Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ phẳng, tích vô hướng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Câu 33: M là trung điểm AB nên MA + MB = 0 (a đúng). N là trung điểm CD nên NC + ND = 0 (b đúng). c) MA + AC = MC, mà MC = MN chỉ khi N trùng C, điều này không đúng chung nên c sai. d) Với M trung điểm AB, N trung điểm CD: 2MN = (MA+MB) ... tính: 2MN = 2(N - M) = (C+D) - (A+B) = (C-A) + (D-B) = AC + BD, nên d đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
M là trung điểm AB nên MA = -MB, do đó MA + MB = 0.
b) (AI giải đề cho tôi)
N là trung điểm CD nên NC = -ND, do đó NC + ND = 0.
c) (AI giải đề cho tôi)
MA + AC = MC (quy tắc ba điểm), nói chung MC khác MN vì N là trung điểm CD chứ không trùng C.
d) (AI giải đề cho tôi)
2MN = 2(N - M) = (C + D) - (A + B) = (C - A) + (D - B) = AC + BD, nên 2MN = AC + BD đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: D=(0,0), C=(1,0) (CD=1), vì hình thang cân AD=CD=1, AB=2 nên A=(-1/2, √3/2), B=(3/2, √3/2), E trung điểm AB nên E=(1/2, √3/2).
a) AB∥DC cùng chiều và AB=2CD nên $\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{DC}$. Đúng.
b) $\overrightarrow{DE}=(1/2,\sqrt{3}/2)$, $\overrightarrow{CB}=(1/2,\sqrt{3}/2)$, tức $\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{CB}$ chứ không phải $-\overrightarrow{CB}$. Sai.
c) E là trung điểm AB nên với đỉnh C: $\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{CE}$ (tính chất trung điểm). Đúng.
d) $\overrightarrow{AD}=(1/2,-\sqrt{3}/2)$ và $\overrightarrow{EC}=(1/2,-\sqrt{3}/2)$, hai vectơ bằng nhau (ADCE là hình bình hành). Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
AB song song cùng chiều DC và AB = 2CD nên $\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{DC}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với tọa độ D=(0,0), C=(1,0), A=(-1/2, √3/2), B=(3/2, √3/2), E=(1/2, √3/2): $\overrightarrow{DE}=(1/2,\sqrt{3}/2)=\overrightarrow{CB}$, nên $\overrightarrow{DE}=-\overrightarrow{CB}$ là sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
E là trung điểm AB nên với đỉnh C: $\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{CE}$ (tính chất trung điểm).
d) (AI giải đề cho tôi)
Với tọa độ trên: $\overrightarrow{AD}=(1/2,-\sqrt{3}/2)=\overrightarrow{EC}$, hai vectơ bằng nhau (ADCE là hình bình hành). Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 39: a) Trong hình bình hành ABCD, quy tắc hình bình hành cho $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ → đúng. b) Vì $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ nên $\overrightarrow{AB}+5\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})+5\overrightarrow{AC}=6\overrightarrow{AC}$ → đúng. c) và d) Vì $O$ là tâm hình bình hành nên $O$ là trung điểm của $AC$ và $BD$, do đó $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MO}$ và $\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}=2\overrightarrow{MO}$. Suy ra $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=4\overrightarrow{MO}$. Vậy c) sai, d) đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Quy tắc hình bình hành: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Thay $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ ta được $\overrightarrow{AC}+5\overrightarrow{AC}=6\overrightarrow{AC}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tổng bằng $4\overrightarrow{MO}$, không phải $\overrightarrow{MO}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$O$ trung điểm $AC$ và $BD$ nên $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MO}$, $\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}=2\overrightarrow{MO}$, tổng bằng $4\overrightarrow{MO}$.

Đáp số: 3,46.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M$ nằm trên cạnh $BC$ với $MB=2MC$ nên $\overrightarrow{BM}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}$. Ta có:
$$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}.$$
Vậy $m=\frac{1}{3}$, $n=\frac{2}{3}$, suy ra $m+n=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}=1$. Kết quả trùng với đáp số đã cho (Đáp số: 1).

(AI giải đề cho tôi)
Với trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ và $G^{\prime }$ của tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, ta có $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}$ và $\overrightarrow{G^{\prime }{A}^{\prime }}+\overrightarrow{G^{\prime }{B}^{\prime }}+\overrightarrow{G^{\prime }{C}^{\prime }}=\vec{0}$. Xét tổng: $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=(\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{G{G}^{\prime }}+\overrightarrow{G^{\prime }{A}^{\prime }})+(\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{G{G}^{\prime }}+\overrightarrow{G^{\prime }{B}^{\prime }})+(\overrightarrow{CG}+\overrightarrow{G{G}^{\prime }}+\overrightarrow{G^{\prime }{C}^{\prime }})=(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC})+(\overrightarrow{G^{\prime }{A}^{\prime }}+\overrightarrow{G^{\prime }{B}^{\prime }}+\overrightarrow{G^{\prime }{C}^{\prime }})+3\overrightarrow{G{G}^{\prime }}=3\overrightarrow{G{G}^{\prime }}$. Vậy $k=3$, trùng với đáp số 3 của nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $\vec{a}=\overrightarrow{AB}$, $\vec{u}=\overrightarrow{BC}$. Trong hình bình hành $ABCD$ có $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AB}=\vec{u}-\vec{a}$.

Ta có:
$$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}=\vec{a}+\frac{1}{3}\vec{u}.$$
$$\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}=\vec{a}+\frac{1}{4}(\vec{u}-\vec{a})=\frac{3}{4}\vec{a}+\frac{1}{4}\vec{u}.$$

Để $\overrightarrow{AE}=k\overrightarrow{AF}$ thì $\vec{a}+\frac{1}{3}\vec{u}=k\left(\frac{3}{4}\vec{a}+\frac{1}{4}\vec{u}\right)$. So sánh hệ số: $\frac{3k}{4}=1\Rightarrow k=\frac{4}{3}$ và $\frac{k}{4}=\frac{1}{3}\Rightarrow k=\frac{4}{3}$. Hai giá trị khớp nhau, vậy $k=\frac{4}{3}\approx 1,3$, khớp với đáp số nguồn 1,3.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $\vec{x}-\vec{a}+2\vec{b}-3\vec{c}=\vec{0}$ suy ra $\vec{x}=\vec{a}-2\vec{b}+3\vec{c}$. Tính tọa độ: hoành $3-2\cdot 0+3\cdot 5=18$; tung $-1-2\cdot 4+3\cdot 3=-1-8+9=0$. Vậy $\vec{x}=(18;0)$, chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $m\vec{a}+n\vec{b}=\vec{c}$ ta có hệ: $2m-3n=-4$ và $m+4n=9$. Từ phương trình thứ hai $m=9-4n$, thay vào: $2(9-4n)-3n=-4\Rightarrow 18-11n=-4\Rightarrow n=2$, suy ra $m=1$. Kiểm tra: $1\cdot (2;1)+2\cdot (-3;4)=(2-6;1+8)=(-4;9)=\vec{c}$ đúng. Vậy $m^2+n^2=1+4=5$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Tìm $m,n$ để $\vec{b}=m\vec{a}+n\vec{c}$: hệ $\{\begin{array}{l}4m+2n=-1\\ -2m+5n=-1\end{array}$. Từ phương trình đầu $m=\frac{-1-2n}{4}$, thay vào: $\frac{1+2n}{2}+5n=-1\Rightarrow 1+12n=-2\Rightarrow n=-\frac{1}{4}$, suy ra $m=\frac{-1+1/2}{4}=-\frac{1}{8}$. Vậy $\vec{b}=-\frac{1}{8}\vec{a}-\frac{1}{4}\vec{c}$, kiểm tra: $-\frac{1}{8}(4;-2)-\frac{1}{4}(2;5)=(-\frac{1}{2}+\frac{1}{2};\frac{1}{4}-\frac{5}{4})=(-1;-1)$ đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Cho $\vec{a}=(2;-2),\vec{b}=(4;1),\vec{c}=(0;-1)$.
a) $2\vec{a}-\vec{b}-3\vec{c}=(4-4-0;-4-1+3)=(0;-2)$ → đúng.
b) $\vec{e}=(1;-1)=\frac{1}{2}\vec{a}$ với $\frac{1}{2}>0$ nên cùng phương, cùng hướng → đúng.
c) $\vec{f}=\left(-1;-\frac{1}{4}\right)=-\frac{1}{4}\vec{b}$, vì $-\frac{1}{4}<0$ nên hai vectơ cùng phương nhưng ngược hướng → sai.
d) $\frac{1}{2}\vec{b}+\frac{5}{2}\vec{c}=\left(2;\frac{1}{2}-\frac{5}{2}\right)=(2;-2)=\vec{a}$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$2\vec{a}-\vec{b}-3\vec{c}=(4-4-0;-4-1+3)=(0;-2)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{e}=\frac{1}{2}\vec{a}$ với hệ số dương nên cùng phương, cùng hướng với $\vec{a}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{f}=-\frac{1}{4}\vec{b}$, hệ số âm nên hai vectơ cùng phương nhưng ngược hướng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\frac{1}{2}\vec{b}+\frac{5}{2}\vec{c}=\left(2;\frac{1}{2}-\frac{5}{2}\right)=(2;-2)=\vec{a}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hai vectơ cùng phương khi định thức bằng 0: $2(1-m^2)-(-1)(2m+2)=0$ tức $2-2m^2+2m+2=0\iff -2m^2+2m+4=0\iff m^2-m-2=0\iff (m-2)(m+1)=0$, nên $m=2$ hoặc $m=-1$. Vì $m$ dương nên $m=2$, khớp đáp số nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Hai vectơ $\vec{u}=(2m-1;3-m)$ và $\vec{v}=(2;3)$ cùng phương khi $\frac{2m-1}{2}=\frac{3-m}{3}$. Giải: $3(2m-1)=2(3-m)\Rightarrow 6m-3=6-2m\Rightarrow 8m=9\Rightarrow m=\frac{9}{8}=1,125\approx 1,13$. Kết quả trùng với đáp số nguồn 1,13.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa, $\vec{a}.\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \alpha$. Vì $\vec{a},\vec{b}\ne \vec{0}$ nên $\cos \alpha =\frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{-|\vec{a}||\vec{b}|}{|\vec{a}||\vec{b}|}=-1$. Suy ra $\alpha =180^{\circ }$. Vậy chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa tích vô hướng: $\cos \alpha =\frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{-3}{3\cdot 2}=-\frac{1}{2}$. Vì $0^{\circ }\le \alpha \le 180^{\circ }$ nên $\alpha =120^{\circ }$. Vậy chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ vuông tại $A$, góc $B=50^{\circ }$ nên góc $C=40^{\circ }$. Xét từng hệ thức:
- A: Góc giữa $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}$: góc trong tại $B$ giữa $\overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{BC}$ bằng $50^{\circ }$, mà $\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{BA}$ nên góc bằng $180^{\circ }-50^{\circ }=130^{\circ }$. Đúng.
- B: Góc trong tại $C$ giữa $\overrightarrow{CB}$ và $\overrightarrow{CA}$ bằng $40^{\circ }$; đổi dấu cả hai vectơ không đổi góc, nên $(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{AC})=40^{\circ }$. Đúng.
- C: $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CB})=180^{\circ }-(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC})=180^{\circ }-130^{\circ }=50^{\circ }$. Đúng.
- D: Góc trong tại $C$ giữa $\overrightarrow{CA}$ và $\overrightarrow{CB}$ bằng $40^{\circ }$, mà $\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{CA}$ nên $(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CB})=180^{\circ }-40^{\circ }=140^{\circ }\ne 120^{\circ }$. Sai.
Vậy hệ thức sai là D.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi cạnh hình vuông là $a$. Ta có $\overrightarrow{CA}=-\overrightarrow{AC}$, nên $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CA}=-\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$. Vì góc giữa $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ bằng $45^{\circ }$: $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=a\cdot a\cos 45^{\circ }=\frac{a^2\sqrt{2}}{2}$. Do đó $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CA}=-\frac{a^2\sqrt{2}}{2}$. Khi đó $\cos \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CA}\right)=\frac{-\frac{a^2\sqrt{2}}{2}}{a\cdot a}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$. Vậy chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ với $BC=a\sqrt{2}$ nên hai cạnh góc vuông $AB=AC=a$. Ta có $\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}=|\overrightarrow{CA}|\cdot |\overrightarrow{CB}|\cdot \cos \widehat{ACB}=a\cdot a\sqrt{2}\cdot \cos 45^{\circ }=a\cdot a\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=a^2$. (Cách khác: hình chiếu của $\overrightarrow{CA}$ trên $\overrightarrow{CB}$ có độ dài $\frac{BC}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$, và hai vectơ cùng hướng nên tích vô hướng $=\frac{a\sqrt{2}}{2}\cdot a\sqrt{2}=a^2$.) Vậy đáp án A.