Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ/tọa độ Oxyz (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc máy bay: trong 10 phút đi từ $A(800;500;7)$ đến $B(940;550;8)$, nên vectơ dịch chuyển mỗi 10 phút là $\overrightarrow{AB}=(140;50;1)$. Trong 5 phút tiếp theo, máy bay đi thêm nửa đoạn đó: $(70;25;0,5)$. Vị trí $C$ của máy bay sau 5 phút nữa: $C=(940+70;550+25;8+0,5)=(1010;575;8,5)$. Khoảng cách từ $C$ đến $O$: $OC=\sqrt{1010^2+575^2+8,5^2}=\sqrt{1020100+330625+72,25}=\sqrt{1350797,25}\approx 1162,24$ km. Làm tròn đến hàng đơn vị: $\boxed{1162}$ km.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $K_{0}M=K_{0}N=K_{0}P=K_{0}Q$ và $K_0$ có cao độ 25, $K_0$ là tâm hình vuông MPNQ (chiếu xuống tâm sân): $K_0(45;60;25)$. Camera hạ thẳng đứng nên $K_1(45;60;19)$. Suy ra $\overrightarrow{K_0{K}_1}=(0;0;-6)$, tức $a=0,b=0,c=-6$. Vậy $P=a+b-c=0+0-(-6)=6$.

(AI giải đề cho tôi)
A(2;2;2), B(-2;2;0), C(4;1;-1). Điểm M(x;0;z) thuộc (Oxz) cách đều A, B, C thì MA²=MB² và MA²=MC².
MA²=(x-2)²+4+(z-2)²; MB²=(x+2)²+4+z²; MC²=(x-4)²+1+(z+1)².
MA²=MB²: -4x-4z+8=4x+4 ⟹ 2x+z=1.
MA²=MC²: -4x-4z+12=-8x+2z+18 ⟹ 2x-3z=3.
Trừ hai phương trình: 4z=-2 ⟹ z=-1/2, suy ra x=3/4. Vậy M(3/4;0;-1/2), kiểm tra: MA²=1/16+4+25/4=33/4... tính lại: (3/4-2)²=25/16, (−1/2−2)²=25/4, cộng 4: 25/16+64/16+100/16=189/16; MB²=(11/4)²+4+1/4=121/16+64/16+4/16=189/16; MC²=(−13/4)²+1+1/4=169/16+16/16+4/16=189/16. Đúng cách đều.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: O(0;0;0), A(a;0;0), B(0;a;0), C(0;0;a). Khi đó M(a/2; a/2; 0), N(0; 0; a/2).
a) MN = N−M = (−a/2; −a/2; a/2), còn ½(OA+BC) = ½((a;0;0)+(0;−a;a)) = (a/2; −a/2; a/2) ≠ MN → Sai.
b) OM=(a/2;a/2;0), CM=(a/2;a/2;−a); OM·CM = a²/2; |OM| = a/√2, |CM| = a√(3/2); cos = (a²/2)/(a²√3/2) = 1/√3 → Đúng.
c) MN·OA = (−a/2)(a) + 0 + 0 = −a²/2 → Đúng.
d) CB+OA = (0;a;−a)+(a;0;0) = (a;a;−a), độ dài = a√3 ≠ a√2 → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
MN = (−a/2; −a/2; a/2) còn ½(OA+BC) = (a/2; −a/2; a/2), hai vectơ khác nhau nên khẳng định sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
OM·CM = a²/2, |OM| = a/√2, |CM| = a√(3/2), nên cos = 1/√3, đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
MN·OA = (−a/2)·a = −a²/2, đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
CB+OA = (a; a; −a) có độ dài a√3 ≠ a√2, sai.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ vectơ cơ sở $\vec{a}=\overrightarrow{AB},\vec{b}=\overrightarrow{AD},\vec{c}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$.

a) Theo tính chất ba điểm: $\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GB}=\overrightarrow{AB}$ luôn đúng với mọi vị trí của $G$. → Đúng.

b) $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{D^{\prime }{A}^{\prime }}+\overrightarrow{C^{\prime }{A}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A^{\prime }{D}^{\prime }}+\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}$. Vì $\overrightarrow{A^{\prime }{D}^{\prime }}=\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$, tổng bằng $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=2(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})=2\overrightarrow{AC}\ne \vec{0}$. → Sai.

c) $G$ là trọng tâm tam giác $BD{A}^{\prime }$ nên $\overrightarrow{AG}=\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}}{3}$, suy ra $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=3\overrightarrow{AG}\ne 4\overrightarrow{AG}$. → Sai.

d) $G^{\prime }$ là trọng tâm tam giác $C{B}^{\prime }{D}^{\prime }$ nên $\overrightarrow{B^{\prime }{G}^{\prime }}=\frac{\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}+\overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}}{3}$. Ta có $\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}=\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$. Vậy $\overrightarrow{B^{\prime }{G}^{\prime }}=\frac{2\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}}{3}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}+0\cdot \overrightarrow{A{A}^{\prime }}$, tức $m=-\frac{1}{3},n=\frac{2}{3},k=0$, nên $m+n+k=\frac{1}{3}\ne 1$. → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất ba điểm, $\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GB}=\overrightarrow{AB}$ luôn đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{D^{\prime }{A}^{\prime }}+\overrightarrow{C^{\prime }{A}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})=2\overrightarrow{AC}\ne \vec{0}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì $G$ là trọng tâm tam giác $BD{A}^{\prime }$ nên $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=3\overrightarrow{AG}$, không phải $4\overrightarrow{AG}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{B^{\prime }{G}^{\prime }}=\frac{\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}+\overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}}{3}=\frac{\overrightarrow{AD}+(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB})}{3}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}$, nên $m+n+k=\frac{1}{3}\ne 1$.

(AI giải đề cho tôi)
Hệ trục: $B$ trên $Ox$, $C$ trên $Oy$ (theo hình vẽ). Vì $AB=3\sqrt{2}$ nên nửa đường chéo đáy $=\frac{AB\sqrt{2}}{2}=3$, do đó $B(3;0;0)$, $C(0;3;0)$, $A(-3;0;0)$, $D(0;-3;0)$.
Chiều cao: $S{A}^2=O{A}^2+S{O}^2\Rightarrow 18=9+S{O}^2\Rightarrow SO=3$, tức $S(0;0;3)$.
Trọng tâm $G$ của tam giác $SAB$: $G=\left(\frac{0-3+3}{3};\frac{0+0+0}{3};\frac{3+0+0}{3}\right)=(0;0;1)$.

a) $K(0;m;n)\in (Oyz)$. Lấy $B^{\prime }$ đối xứng với $B$ qua $(Oyz)$: $B^{\prime }=A(-3;0;0)$. Khi đó $KG+KB=KG+KA\ge GA$, dấu bằng khi $K$ là giao điểm của $GA$ với $(Oyz)$. Vì $G(0;0;1)$ đã thuộc $(Oyz)$ nên $K\equiv G=(0;0;1)$, tức $m=0,n=1\Rightarrow m^2+n^2=1\ne \frac{9}{8}$. → Sai.

b) $C(0;3;0)\ne (0;6;0)$. → Sai.

c) $O$ là tâm hình vuông $ABCD$ nên $O$ là trung điểm mỗi đường chéo, do đó $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\vec{0}$ (tọa độ: $(-3+3+0+0;0+0+3-3;0)=\vec{0}$). → Đúng.

d) $BG=\sqrt{(3-0{)}^2+0^2+(0-1{)}^2}=\sqrt{10}\ne 6\sqrt{2}$. → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
G(0;0;1) thuộc (Oyz), B' đối xứng B qua (Oyz) là A(-3;0;0). KG+KB=KG+KA nhỏ nhất bằng GA khi K=G, khi đó m²+n²=0²+1²=1≠9/8.
b) (AI giải đề cho tôi)
Nửa đường chéo đáy bằng 3 nên C(0;3;0), không phải (0;6;0).
c) (AI giải đề cho tôi)
O là tâm hình vuông ABCD nên tổng bốn vectơ OA, OB, OC, OD bằng vectơ không.
d) (AI giải đề cho tôi)
G(0;0;1), B(3;0;0) nên BG=√(9+1)=√10 ≠ 6√2.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ tọa độ: $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $C(a;b;0)$, $D(0;b;0)$, $D^{\prime }(0;b;c)$. Khi đó $\overrightarrow{B{D}^{\prime }}=(-a;b;c)$ nên $B{D}^{\prime }=\sqrt{a^2+b^2+c^2}=6$.

Điểm $M$ trên $AC$: $M=(ta;tb;0)$. Điểm $N$ trên $D{C}^{\prime }$: $N=(sa;b(1-s);sc)$.

$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OM}=(a(s-t);b(1-s-t);sc)$.

Vì $MN\parallel B{D}^{\prime }$ nên tồn tại $\lambda$ sao cho:
$$a(s-t)=-\lambda a,b(1-s-t)=\lambda b,sc=\lambda c$$
Suy ra $s=\lambda$, $s-t=-\lambda \Rightarrow t=2\lambda$, và $1-s-t=\lambda \Rightarrow 1-3\lambda =\lambda \Rightarrow \lambda =\frac{1}{4}$.

Vậy $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{4}\overrightarrow{B{D}^{\prime }}$, do đó $MN=\frac{1}{4}B{D}^{\prime }=\frac{1}{4}\cdot 6=1,5$ cm.

(AI giải đề cho tôi)
Lăng trụ đứng $OAB.O^{\prime }{A}^{\prime }{B}^{\prime }$ có cạnh bên song song trục $Oy$: $O^{\prime }=(0;450;0)$, nên $A=(240;0;0)$, $B=(120;0;300)$. Chiều dài $a=O{O}^{\prime }=450$ cm; chiều rộng $b=OA=240$ cm; cạnh bên mặt tiền $c=OB=\sqrt{120^2+300^2}=\sqrt{104400}\approx 323,11$ cm. Vậy $a+b+c\approx 450+240+323,11=1013,11\approx 1013$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $OA=\sqrt{1+4+4}=3$, $OB=\sqrt{\frac{64+16+64}{9}}=\frac{12}{3}=4$, $AB=\sqrt{{\left(\frac{5}{3}\right)}^2+{\left(-\frac{2}{3}\right)}^2+{\left(\frac{14}{3}\right)}^2}=\frac{\sqrt{225}}{3}=5$. Vì $3^2+4^2=5^2$ nên tam giác $OAB$ vuông tại $O$. Tâm đường tròn nội tiếp là trọng tâm có trọng số độ dài cạnh đối diện: $I=\frac{OB\cdot A+OA\cdot B+AB\cdot O}{OA+OB+AB}=\frac{4A+3B+5O}{12}$. Tính: $4A=(4;8;-8)$, $3B=(8;4;8)$, tổng $(12;12;0)$, chia 12 được $I(1;1;0)$. Vậy $a-b+c=1-1+0=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Tính $BA=\sqrt{(2-1{)}^2+(-1-2{)}^2+(3+1{)}^2}=\sqrt{26}$, $BC=\sqrt{(-4-2{)}^2+(7+1{)}^2+(5-3{)}^2}=\sqrt{104}=2\sqrt{26}$. Theo tính chất đường phân giác trong, $\frac{AD}{DC}=\frac{BA}{BC}=\frac{1}{2}$, nên $\vec{D}=\frac{2\vec{A}+\vec{C}}{3}=\left(\frac{2-4}{3};\frac{4+7}{3};\frac{-2+5}{3}\right)=\left(-\frac{2}{3};\frac{11}{3};1\right)$. Vậy $a+b+2c=-\frac{2}{3}+\frac{11}{3}+2=3+2=5$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì hình thang vuông tại A và B nên $\overrightarrow{AD}\perp \overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}\perp \overrightarrow{AB}$, suy ra $\overrightarrow{AD}$ cùng phương với $\overrightarrow{BC}$. Ta có $\overrightarrow{AB}=(1;-2;-2)$, $\overrightarrow{BC}=(4;1;1)$, kiểm tra $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=4-2-2=0$ ✓, $|\overrightarrow{AB}|=3$, $|\overrightarrow{BC}|=3\sqrt{2}$. Gọi $\overrightarrow{AD}=t\overrightarrow{BC}=(4t;t;t)$, khi đó $D(1+4t;2+t;1+t)$ và $AD=3\sqrt{2}t$ (lấy $t>0$). Diện tích hình thang với hai đáy $AD,BC$ và chiều cao $AB$: $S=\frac{AD+BC}{2}\cdot AB=\frac{3\sqrt{2}(t+1)}{2}\cdot 3=\frac{9\sqrt{2}(t+1)}{2}=6\sqrt{2}$, suy ra $t+1=\frac{4}{3}\Rightarrow t=\frac{1}{3}$. Khi đó $D=\left(\frac{7}{3};\frac{7}{3};\frac{4}{3}\right)$ (kiểm tra $\overrightarrow{CD}=\left(\frac{11}{3};-\frac{4}{3};-\frac{4}{3}\right)$ không song song $\overrightarrow{AB}$, thỏa mãn hình thang). Vậy $a+b+c=\frac{7}{3}+\frac{7}{3}+\frac{4}{3}=6$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo hình vẽ, ba lực $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{F_3}$ hướng dọc theo ba chân giá đỡ từ $S$ xuống các điểm chạm đất, tức là cùng hướng với các vectơ $\overrightarrow{SA}=(0;-6;-20)$, $\overrightarrow{SB}=(3\sqrt{3};3;-20)$, $\overrightarrow{SC}=(-3\sqrt{3};3;-20)$. Cả ba vectơ này đều có độ dài $\sqrt{0+36+400}=\sqrt{436}=2\sqrt{109}$. Vì ba lực có độ lớn bằng nhau nên $\overrightarrow{F_1}=k\overrightarrow{SA}$, $\overrightarrow{F_2}=k\overrightarrow{SB}$, $\overrightarrow{F_3}=k\overrightarrow{SC}$ với cùng hệ số $k>0$. Hệ ba lực cân bằng với trọng lực $(0;0;-2)$ (N): $k(0;-6;-20)+k(3\sqrt{3};3;-20)+k(-3\sqrt{3};3;-20)=k(0;0;-60)=(0;0;-2)$, suy ra $k=\frac{1}{30}$. Vậy $\overrightarrow{F_1}=\left(0;-\frac{1}{5};-\frac{2}{3}\right)$, tức $a=0$, $b=-\frac{1}{5}$, $c=-\frac{2}{3}$. Do đó $T=3a+5b+6c=0-1-4=-5$.

(AI giải đề cho tôi)
Cạnh hình lập phương: $A^{\prime }{C}^{\prime }$ là đường chéo mặt nên $a\sqrt{2}=5\sqrt{2}a\Rightarrow$ cạnh bằng $5a$. Chọn hệ trục $A(0,0,0),B(5,0,0),C(5,5,0),D(0,5,0),A^{\prime }(0,0,5),B^{\prime }(5,0,5),C^{\prime }(5,5,5),D^{\prime }(0,5,5)$.
a) Sai. Các vecto cùng phương ngược hướng với $\overrightarrow{C^{\prime }{D}^{\prime }}$ (hướng từ $C^{\prime }$ đến $D^{\prime }$) là $\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }},\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }},\overrightarrow{AB}$, tức có 3 vecto chứ không phải 1.
b) Sai. $\overrightarrow{D{A}^{\prime }}=(0,-5,5)$, $\overrightarrow{C^{\prime }D}=(-5,0,-5)$, tích vô hướng $=-25\ne 0$, nên góc khác $90^{\circ }$ (cos $=-\frac{1}{2}$, góc giữa hai đường thẳng bằng $60^{\circ }$).
c) Đúng. $\overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}=(-5,5,-5)$, $\overrightarrow{B^{\prime }{A}^{\prime }}=(-5,0,0)$, tích vô hướng $=25=25a^2$.
d) Sai. $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$, độ dài $=5a\sqrt{3}\ne 5\sqrt{6}a$.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Các vecto ngược hướng với $\overrightarrow{C^{\prime }{D}^{\prime }}$ là $\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }},\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }},\overrightarrow{AB}$: có 3 vecto, không phải 1.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{D{A}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{C^{\prime }D}=-25\ne 0$ nên góc khác $90^{\circ }$ (bằng $60^{\circ }$ giữa hai đường thẳng).
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{B^{\prime }{A}^{\prime }}=(-5)(-5)=25=25a^2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Tổng ba vecto bằng $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ có độ dài $5\sqrt{3}a\ne 5\sqrt{6}a$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục toạ độ gốc $O$ với $A(2,0,0)$, $B(0,2,0)$, $C(0,0,2)$.
a) $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $\overrightarrow{OG}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})$ → đúng.
b) $O{G}^2=\frac{1}{9}(O{A}^2+O{B}^2+O{C}^2)=\frac{12}{9}=\frac{4}{3}$ nên $OG=\frac{2\sqrt{3}}{3}$ m → đúng.
c) $AB=\sqrt{O{A}^2+O{B}^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$, tương tự $BC=CA=2\sqrt{2}$ → tam giác đều cạnh $2\sqrt{2}$ m, đúng.
d) $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=0-0=0\ne 4$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
G là trọng tâm tam giác ABC nên $\overrightarrow{OG}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})$, đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$O{G}^2=\frac{1}{9}(4+4+4)=\frac{4}{3}$, suy ra $OG=\frac{2\sqrt{3}}{3}$ m, đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$AB=\sqrt{O{A}^2+O{B}^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$; tương tự $BC=CA=2\sqrt{2}$, tam giác đều cạnh $2\sqrt{2}$ m, đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=0-0=0\ne 4$, sai.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục với $A(0;0;0)$, $B(1;0;0)$, $C(1;1;0)$, $A^{\prime }(0;0;1)$, $D^{\prime }(0;1;1)$, $C^{\prime }(1;1;1)$. Khi đó $M$ trung điểm $A^{\prime }{D}^{\prime }$ là $(0;0,5;1)$, $N$ trung điểm $C^{\prime }{D}^{\prime }$ là $(0,5;1;1)$, nên $\overrightarrow{MN}=(0,5;0,5;0)$ cùng phương với $\overrightarrow{AC}=(1;1;0)$. Ta có $\overrightarrow{A^{\prime }B}=(1;0;-1)$. Tích vô hướng: $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{A^{\prime }B}=1+0+0=1$; độ dài $|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{2}$, $|\overrightarrow{A^{\prime }B}|=\sqrt{2}$. Vậy $\cos \phi =\frac{1}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}=\frac{1}{2}\Rightarrow \phi =60^{\circ }$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $C(a;a;0)$, $D(0;a;0)$, $A^{\prime }(0;0;a)$, $B^{\prime }(a;0;a)$, $C^{\prime }(a;a;a)$, $D^{\prime }(0;a;a)$.

a) $\overrightarrow{AB}=(a;0;0)$, $\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}=(0;a;0)$, $\overrightarrow{CD}=(-a;0;0)$, $\overrightarrow{D^{\prime }{A}^{\prime }}=(0;-a;0)$. Tổng $2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{D^{\prime }{A}^{\prime }}=(2a-a;a-a;0)=(a;0;0)\ne \vec{0}$. → Sai.

b) $\overrightarrow{A{D}^{\prime }}=(0;a;a)$, $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}=(a;0;a)$, tích vô hướng $=0+0+a^2=a^2$. → Đúng.

c) $\overrightarrow{C{D}^{\prime }}=(0;-a;a)$, $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{C{D}^{\prime }}=0+0+a^2=a^2\ne 0$. → Sai.

d) $M$ trung điểm $AD$: $M(0;\frac{a}{2};0)$; $N$ trung điểm $B{B}^{\prime }$: $N(a;0;\frac{a}{2})$. Suy ra $\overrightarrow{MN}=(a;-\frac{a}{2};\frac{a}{2})$, $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=(a;a;a)$. Tích vô hướng $=a^2-\frac{a^2}{2}+\frac{a^2}{2}=a^2$. Độ dài: $|\overrightarrow{MN}|=a\sqrt{1+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}}=a\sqrt{\frac{3}{2}}$, $|\overrightarrow{A{C}^{\prime }}|=a\sqrt{3}$. Vậy $\cos =\frac{a^2}{a^2\sqrt{\frac{3}{2}}\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{9}{2}}}=\frac{\sqrt{2}}{3}\ne \frac{\sqrt{3}}{3}$. → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tổng các vectơ bằng $(a;0;0)\ne \vec{0}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{A{D}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{A{B}^{\prime }}=a^2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{A{B}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{C{D}^{\prime }}=a^2\ne 0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Cosin góc bằng $\frac{\sqrt{2}}{3}$, không phải $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
a) $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DC}$ và $\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CD}$, nên $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CD}=\vec{0}$. Vậy đẳng thức đúng.
b) Với $M$ trung điểm $AB$, $N$ trung điểm $CD$: $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD})$. Theo câu a, $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}$, nên $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC})$. Đúng.
c) $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}=2(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD})=2\cdot 2\overrightarrow{MN}=4\overrightarrow{MN}=-4\overrightarrow{NM}$. Đúng.
d) $\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=2\overrightarrow{MN}$ (quy về trung điểm $N$ của $CD$), nên $\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}-4\overrightarrow{MN}=-2\overrightarrow{MN}\ne \vec{0}$. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hiệu hai vế bằng $\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CD}=\vec{0}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC})$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tổng bằng $2(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD})=4\overrightarrow{MN}=-4\overrightarrow{NM}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=2\overrightarrow{MN}$ nên biểu thức bằng $-2\overrightarrow{MN}\ne \vec{0}$.