Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ/tọa độ Oxyz (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
a) Trung điểm $AB=\left(\frac{1+3}{2};\frac{1+3}{2};\frac{2+0}{2}\right)=(2;2;1)$ → Đúng.
b) $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}-2\overrightarrow{OC}=(1+3-4;1+3-0;2+0-2)=(0;4;0)\ne (0;-4;0)$ → Sai.
c) $\overrightarrow{AB}=(2;2;-2)$, $\overrightarrow{AC}=(1;-1;-1)$. $\cos (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=\frac{|2-2+2|}{2\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$ → Đúng.
d) $P=M{A}^2+M{B}^2=(1+1+(c-2{)}^2)+(9+9+c^2)=2c^2-4c+24=2(c-1{)}^2+22$ đạt nhỏ nhất tại $c=1\ne -1$ → Sai.
Kết quả khớp đáp án mã đề 611: a)Đ − b)S − c)Đ − d)S.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trung điểm AB = ((1+3)/2;(1+3)/2;(2+0)/2) = (2;2;1).
b) (AI giải đề cho tôi)
OA+OB−2OC = (0;4;0), không phải (0;−4;0).
c) (AI giải đề cho tôi)
AB=(2;2;−2), AC=(1;−1;−1), cos = 2/(2√3·√3) = 1/3.
d) (AI giải đề cho tôi)
P = 2c²−4c+24 = 2(c−1)²+22 nhỏ nhất tại c = 1, không phải c = −1.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, do $A{A}^{\prime }\parallel C{C}^{\prime }$ và $A{A}^{\prime }=C{C}^{\prime }$ nên $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{C{C}^{\prime }}$. Do đó $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{C{C}^{\prime }}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ (quy tắc ba điểm). Vậy phát biểu C đúng. Các phương án khác sai: A sai vì $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$ không bằng $\overrightarrow{AD}$; B sai vì $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ (không phải $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$); D sai vì $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ (không phải $\overrightarrow{AC}$). Kết quả khớp với đáp án nguồn: C.

(AI giải đề cho tôi)
a) Trung điểm AB: ((1+3)/2;(1+3)/2;(2+0)/2)=(2;2;1) → Đúng.
b) OA+OB−2OC = (1+3−4; 1+3−0; 2+0−2) = (0;4;0) ≠ (0;−4;0) → Sai.
c) AB=(2;2;−2), AC=(1;−1;−1); cos = |AB·AC|/(|AB||AC|) = |2−2+2|/(√12·√3) = 2/6 = 1/3 → Đúng.
d) MA² = 1+1+(c−2)² = c²−4c+6; MB² = 9+9+c² = c²+18; P = 2c²−4c+24, đạt min tại c = 4/(2·2) = 1 ≠ −1 → Sai. Kết quả khớp đáp án nguồn a)Đ b)S c)Đ d)S.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trung điểm AB = ((1+3)/2;(1+3)/2;(2+0)/2) = (2;2;1).
b) (AI giải đề cho tôi)
OA+OB−2OC = (1+3−4; 1+3−0; 2+0−2) = (0;4;0), không phải (0;−4;0).
c) (AI giải đề cho tôi)
AB=(2;2;−2), AC=(1;−1;−1); cos = |2−2+2|/(√12·√3) = 2/6 = 1/3.
d) (AI giải đề cho tôi)
P = MA²+MB² = (c²−4c+6)+(c²+18) = 2c²−4c+24, đạt min tại c = 1 ≠ −1.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ là hình hộp nên $ABCD$ là hình bình hành, do đó $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$, tức $C-A=(B-A)+(D-A)$, suy ra $A+C=B+D$ (1).
Mặt khác $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{C{C}^{\prime }}$ nên $A^{\prime }-A=C^{\prime }-C$, suy ra $C=C^{\prime }-A^{\prime }+A$. Thay vào (1):
$A+(C^{\prime }-A^{\prime }+A)=B+D\Rightarrow 2A=B+D+A^{\prime }-C^{\prime }$.
Tính: $B+D=(2+1;1+(-1);2+1)=(3;0;3)$; $A^{\prime }-C^{\prime }=(3-4;5-5;-6-(-5))=(-1;0;-1)$.
Vậy $2A=(3-1;0;3-1)=(2;0;2)\Rightarrow A(1;0;1)$.
Thử lại: $C=B+D-A=(3;0;3)-(1;0;1)=(2;0;2)$, khi đó $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=(2;5;-7)$ và $C+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=(4;5;-5)=C^{\prime }$ đúng. Chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn $A$ làm gốc: $\overrightarrow{AB}=\vec{b},\overrightarrow{AC}=\vec{c},\overrightarrow{AD}=\vec{d}$. Vì $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$ nên $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}(\vec{b}+\vec{c}+\vec{d})$. Vì $M$ là trung điểm $AD$ nên $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\vec{d}$. Suy ra $\overrightarrow{MG}=\overrightarrow{AG}-\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}\vec{b}+\frac{1}{3}\vec{c}+\frac{1}{3}\vec{d}-\frac{1}{2}\vec{d}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{6}\overrightarrow{AD}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=(20-(-3);-8-5;13-15)=(23;-13;-2)$ và $\overrightarrow{AC}=(22-(-3);-37-5;18-15)=(25;-42;3)$.

Suy ra $3\overrightarrow{AB}=(69;-39;-6)$, $5\overrightarrow{AC}=(125;-210;15)$.

Vậy $\vec{u}=3\overrightarrow{AB}-5\overrightarrow{AC}=(69-125;-39+210;-6-15)=(-56;171;-21)$.

Đáp án A.

Xét A: Ta có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\vec{0}$ (vì $ABCD$ là hình bình hành). Tương tự $\overrightarrow{B{C}_1}+\overrightarrow{D_{1}A}=\overrightarrow{A{D}_1}+\overrightarrow{D_{1}A}=\vec{0}$ (vì $AB{C}_1{D}_1$ là hình bình hành). Vậy tổng bằng $\vec{0}$ là Đúng.

Xét B: Vế trái (VT) $=\overrightarrow{A{C}_1}$. Vế phải (VP) $=\overrightarrow{A{C}_1}$ (theo quy tắc cộng nối tiếp). Vậy VT = VP là Đúng.

Xét C: Đây là quy tắc hình hộp cơ bản. Vậy Đúng.

Xét D: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A{A}_1}=\overrightarrow{A{B}_1}$. Trong khi đó $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{D{D}_1}=\overrightarrow{A{D}_1}$. Hai vectơ $\overrightarrow{A{B}_1}$ và $\overrightarrow{A{D}_1}$ không bằng nhau trong một hình hộp tổng quát. Vậy đây là đẳng thức Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{A^{\prime }M}$. Vì $M$ là trung điểm $B^{\prime }{C}^{\prime }$ nên $\overrightarrow{A^{\prime }M}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}+\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})=\frac{1}{2}\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{c}$. Vậy $\overrightarrow{AM}=\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{c}$, tương ứng phương án C.

(AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=3\cdot (-2)+1\cdot 6+4\cdot 0=-6+6+0=0$. Vì tích vô hướng bằng 0 nên hai vectơ vuông góc, suy ra góc $BAC=90^{\circ }$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
G là trọng tâm tam giác $BCD$ nên $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\vec{0}$. Với điểm $A$ bất kỳ, ta có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{AG}$ (tính chất trọng tâm), suy ra $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}\right)$. Vậy đáp án $D$. Kiểm tra các phương án khác: $A$ sai hệ số; $B$ sai vì vế trái bằng $\vec{0}$; $C$ sai vì $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\vec{0}\ne \overrightarrow{GA}$ (trừ trường hợp $A$ trùng $G$).

(AI giải đề cho tôi)
Điểm đối xứng qua trục $Ox$ giữ nguyên hoành độ và đổi dấu hai tọa độ còn lại: $A(3;2;1)\mapsto (3;-2;-1)$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt cạnh hình lập phương bằng 1, chọn hệ trục $A(0;0;0),B(1;0;0),C(1;1;0),D(0;1;0),A^{\prime }(0;0;1),D^{\prime }(0;1;1),C^{\prime }(1;1;1)$. Khi đó $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}=(1;1;0)$, $\overrightarrow{A{D}^{\prime }}=(0;1;1)$. Vậy $\cos ((A^{\prime }{C}^{\prime },A{D}^{\prime }))=\frac{|1\cdot 0+1\cdot 1+0\cdot 1|}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}=\frac{1}{2}$, suy ra góc $(A^{\prime }{C}^{\prime },A{D}^{\prime })=60^{\circ }$. Kết quả trùng với đáp án B đã cho.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn gốc $O$ tại trung điểm của $AD$ (theo hình vẽ), trục $Ox$ hướng theo $AB$ (qua $M$), trục $Oy$ hướng theo $AD$, trục $Oz$ hướng lên. Khi đó $A\left(0;-\frac{a}{2};0\right)$, $D\left(0;\frac{a}{2};0\right)$. Tam giác $SAD$ đều cạnh $a$ nằm trong mặt phẳng $(SAD)\perp (ABCD)$, nên chân đường cao của tam giác là trung điểm $O$ của $AD$ và $SO=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Vì $S$ nằm trên trục $Oz$ nên $S\left(0;0;\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Hình bình hành ABCD có $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$. Ta có $\overrightarrow{AB}=(-3;-1;1)$. Gọi $D(x;y;z)$ thì $\overrightarrow{DC}=(4-x;-2-y;3-z)$. Suy ra $4-x=-3\Rightarrow x=7$; $-2-y=-1\Rightarrow y=-1$; $3-z=1\Rightarrow z=2$. Vậy $D(7;-1;2)$. Kiểm tra: $D=A+C-B=(2+4-(-1);4+(-2)-3;-3+3-(-2))=(7;-1;2)$, khớp đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=B-A=(-1-3;3-2;2-1)=(-4;1;1)$ và $\overrightarrow{AC}=C-A=(2-3;4-2;-3-1)=(-1;2;-4)$. Tích vô hướng: $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=(-4)(-1)+1\cdot 2+1\cdot (-4)=4+2-4=2$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Tính tích có hướng $[\vec{u},\vec{v}]$ với $\vec{u}=(4;3;4)$, $\vec{v}=(2;-1;2)$: thành phần thứ nhất $3\cdot 2-4\cdot (-1)=10$; thành phần thứ hai $4\cdot 2-4\cdot 2=0$; thành phần thứ ba $4\cdot (-1)-3\cdot 2=-10$. Vậy $[\vec{u},\vec{v}]=(10;0;-10)$. Nhân vô hướng với $\vec{w}=(1;2;1)$: $10\cdot 1+0\cdot 2+(-10)\cdot 1=0$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác MNP vuông tại M khi $\overrightarrow{MN}\cdot \overrightarrow{MP}=0$. Ta có $\overrightarrow{MN}=(-3;-2;2)$, $\overrightarrow{MP}=(-2;m-3;1)$. Tích vô hướng: $(-3)(-2)+(-2)(m-3)+2\cdot 1=6-2m+6+2=14-2m=0\Rightarrow m=7$. Vậy chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ta có $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ (vì $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$). Vậy $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ là khẳng định đúng. Các phương án khác sai: A sai vì $\overrightarrow{AC}$ không phải cạnh của hình hộp xuất phát từ A theo ba hướng; C sai vì tổng cho $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ chứ không phải $\overrightarrow{AC}$; D sai vì tổng khác $\vec{0}$.

(AI giải đề cho tôi)
Tứ diện đều ABCD cạnh 2 nên góc giữa AB và AC là 60°. Ta có CA = -AC, do đó AB·CA = -AB·AC = -(AB·AC) = -(2·2·cos60°) = -2. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Hình bình hành $ABCD$ có $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, tức $B-A=C-D$, suy ra $D=B+C-A=(1+2-3;0+3-1;1+0-2)=(0;2;-1)$. Vậy chọn đáp án B.