Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ/tọa độ Oxyz (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.EFGH$ cạnh 2, ta có $\overrightarrow{EH}=\overrightarrow{AD}$ (vì $EH$ song song và cùng chiều với $AD$). Do đó $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{EH}=\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AD}$. Trong hình vuông $ABCD$ cạnh 2: $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$, nên $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}+{\overrightarrow{AD}}^2=0+2^2=4$ (vì $AB\perp AD$). Vậy $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{EH}=4$.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $MNP$ vuông tại $N$ nên $\overrightarrow{NM}\cdot \overrightarrow{NP}=0$. Ta có $\overrightarrow{NM}=(2-(-1);3-1;-1-1)=(3;2;-2)$ và $\overrightarrow{NP}=(1-(-1);m-1-1;2-1)=(2;m-2;1)$. Tích vô hướng: $3\cdot 2+2(m-2)+(-2)\cdot 1=6+2m-4-2=2m=0$, suy ra $m=0$. Kiểm tra: với $m=0$, $P(1;-1;2)$, $\overrightarrow{NP}=(2;-2;1)$, $\overrightarrow{NM}\cdot \overrightarrow{NP}=6-4-2=0$ đúng, và $M,N,P$ không thẳng hàng nên tam giác tồn tại.

(AI giải đề cho tôi)
Góc giữa hai vectơ là góc tù khi $\vec{a}\cdot \vec{b}<0$. Ta có $\vec{a}\cdot \vec{b}=5m+3(-1)+(-2)(m+3)=5m-3-2m-6=3m-9$. Điều kiện $3m-9<0\iff m<3$. Vì $m$ nguyên dương nên $m\in \{1;2\}$, có 2 giá trị.

(AI giải đề cho tôi)
Véctơ chuyển động trong 20 phút: $\overrightarrow{MN}=(800-500;300-200;10-8)=(300;100;2)$. Vì vận tốc và hướng không đổi, trong 5 phút tiếp theo máy bay đi thêm $\frac{5}{20}=\frac{1}{4}$ quãng đường, tức dịch chuyển thêm vectơ $\frac{1}{4}\overrightarrow{MN}=(75;25;0,5)$. Vậy tọa độ mới là $(a;b;c)=(875;325;10,5)$. Do đó $a+b+c=875+325+10,5=1210,5$ và $\frac{a+b+c}{2025}=\frac{1210,5}{2025}\approx 0,5978\approx 0,6$ (làm tròn đến hàng phần chục).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=(1;8;0)$, $\overrightarrow{MB}=(2-a;5-b;1-c)$, $\overrightarrow{MA}=(1-a;-3-b;1-c)$. Khi đó $3\overrightarrow{MB}-2\overrightarrow{MA}=(4-a;21-b;1-c)$. Suy ra $4-a=4\Rightarrow a=0$; $21-b=32\Rightarrow b=-11$; $1-c=0\Rightarrow c=1$. Vậy $a+b+c=0-11+1=-10$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Với $I$ là trung điểm $AB$, $J$ là trung điểm $CD$, ta có $\overrightarrow{IJ}=\vec{J}-\vec{I}=\frac{\vec{C}+\vec{D}-\vec{A}-\vec{B}}{2}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{AB})$. Do đó C và D đúng. Xét B: $\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{DB}$; đặt $\vec{A}=\vec{0},\vec{B}=\vec{b},\vec{C}=\vec{c},\vec{D}=\vec{d}$ thì tổng bằng $\vec{c}-\vec{d}+\vec{d}+(\vec{d}-\vec{b})=\vec{c}+\vec{d}-\vec{b}$, nên $\frac{1}{2}(\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BD})=\overrightarrow{IJ}$, tức B đúng. Xét A: $\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AB}$ (vì $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{AB}$), mà $\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{DC}$ nên biểu thức này bằng $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=-2\overrightarrow{IJ}\ne 2\overrightarrow{IJ}$ (nói chung). Vậy đẳng thức A sai.

(AI giải đề cho tôi)
Lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có AB = a, AA' = a√2, cạnh bên vuông góc với đáy, tam giác đáy đều.
a) Sai: CC' vuông góc với mặt đáy nên CC' ⊥ AB, do đó AB·CC' = 0 ≠ a²√2.
b) Đúng: AB'² = AB² + BB'² = a² + 2a² = 3a² nên |AB'| = a√3; tương tự BC'² = BC² + CC'² = a² + 2a² = 3a² nên |BC'| = a√3.
c) Sai: B'C' cùng phương với BC, góc giữa AB và BC trong tam giác đều là 120°, nên góc giữa hai vectơ (AB, B'C') = 120°, không phải 60°.
d) Đúng: AB' = AB + BB' = AB + CC' (vì BB' = CC').
a) (AI giải đề cho tôi)
CC' vuông góc với đáy nên CC' ⊥ AB, suy ra AB·CC' = 0 ≠ a²√2.
b) (AI giải đề cho tôi)
|AB'|² = AB² + BB'² = a² + 2a² = 3a² ⇒ |AB'| = a√3; tương tự |BC'| = a√3.
c) (AI giải đề cho tôi)
B'C' cùng phương BC, góc giữa AB và BC bằng 120° nên góc giữa hai vectơ là 120°.
d) (AI giải đề cho tôi)
AB' = AB + BB' = AB + CC' vì BB' = CC'.

(AI giải đề cho tôi)
Đường chéo hình hộp: $A{C}^{\prime }=\sqrt{A{B}^2+A{D}^2+A{A}^{\prime 2}}=\sqrt{12^2+4^2+6^2}=\sqrt{196}=14$ m. Vậy chiều dài sợi dây cáp là 14 m.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ta có $\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{BC}$ (vì $B^{\prime }{C}^{\prime }\parallel BC$ và cùng chiều). Mặt khác $AB\perp BC$ nên $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=0$, tức góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}$ bằng $90^{\circ }$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Ba lực có phương đôi một vuông góc nhau, nên đặt hệ trục toạ độ sao cho $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{F_3}$ lần lượt dọc theo ba trục. Hợp lực $\vec{F}=\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}$ có độ lớn: $$F=\sqrt{F_1^2+F_2^2+F_3^2}=\sqrt{5^2+10^2+6^2}=\sqrt{25+100+36}=\sqrt{161}\approx 12,7\text{ N}.$$ Vậy độ lớn hợp lực của ba lực là $12,7$ N.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $N$ là trung điểm $BM$: $\overrightarrow{AN}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AM})$. Vì $M$ là trung điểm $CD$: $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD})$. Suy ra $\overrightarrow{AN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AD}$, tức $x=\frac{1}{2},y=\frac{1}{4},z=\frac{1}{4}$. Vậy $P=3\cdot \frac{1}{2}+2\cdot \frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}=2,25$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A_1{B}_1{C}_1{D}_1$, theo quy tắc hình bình hành tại $B$ ta có $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BD}$. Suy ra $\overrightarrow{B{B}_1}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{B{B}_1}+\overrightarrow{BD}$. Vì $B{B}_1{D}_{1}D$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{B{B}_1}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{B{D}_1}$ (quy tắc ba điểm). Vậy $\overrightarrow{B{B}_1}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{B{D}_1}$, khẳng định đúng là A. Kết quả này trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{A{D}^{\prime }}=\overrightarrow{B{C}^{\prime }}$ (do $AD{C}^{\prime }{B}^{\prime }$... thực chất $A{D}^{\prime }\parallel B{C}^{\prime }$ và bằng nhau vì là hai cạnh đối song song của hình lập phương). Do đó $\vec{x}=\overrightarrow{A{B}^{\prime }}+\overrightarrow{B{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$. Vecto $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ là đường chéo của hình lập phương cạnh $2a$ nên $|\vec{x}|=|A{C}^{\prime }|=2a\sqrt{3}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Tứ diện đều $SABC$ cạnh $a$ nên $SA=SB=AB=a$, do đó tam giác $SAB$ đều và góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{SA}$ và $\overrightarrow{SB}$ bằng góc $\widehat{ASB}=60^{\circ }$. Khi đó $\overrightarrow{SA}\cdot \overrightarrow{SB}=|\overrightarrow{SA}|\cdot |\overrightarrow{SB}|\cos 60^{\circ }=a\cdot a\cdot \frac{1}{2}=\frac{a^2}{2}$. Vậy đáp án đúng là C, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$ của hình bình hành $ABCD$. Khi đó $O$ là trung điểm của cả $AC$ và $BD$, nên $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\vec{0}$ và $\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}=\vec{0}$. Với đỉnh $S$ bất kỳ, ta có $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SC}=2\overrightarrow{SO}$ và $\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SD}=2\overrightarrow{SO}$. Vậy $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SD}$, khẳng định A đúng. Các khẳng định B, C, D sai vì tổng bốn vecto $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SC}+\overrightarrow{SD}=4\overrightarrow{SO}\ne \vec{0}$ (do $S$ không trùng $O$).

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ tọa độ $A(0;0;0)$, $B(1;0;0)$, $C(1;1;0)$, $A^{\prime }(0;0;1)$, $B^{\prime }(1;0;1)$. Khi đó $\overrightarrow{A^{\prime }C}=(1;1;-1)$, $\overrightarrow{B^{\prime }B}=(0;0;-1)$. Tích vô hướng: $\overrightarrow{A^{\prime }C}\cdot \overrightarrow{B^{\prime }B}=1$. Độ dài: $|\overrightarrow{A^{\prime }C}|=\sqrt{3}$, $|\overrightarrow{B^{\prime }B}|=1$. Vậy $\cos (\overrightarrow{A^{\prime }C},\overrightarrow{B^{\prime }B})=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: A(0,0,0), B(2a,0,0), D(0,√3a,0), A1(0,0,4a). a) A1D=(0,√3a,-4a), CB1=B1-C=(0,-√3a,4a), tổng bằng 0 nên khẳng định ≠0 là SAI. b) AA1+AB+AD=AC1 đúng theo quy tắc hình hộp — ĐÚNG. c) |AB+AD|=|AC|=√(4a²+3a²)=√7a — ĐÚNG. d) AB+B1C1+AA1=AB+BC+AA1=AC1, độ dài √(4+3+16)a=√23a ≠ √7a — SAI.
a) (AI giải đề cho tôi)
A1D+CB1 = (0,√3a,-4a)+(0,-√3a,4a) = 0, nên khẳng định A1D+CB1 ≠ 0 là sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Theo quy tắc hình hộp: AA1+AB+AD = AC1, đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
AB+AD = AC với AC² = AB²+AD² = 4a²+3a² = 7a², nên |AB+AD| = √7a, đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
B1C1 = BC nên AB+B1C1+AA1 = AC1, độ dài √(4a²+3a²+16a²) = √23a ≠ √7a, sai.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai. Với G là trọng tâm tam giác ABCD (chính là tâm O của hình vuông), ta có $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SC}+\overrightarrow{SD}=4\overrightarrow{SO}$, không phải $\overrightarrow{SO}$.
b) Sai. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Khi đó $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}=2\overrightarrow{SM}$ và $\overrightarrow{SC}+\overrightarrow{SD}=2\overrightarrow{SN}$. Vì M khác N nên hai tổng vectơ không bằng nhau. (Cũng có thể thấy $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}=\overrightarrow{SC}+\overrightarrow{SD}\iff \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\vec{0}$, mà $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}$ với $\overrightarrow{BD}=-\overrightarrow{DB}$, và $\overrightarrow{AC}\ne \overrightarrow{DB}$ vì hai đường chéo vuông góc nên không đối nhau.)
c) Đúng. ABCD là hình vuông nên hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau, do đó góc giữa $\overrightarrow{BD}$ và $\overrightarrow{AC}$ bằng $90^{\circ }$.
d) Sai. Trong hình vuông ABCD, $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ cùng phương nhưng ngược hướng ($\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{DC}$), nên hai vectơ không bằng nhau.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tổng bốn vectơ bằng $4\overrightarrow{SO}$ vì O là trọng tâm của tứ giác đều đáy, không bằng $\overrightarrow{SO}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}=2\overrightarrow{SM}$ với M trung điểm AB, còn $\overrightarrow{SC}+\overrightarrow{SD}=2\overrightarrow{SN}$ với N trung điểm CD; vì M ≠ N nên hai vế không bằng nhau.
c) (AI giải đề cho tôi)
ABCD là hình vuông nên hai đường chéo AC và BD vuông góc, góc giữa hai vectơ bằng $90^{\circ }$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ ngược hướng nên $\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{CD}$, hai vectơ không bằng nhau.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ (quy tắc hình hộp với ba cạnh $AB,AD,A{A}^{\prime }$ đôi một vuông góc, độ dài mỗi vectơ bằng $a$). Do đó $\vec{x}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+2\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$. Vì ba vectơ này đôi một vuông góc nên $|\vec{x}{|}^2=|\overrightarrow{AB}{|}^2+|\overrightarrow{AD}{|}^2+4|\overrightarrow{A{A}^{\prime }}{|}^2=a^2+a^2+4a^2=6a^2$, suy ra $|\vec{x}|=a\sqrt{6}$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $G^{\prime }$ là trọng tâm tam giác $ABC$ (tức hình chiếu của $G$ xuống đáy). Vì lăng trụ nên $\overrightarrow{G{G}^{\prime }}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\vec{a}$. Ta có $\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{A^{\prime }G}$ với $\overrightarrow{A^{\prime }G}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}+\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }})=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})=\frac{1}{3}(\vec{b}+\vec{c})$ (do $A^{\prime }{B}^{\prime }\parallel AB$, $A^{\prime }{C}^{\prime }\parallel AC$ và cùng hướng). Vậy $\overrightarrow{AG}=\vec{a}+\frac{1}{3}(\vec{b}+\vec{c})$. Đáp án A.