Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ/tọa độ Oxyz (Toán học Lớp 12)

Các khoảng cách giữa mỗi cặp drone giao hàng là:
$$d_1=AB=\sqrt{(5-1{)}^2+(7-1{)}^2+(9-1{)}^2}=2\sqrt{29}.$$ (0,25 điểm)
$$d_2=BC=\sqrt{(9-5{)}^2+(11-7{)}^2+(4-9{)}^2}=\sqrt{57}.$$ (0,25 điểm)
$$d_3=AC=\sqrt{(9-1{)}^2+(11-1{)}^2+(4-1{)}^2}=\sqrt{173}.$$ (0,25 điểm)
Suy ra $d_1+d_2+d_3=2\sqrt{29}+\sqrt{57}+\sqrt{173}\approx 31,5.$ (0,25 điểm)

Trả lời: 3,82. $$\overrightarrow{AB}=(1;-3;4)\Rightarrow AB=\sqrt{1^2+(-3{)}^2+4^2}=\sqrt{26}$$ Thời gian Drone bay từ vị trí ban đầu $A$ đến địa điểm giao hàng $B$ là: $$t=\frac{\sqrt{26}}{80}.60=\frac{3\sqrt{26}}{4}\approx 3,82\text{ (phuˊt)}$$

(AI giải đề cho tôi)
Hình hộp chữ nhật: A(0;0;0), B(7;0;0), D(0;10;0), A'(0;0;7), suy ra C(7;10;0), C'(7;10;7).
a) M(7/2;5;7): MA² = (7/2)²+5²+7² = 49/4+25+49 = 285/4; MB² = (−7/2)²+5²+7² = 285/4; MC² = (−7/2)²+(−5)²+7² = 285/4; MD² = (7/2)²+(−5)²+7² = 285/4. Vậy M cách đều A, B, C, D → Đúng.
b) AC' = C' − A = (7;10;7) → Đúng.
c) DD' = (0;0;7), nên AC'·DD' = 7·7 = 49 ≠ 7 → Sai.
d) Tâm hình hộp là trung điểm AC': (7/2; 5; 7/2) → Đúng.
Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 1925: D D S D.
a) (AI giải đề cho tôi)
MA² = MB² = MC² = MD² = 285/4 nên M cách đều A, B, C, D.
b) (AI giải đề cho tôi)
AC' = (7−0; 10−0; 7−0) = (7;10;7).
c) (AI giải đề cho tôi)
DD' = (0;0;7) nên AC'·DD' = 0+0+49 = 49 ≠ 7.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tâm là trung điểm AC': (7/2; 5; 7/2).

Đáp án theo bảng đáp án mã đề 1925: 3.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ta có quy tắc ba điểm/hình bình hành: $\overrightarrow{D{B}^{\prime }}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{A{B}^{\prime }}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}$. Vì $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ và $\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{D{D}^{\prime }}$, suy ra $\overrightarrow{D{B}^{\prime }}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{D{D}^{\prime }}$. Kiểm tra các phương án: A sai vì $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ (không phải $\overrightarrow{AC}$); B đúng như trên; C sai vì $\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}$ (không có $\overrightarrow{D{D}^{\prime }}$); D sai vì $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ chứ không phải $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}$. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Ba lực căng $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{F_3}$ đôi một vuông góc và cùng độ lớn 15 N. Cân bằng lực: $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}+\overrightarrow{P}=\overrightarrow{0}$, nên $|\overrightarrow{P}|=|\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}|=\sqrt{15^2+15^2+15^2}=15\sqrt{3}\approx 25,98\approx 26$ (N).

(AI giải đề cho tôi)
Cho A(4;0;2), B(2;2;3), C(5;2;0).
a) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}=(\vec{B}-\vec{A})+(\vec{A}-\vec{C})=\vec{B}-\vec{C}=\overrightarrow{CB}$ → đúng.
b) Nếu ABCD là hình bình hành thì $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$, tức $D=A+C-B=(7;0;-1)$, tung độ (hoành độ y) của D bằng 0 (còn z = −1), không bằng 4 → sai.
c) $\overrightarrow{AB}=(-2;2;1)$. K thuộc đường thẳng AB: $K=A+t\overrightarrow{AB}$, từ x: $4-2t=-2\Rightarrow t=3$, suy ra $y=6,z=5$, khi đó $y-z=1$ → đúng.
d) Tâm đường tròn ngoại tiếp I(a;b;c) thỏa IA=IB=IC và nằm trong mặt phẳng (ABC). Từ IA²=IB²: $4a-4b-2c=3$; từ IA²=IC²: $2a+4b-4c=9$; mặt phẳng (ABC) có pháp tuyến $\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=(-6;-3;-6)$, phương trình $2x+y+2z=12$, tức $2a+b+2c=12$. Giải hệ được $a=3,5;b=2;c=1,5$, nên $a+b+c=7$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}=\vec{B}-\vec{A}+\vec{A}-\vec{C}=\vec{B}-\vec{C}=\overrightarrow{CB}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hình bình hành ABCD: $D=A+C-B=(7;0;-1)$, tung độ của D bằng 0 (z = −1), không bằng 4.
c) (AI giải đề cho tôi)
$K=A+t(-2;2;1)$, từ x = −2 được t = 3, suy ra y = 6, z = 5, nên y − z = 1.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giải hệ IA=IB, IA=IC và I thuộc mặt phẳng (ABC): $2x+y+2z=12$, được I(3,5; 2; 1,5), nên a+b+c = 7.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $\overrightarrow{OC}=-2\vec{j}+\vec{k}$ ta có $C(0;-2;1)$. Hình chiếu vuông góc của $C$ trên trục $Ox$ là điểm có tọa độ $(x_C;0;0)=(0;0;0)$, chính là gốc tọa độ $O$ (vì $C$ nằm trong mặt phẳng $Oyz$). Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì máy bay giữ nguyên tốc độ và hướng, trong 10 phút tiếp theo vectơ dịch chuyển bằng $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AB}=(940-800;550-500;8-7)=(140;50;1)$. Suy ra $D=B+\overrightarrow{AB}=(940+140;550+50;8+1)=(1080;600;9)$. Vậy $x-y-z=1080-600-9=471$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\vec{u}=\overrightarrow{SA}-\overrightarrow{SB}=\overrightarrow{BA}$. Vì hình chóp $S.ABCD$ có tất cả các cạnh bằng $2\sqrt{3}$ nên $AB=2\sqrt{3}$, do đó $|\vec{u}|=AB=2\sqrt{3}$. Vậy chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $A,B,C$ thẳng hàng nên $\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AB}$. Ta có $\overrightarrow{AB}=(2;-6;2)$, $\overrightarrow{AC}=(x+1;y-2;4)$. Từ tung độ: $4=2k\Rightarrow k=2$. Suy ra $x+1=4\Rightarrow x=3$; $y-2=-12\Rightarrow y=-10$. Vậy $P=4x+y=12-10=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Với $\vec{a}=(2;1;0)$, $\vec{b}=(1;1;2)$: a) $\vec{a}+\vec{b}=(2+1;1+1;0+2)=(3;2;2)$ → Đúng. b) $\vec{a}-3\vec{b}=(2-3;1-3;0-6)=(-1;-2;-6)$, nên $|\vec{a}-3\vec{b}|=\sqrt{1+4+36}=\sqrt{41}$ → Đúng. c) $\vec{a}\cdot \vec{b}=2\cdot 1+1\cdot 1+0\cdot 2=3\ne -3$ → Sai. d) $|\vec{a}|=\sqrt{5}$, $|\vec{b}|=\sqrt{6}$, nên $\cos (\vec{a},\vec{b})=\frac{3}{\sqrt{5}\sqrt{6}}=\frac{3}{\sqrt{30}}=\frac{\sqrt{30}}{10}$ → Đúng. Kết quả khớp đáp án chính thức mã đề 0102: ĐĐSD.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{a}+\vec{b}=(2+1;1+1;0+2)=(3;2;2)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{a}-3\vec{b}=(-1;-2;-6)$ nên $|\vec{a}-3\vec{b}|=\sqrt{1+4+36}=\sqrt{41}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{a}\cdot \vec{b}=2+1+0=3\ne -3$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\cos (\vec{a},\vec{b})=\frac{3}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{6}}=\frac{3}{\sqrt{30}}=\frac{\sqrt{30}}{10}$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: nền nhà là hình chữ nhật $O(0;0;0)$, $A(4;0;0)$, $B(4;5;0)$, $C(0;5;0)$; các bức tường cao 3 ($E(0;0;3)$, $G(4;5;3)$). Điểm $F$ là đỉnh trên của bức tường phía trước, nằm trên đường thẳng qua $A$ song song trục $Oz$ với chiều cao bằng chiều cao tường, nên $F(4;0;3)$. Vậy $a+b+c=4+0+3=7$, trùng với đáp án nguồn (mã đề 0102, Phần III câu 3 = 7).

(AI giải đề cho tôi)
Trọng tâm $G=\left(\frac{5+6+a}{3};\frac{-3-2-7}{3};\frac{7+3+b}{3}\right)=(-3;c;5)$. Từ hoành độ: $\frac{11+a}{3}=-3\Rightarrow a=-20$. Từ tung độ: $c=\frac{-12}{3}=-4$. Từ cao độ: $\frac{10+b}{3}=5\Rightarrow b=5$. Vậy $a+b+c=-20-4+5=-19$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Với $\vec{a}=(1;2;-3)$, $\vec{b}=(3;1;5)$: a) $\vec{a}\cdot \vec{b}=1\cdot 3+2\cdot 1+(-3)\cdot 5=3+2-15=-10\ne 10$ nên Sai. b) $\vec{a}+\vec{b}=(1+3;2+1;-3+5)=(4;3;2)$ nên Đúng. c) $2\vec{a}-3\vec{b}=(2-9;4-3;-6-15)=(-7;1;-21)$, khi đó $|2\vec{a}-3\vec{b}|=\sqrt{49+1+441}=\sqrt{491}$ nên Đúng. d) $|\vec{a}|=\sqrt{14}$, $|\vec{b}|=\sqrt{35}$, nên $\cos (\vec{a},\vec{b})=\frac{-10}{\sqrt{14}\sqrt{35}}=\frac{-10}{\sqrt{490}}=-\frac{10}{7\sqrt{10}}=-\frac{\sqrt{10}}{7}$ nên Đúng. Kết quả khớp đáp án chính thức mã đề 0101: a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{a}\cdot \vec{b}=3+2-15=-10\ne 10$ nên Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{a}+\vec{b}=(4;3;2)$ nên Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$2\vec{a}-3\vec{b}=(-7;1;-21)$, $|2\vec{a}-3\vec{b}|=\sqrt{49+1+441}=\sqrt{491}$ nên Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\cos (\vec{a},\vec{b})=\frac{-10}{\sqrt{14}\cdot \sqrt{35}}=-\frac{\sqrt{10}}{7}$ nên Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Trọng tâm $G=\left(\frac{1+3+a}{3};\frac{-3-5-1}{3};\frac{1+4+b}{3}\right)=(2;c;3)$. Từ hoành độ: $\frac{4+a}{3}=2\Rightarrow a=2$. Từ tung độ: $c=\frac{-9}{3}=-3$. Từ cao độ: $\frac{5+b}{3}=3\Rightarrow b=4$. Vậy $a+b+c=2+4-3=3$, khớp với đáp án nguồn.