Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ phẳng, tích vô hướng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ lưới ô vuông (mỗi ô 1 cm), vectơ $\overrightarrow{AB}$ nằm ngang và vectơ $\overrightarrow{CD}$ nằm dọc. Đếm theo ô lưới: $|\overrightarrow{AB}|=4$ cm và $|\overrightarrow{CD}|=3$ cm. Vậy tổng $|\overrightarrow{AB}|+|\overrightarrow{CD}|=4+3=7$ cm, khớp với đáp án của đề (mã 101, Câu 4 = 7).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình vuông $ABCD$ cạnh $a$, ta có $\widehat{BAD}=90^{\circ }$ nên $\overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{AD}$. Do đó $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}=|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{AD}|\cdot \cos 90^{\circ }=a\cdot a\cdot 0=0$. Vậy đáp án là B, trùng với bảng đáp án mã đề 101 (câu 6: B).

(AI giải đề cho tôi)
Điểm $G$ là trọng tâm tam giác $NPM$ khi và chỉ khi tổng ba vectơ từ $G$ đến ba đỉnh bằng vectơ không: $\overline{GM}+\overline{GN}+\overline{GP}=\overline{0}$. Đây là tính chất quen thuộc của trọng tâm tam giác (với $M$, $N$, $P$ là ba đỉnh). Phương án B sai vì chỉ có hai vectơ; phương án C sai vì $A$, $B$, $C$ không phải ba đỉnh của tam giác $NPM$. Lưu ý: trong đề in, phương án A và D có nội dung hiển thị giống hệt nhau ($\overline{GM}+\overline{GN}+\overline{GP}=\overline{0}$), nên về mặt toán học cả A và D đều đúng; bảng đáp án của đề (mã 1014) cho câu 10 là D, nên chọn D theo key của đề (khả năng cao phương án A bị lỗi in/chép, ví dụ gốc có thể là $\overline{MA}+\overline{NB}+\overline{PC}=\overline{0}$).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình bình hành $ABCD$, giao điểm $O$ của hai đường chéo là trung điểm mỗi đường chéo, nên $\overrightarrow{OA}=-\overrightarrow{OC}$ (hai vectơ đối nhau vì $O$ nằm giữa $A$ và $C$). Do đó đẳng thức $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OC}$ ở câu B là SAI. Kiểm tra các câu khác: $\overrightarrow{OB}=-\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{DO}$ nên A đúng; $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ (tính chất hình bình hành) nên D đúng; $\overrightarrow{CB}=-\overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DA}$ nên C đúng. Vậy đẳng thức sai là câu B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1014, câu 12: B).

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ trang 10: $\vec{a}$ và $\vec{v}$ là các vectơ nằm ngang hướng sang phải; $\vec{c}$ hướng sang trái; $\vec{u}$ và $\vec{b}$ đều hướng chéo xuống bên phải với cùng độ dốc (cùng phương, cùng chiều). Hai vectơ cùng hướng khi chúng cùng phương và cùng chiều. Trong các vectơ đã cho, chỉ có $\vec{b}$ cùng hướng với $\vec{u}$ (còn $\vec{a},\vec{v}$ tuy cùng hướng sang phải nhưng không cùng phương với $\vec{u}$, còn $\vec{c}$ ngược chiều). Vậy có đúng 1 vectơ cùng hướng với $\vec{u}$, đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vectơ có điểm đầu là $D$, điểm cuối là $E$ được kí hiệu là $\overrightarrow{DE}$ (mũi tên chỉ từ điểm đầu đến điểm cuối). Do đó đáp án đúng là D. Phương án A chỉ là đoạn thẳng $DE$, B là độ dài vectơ $\overrightarrow{DE}$, C là vectơ ngược chiều.

(AI giải đề cho tôi)
Xét vectơ $\vec{0}$: (I) sai vì vectơ $\vec{0}$ chính là vectơ có độ dài bằng 0 ($|\vec{0}|=0$). (II) sai vì vectơ $\vec{0}$ được coi là có mọi phương (nhiều phương), do đó khẳng định 'không là vectơ có nhiều phương' là sai. Vậy cả (I) và (II) đều sai, chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác đều $ABC$ cạnh $a$ nên độ dài mỗi cạnh bằng $a$. Xét các mệnh đề: A sai vì $\left|\overrightarrow{AC}\right|$ là số (bằng $a$) còn $\overrightarrow{BC}$ là vectơ, không thể so sánh bằng nhau giữa số và vectơ. B sai vì $\overrightarrow{AC}$ là vectơ còn $a$ là số. C sai vì $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ cùng độ dài nhưng khác hướng (góc giữa chúng bằng $60^{\circ }$) nên không bằng nhau. D đúng vì $\left|\overrightarrow{AB}\right|=AB=a$. Vậy đáp án là $D$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình bình hành $ABCD$ ta có $AD\parallel BC$ và $AD=BC$, hai vectơ $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{BC}$ cùng hướng (cùng đi từ cạnh $AB$ sang cạnh $DC$), do đó $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$. Các khẳng định còn lại sai: $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ không bằng nhau (khác phương, khác độ dài); $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{DB}$ là hai vectơ đối nhau trên hai đường chéo nên $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BD}\ne \overrightarrow{DB}$; $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ ngược hướng nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\ne \overrightarrow{CD}$. Vậy đáp án đúng là A.

(AI giải đề cho tôi)
Hình chữ nhật $ABCD$ có $AB=3$, $AD=4$ nên $BC=AD=4$, $CD=AB=3$. Đường chéo $AC=BD=\sqrt{3^2+4^2}=5$. Xét các đáp án: A: $|\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{BD}|=5$ — đúng (hai đường chéo hình chữ nhật bằng nhau). B: $|\overrightarrow{CD}|=3\ne |\overrightarrow{BC}|=4$ — sai. C: $|\overrightarrow{AC}|=5\ne |\overrightarrow{AB}|=3$ — sai. D: $|\overrightarrow{BD}|=5\ne 7$ — sai. Vậy đáp án đúng là A.

(AI giải đề cho tôi)
Hình chữ nhật $ABCD$ có $AB=3$, $BC=4$ nên đường chéo $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{9+16}=5$. Tâm $I$ là trung điểm đường chéo $AC$ (và $BD$), do đó $BI=\frac{BD}{2}=\frac{AC}{2}=\frac{5}{2}$. Vậy $\left|\overrightarrow{BI}\right|=\frac{5}{2}$, chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa tích vô hướng của hai véc tơ khác véc tơ không: $\vec{a}.\vec{b}=\left|\vec{a}\right|.\left|\vec{b}\right|.\cos \left(\vec{a};\vec{b}\right)$. Do đó khẳng định đúng là phương án B. Các phương án A, D thiếu hệ số cos hoặc dùng sin sai; phương án C sai vì $\left|\vec{a}.\vec{b}\right|$ là một số dương, không phải độ dài hai véc tơ.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa, hai véc tơ có cùng độ dài (độ lớn) và ngược hướng được gọi là hai véc tơ đối nhau. Ví dụ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BA}$ là hai véc tơ đối nhau. Vậy đáp án đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 29 (theo ảnh, đề ghi Câu 28 trong dữ liệu): Xét từng khẳng định với ba vectơ $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ khác vectơ-không. A đúng theo tính giao hoán của phép cộng vectơ: $\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$. B đúng theo tính kết hợp: $\left(\vec{a}+\vec{b}\right)+\vec{c}=\vec{a}+\left(\vec{b}+\vec{c}\right)$. C đúng theo tính chất của vectơ-không: $\vec{a}+\vec{0}=\vec{a}$. D sai vì $\vec{0}+\vec{a}=\vec{a}\ne \vec{0}$. Vậy khẳng định sai là D.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình bình hành $ABCD$, hai vectơ $\overrightarrow{CB}$ và $\overrightarrow{CD}$ có cùng điểm gốc $C$. Theo quy tắc hình bình hành, tổng $\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}$ bằng vectơ đi từ $C$ theo đường chéo của hình bình hành, tức là $\overrightarrow{CA}$ (vì $A$ là đỉnh đối diện với $C$). Vậy $\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CA}$, chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng khẳng định bằng quy tắc ba điểm (tổng hai vectơ liên tiếp $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$):
- A: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ đúng.
- B: $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}$ đúng.
- C: $\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{BA}$ đúng.
- D: $\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}\ne \overrightarrow{BA}$, sai.
Vậy khẳng định sai là D.

(AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp lại: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA}=\vec{0}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M$ là trung điểm của $AB$ nên $\overrightarrow{AM}=-\overrightarrow{BM}$, suy ra $\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BM}=\vec{0}$. Khẳng định B đúng. Kiểm tra các phương án khác: A sai vì $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=2\overrightarrow{IM}$ (tính chất trung điểm), không phải $\overrightarrow{AB}$; C sai vì $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=2\overrightarrow{IM}$, thiếu hệ số 2; D sai vì $\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{AB}\ne \vec{0}$. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng đẳng thức với mọi điểm $A$, $B$, $C$:
- A: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}$, không đơn giản thành $\overrightarrow{AC}$ (sai).
- B: $\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}$ theo quy tắc ba điểm (đúng).
- C: $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}$, không phải $\overrightarrow{BC}$ (sai).
- D: $\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{BA}$, không phải $\overrightarrow{AB}$ (sai).
Vậy đẳng thức luôn đúng là phương án B.

(AI giải đề cho tôi)
Khi $k<0$ thì $k\vec{a}$ ngược hướng với $\vec{a}$ (khi $\vec{a}\ne \vec{0}$), nên khẳng định C là sai. Các khẳng định A, B, D đều đúng (D là định nghĩa hai vecto cùng phương với $\vec{b}\ne \vec{0}$).