $MN$ tại $P$; hoặc lấy $P$ sao cho $\overrightarrow{MP}=\frac{1}{4}\overrightarrow{MN}$, tức $P$ chia đoạn $MN$ theo tỉ số $\frac{MP}{PN}=\frac{1}{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hai vectơ đối nhau khi và chỉ khi $\vec{v}=-\vec{u}$. Với $\vec{u}=(2;-1)$ thì $-\vec{u}=(-2;1)$. Xét từng phương án: A. $\vec{v}=(-1;2)\ne -\vec{u}$, sai. B. $\vec{v}=(-2;-1)\ne -\vec{u}$, sai. C. $\vec{v}=(-2;1)=-\vec{u}$, đúng. D. $\vec{v}=(2;1)\ne -\vec{u}$, sai. Vậy mệnh đề đúng là phương án C.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa tích vô hướng: $\vec{u}\cdot \vec{v}=|\vec{u}|\cdot |\vec{v}|\cdot \cos \left(\vec{u},\vec{v}\right)$. Do đó đáp án A đúng. B sai vì vế phải chứa $\vec{u}\cdot \vec{v}$ (chính nó), C dùng sin thay cos, D thiếu cos.

(AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=AB\cdot AC\cdot \cos \widehat{BAC}=8\cdot 11\cdot \cos 60^{\circ }=88\cdot \frac{1}{2}=44$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $(\vec{a}-\vec{b}{)}^2=(\vec{a}-\vec{b})\cdot (\vec{a}-\vec{b})=\vec{a}\cdot \vec{a}-\vec{a}\cdot \vec{b}-\vec{b}\cdot \vec{a}+\vec{b}\cdot \vec{b}={\vec{a}}^2+{\vec{b}}^2-2\vec{a}\cdot \vec{b}$. Do đó đáp án D. Lưu ý $\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos (\vec{a},\vec{b})$ nên phương án A sai vì viết $a^2+b^2-2\vec{a}\cdot \vec{b}\cos (\vec{a},\vec{b})$ (cos bị thừa).