Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ/tọa độ Oxyz (Toán học Lớp 12)

Đáp số: 1175

Giải

Trong hệ trục $Oxyz$ sao cho điểm $D$ thuộc tia $Oz$, mỗi đơn vị trên hệ trục ứng với 1 mét:

$D(0;0;30),C(-20;0;0),B(20;30;0),A(0;-20;0)$

$\overrightarrow{DC}=(-20;0;-30),\overrightarrow{DB}=(20;30;-30),\overrightarrow{DA}=(0;-20;-30)$

$DC=\sqrt{1300},DB=\sqrt{2200};DA=\sqrt{1300}$

$\overrightarrow{F_1}=\frac{a}{DA}\overrightarrow{DA}=\frac{a}{\sqrt{1300}}\overrightarrow{DA}\Rightarrow \overrightarrow{F_1}=\left(0;\frac{-20a}{\sqrt{1300}};\frac{-30a}{\sqrt{1300}}\right)$

$\overrightarrow{F_2}=\frac{b}{DB}\overrightarrow{DB}=\frac{b}{\sqrt{2200}}\overrightarrow{DB}\Rightarrow \overrightarrow{F_2}=\left(\frac{20b}{\sqrt{2200}};\frac{30b}{\sqrt{2200}};\frac{-30b}{\sqrt{2200}}\right)$

$\overrightarrow{F_3}=\frac{c}{DC}\overrightarrow{DC}=\frac{c}{\sqrt{1300}}\overrightarrow{DC}\Rightarrow \overrightarrow{F_3}=\left(\frac{-20c}{\sqrt{1300}};0;\frac{-30c}{\sqrt{1300}}\right)$

$\overrightarrow{F}=(0;0;900)$

Khinh khí cầu được giữ cố định nên:

$$\vec{F}+\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}=\vec{0}$$

$$\vec{F}=-\overrightarrow{F_1}-\overrightarrow{F_2}-\overrightarrow{F_3}$$

$$\{\begin{array}{l}-\frac{20b}{\sqrt{2200}}+\frac{20c}{\sqrt{1300}}=0\\ \frac{20a}{\sqrt{1300}}-\frac{30b}{\sqrt{2200}}=0\\ \frac{30a}{\sqrt{1300}}+\frac{30b}{\sqrt{2200}}+\frac{30c}{\sqrt{1300}}=900\end{array}$$

$a\approx 463,57;b\approx 402,04;c\approx 309,05$.

Ta có: $\overrightarrow{OA}=(2;2;1)$, $\overrightarrow{OB}=\left(-\frac{8}{3};\frac{4}{3};\frac{8}{3}\right)$. Suy ra $OA=3$, $OB=4$. (0,25 điểm)

Theo tính chất của phân giác trong ta có:

$$\frac{DA}{DB}=\frac{OA}{OB}=\frac{3}{4}\Rightarrow \overrightarrow{DA}=-\frac{3}{4}\overrightarrow{DB}\Rightarrow D=\left(0;\frac{12}{7};\frac{12}{7}\right).$$

(0,25 điểm)

Ta có $\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=-\frac{16}{3}+\frac{8}{3}+\frac{8}{3}=0\Rightarrow \overrightarrow{OA}\perp \overrightarrow{OB}$.

Suy ra $AB=\sqrt{O{A}^2+O{B}^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$.

Tam giác $OAB$ vuông tại $O$ nên có bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $R=\frac{1}{2}AB=\frac{5}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ tọa độ: $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $D(0;a;0)$, $E(0;0;a)$, $G(a;a;a)$. Khi đó $\overrightarrow{EG}=(a;a;0)$, $\overrightarrow{AB}=(a;0;0)$. Suy ra $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{EG}=a\cdot a+0+0=a^2$. Vậy đáp án C, trùng với đáp án nguồn (Câu 4, mã đề 1201: C).

(AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng: $\vec{u}.\vec{v}=(-1)(-3)+3(-1)+2(2)=3-3+4=4$. Đáp án khớp với key C.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.EFGH$ ta có $\overrightarrow{EG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$ (vì $EFGH$ là hình bình hành với $E$ tương ứng $A$, $F$ tương ứng $B$, $H$ tương ứng $D$).

Tính các vecto:
$$\overrightarrow{AB}=B-A=(0-(-3);2-0;0-0)=(3;2;0),$$
$$\overrightarrow{AD}=D-A=(0-(-3);0-0;1-0)=(3;0;1).$$

Suy ra $\overrightarrow{EG}=(3+3;2+0;0+1)=(6;2;1)$.

Do đó:
$$G=E+\overrightarrow{EG}=(1+6;2+2;3+1)=(7;4;4).$$

Vậy $G(7;4;4)$, tương ứng phương án B. Kết quả này trùng với đáp án nguồn (Câu 8, mã đề 1201: B).

(AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu vuông góc của điểm $M(5;-1;3)$ trên mặt phẳng $(Oyz)$ là điểm có hoành độ $x=0$, giữ nguyên hai tọa độ còn lại: $H(0;-1;3)$. Vậy đáp án A, trùng với đáp án nguồn (Câu 9, mã đề 1201: A).

(AI giải đề cho tôi)
Hai vectơ vuông góc khi tích vô hướng bằng 0: $\vec{a}\cdot \vec{b}=3\cdot 4+1\cdot m+1\cdot (-2)=12+m-2=m+10=0\Rightarrow m=-10$. Vậy chọn đáp án B, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 122, câu 10: B).

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: $\overrightarrow{AB}=B-A=(3;0;0)$. b) Đúng: $A^{\prime }$ có cùng tọa độ với $A$ theo $Ox,Oy$ và cao bằng $D{D}^{\prime }=5$ nên $A^{\prime }(0;0;5)$. c) Sai: $M$ trung điểm $D{D}^{\prime }$ với $D(0;4;0)$, $D^{\prime }(0;4;5)$ nên $M(0;4;\frac{5}{2})$, không phải $(0;4;5)$. d) Đúng: $C^{\prime }(3;4;5)$. Lấy $A^{\prime \prime }$ đối xứng $A^{\prime }(0;0;5)$ qua mặt $(Oxy)$ thì $A^{\prime \prime }(0;0;-5)$. Khi đó $\min (A^{\prime }N+N{C}^{\prime })=A^{\prime \prime }{C}^{\prime }=\sqrt{(3-0{)}^2+(4-0{)}^2+(5+5{)}^2}=\sqrt{125}=5\sqrt{5}$. Khớp với đáp án nguồn (D, D, S, D).
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=B-A=(3-0;0-0;0-0)=(3;0;0)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp chữ nhật, $A{A}^{\prime }=D{D}^{\prime }=5$ và $A^{\prime }$ nằm trên trục $Oz$ nên $A^{\prime }(0;0;5)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$M$ trung điểm $D{D}^{\prime }$: $M\left(\frac{0+0}{2};\frac{4+4}{2};\frac{0+5}{2}\right)=(0;4;2,5)\ne (0;4;5)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$C^{\prime }(3;4;5)$. Lấy $A^{\prime \prime }(0;0;-5)$ đối xứng $A^{\prime }$ qua $(Oxy)$, khi đó $A^{\prime }N+N{C}^{\prime }=A^{\prime \prime }N+N{C}^{\prime }\ge A^{\prime \prime }{C}^{\prime }=\sqrt{9+16+100}=\sqrt{125}=5\sqrt{5}$, dấu bằng khi $N$ là giao của $A^{\prime \prime }{C}^{\prime }$ với $(Oxy)$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cạnh $a$ (đáy trên $ABCD$, đáy dưới $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$).
a) Đúng: $\overrightarrow{D{C}^{\prime }}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}$ mà $\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{D{D}^{\prime }}$ nên $\overrightarrow{D{C}^{\prime }}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{D{D}^{\prime }}$ (quy tắc hình bình hành trên mặt phẳng $(DC{C}^{\prime }{D}^{\prime })$).
b) Đúng: $\overrightarrow{C^{\prime }{D}^{\prime }}=\overrightarrow{BA}$ (hai vecto cùng hướng, bằng nhau) nên $|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{C^{\prime }{D}^{\prime }}|=a$.
c) Sai: Theo quy tắc hình hộp, $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ (vecto đường chéo hình hộp xuất phát từ $A$), không phải $\overrightarrow{C^{\prime }A}$ (ngược hướng).
d) Sai: $AD\perp C{C}^{\prime }$ (nằm trong hai mặt phẳng song song, vuông góc với phương cạnh bên) nên $\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{C{C}^{\prime }}=0\ne a^2$.
Kết quả khớp với đáp án nguồn (Phần II Câu 3, Mã đề 122: D, D, S, S).
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{D{C}^{\prime }}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{D{D}^{\prime }}$ theo quy tắc hình bình hành.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{C^{\prime }{D}^{\prime }}=\overrightarrow{BA}$ nên hai vecto có cùng độ dài $a$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Tổng $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$, không phải $\overrightarrow{C^{\prime }A}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AD}\perp \overrightarrow{C{C}^{\prime }}$ nên tích vô hướng bằng $0$, không phải $a^2$.

(AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng: $\vec{a}.\vec{b}=1.(-2)+(-2).1+3.2=-2-2+6=2$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (2).

(AI giải đề cho tôi)
Hợp lực của $\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_2}$: $|\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}{|}^2=15^2+15^2+2\cdot 15\cdot 15\cos 135^{\circ }=450-\frac{450}{\sqrt{2}}\approx 131,802$. Vì $\overrightarrow{F_3}$ vuông góc với mặt phẳng $(\alpha )$ nên vuông góc với $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}$, do đó $|\vec{F}{|}^2=131,802+10^2=231,802$, suy ra $|\vec{F}|\approx 15,2$ N. Kết quả khớp với đáp án nguồn 15,2.

Gọi $G(x,y,z)$. $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ nên $G\left(\frac{-1+2-1}{3};\frac{0+1+2}{3};\frac{2+4+0}{3}\right)$. Vậy $G(0;1;2)$. (0,25 điểm + 0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Tứ diện đều $ABCD$ cạnh $2a$ nên tam giác $ABC$ đều cạnh $2a$, góc $\widehat{BAC}=60^{\circ }$. Do đó $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=|AB|\cdot |AC|\cos 60^{\circ }=2a\cdot 2a\cdot \frac{1}{2}=2a^2$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: C.

(AI giải đề cho tôi)
Theo quy tắc ba điểm: $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}$. Đáp án khớp với bảng đáp án mã đề 122 (câu 7 là C).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\overrightarrow{OA}=-2\vec{i}-\vec{j}-3\vec{k}$ nên tọa độ điểm $A$ chính là tọa độ vectơ $\overrightarrow{OA}$, tức $A(-2;-1;-3)$. Đáp án D, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 122, câu 8: D).

(AI giải đề cho tôi)
Tọa độ vectơ $\overrightarrow{AB}=B-A=(2-(-1);1-0;4-2)=(3;1;2)$. Vậy đáp án B, khớp với bảng đáp án mã đề (câu 9 là B).

(AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng: $\vec{a}\cdot \vec{b}=1\cdot 2+(-2)\cdot (-1)+(-3)\cdot (-2)=2+2+6=10$. Vậy đáp án D, khớp với đáp án nguồn (Mã đề 121, câu 10: D).

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2 (Phần II), mã đề 121: $M(-2;1;4)$. a) $P$ là hình chiếu của $M$ trên $(Oxy)$ nên $P(-2;1;0)$ — Đúng. b) $Q$ là hình chiếu của $M$ trên trục $Oz$ nên $Q(0;0;4)$ — Đúng. c) Hình bình hành $MNPQ$ có $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{QP}=\overrightarrow{P}-\overrightarrow{Q}=(-2;1;-4)$, còn $\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{Q}-\overrightarrow{P}=(2;-1;4)=-\overrightarrow{MN}\ne \overrightarrow{MN}$ — Sai. d) $\overrightarrow{MN}=(-2;1;-4)\Rightarrow N=M+(-2;1;-4)=(-4;2;0)$ — Đúng. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Đ, Đ, S, Đ).
a) (AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu vuông góc của $M(-2;1;4)$ trên mặt phẳng $(Oxy)$ giữ nguyên hoành độ và tung độ, có cao độ bằng 0: $P(-2;1;0)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu vuông góc của $M(-2;1;4)$ trên trục $Oz$ là $Q(0;0;4)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trong hình bình hành $MNPQ$ có $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{QP}=(-2;1;-4)$, trong khi $\overrightarrow{PQ}=(2;-1;4)=-\overrightarrow{MN}$, nên $\overrightarrow{PQ}\ne \overrightarrow{MN}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{QP}=(-2;1;-4)$ nên $N=M+\overrightarrow{MN}=(-2-2;1+1;4-4)=(-4;2;0)$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: $O(0;0;0)$, $A\in Ox$ với $OA=3$ nên $A(3;0;0)$; $B\in Oy$ với $OB=2$ nên $B(0;2;0)$; $C$ là đỉnh trên cùng phía trên $B$ nên $C(0;2;2,5)$; $E(3;2;2,5)$.

a) $A\in Ox$ nên tọa độ $A$ phải là $(3;0;0)$, không phải $(3;2;0)$ → Sai.

b) $\overrightarrow{AB}=B-A=(0-3;2-0;0-0)=(-3;2;0)$ → Đúng.

c) $B{C}^2=(2,5{)}^2=6,25$; $A{C}^2=3^2+2^2+(2,5{)}^2=9+4+6,25=19,25$. Vậy $B{C}^2-A{C}^2=6,25-19,25=-13\ne 5$ → Sai.

d) $E$ là đỉnh trên của hộp, có $x=3$, $y=2$, $z=2,5$ nên $E(3;2;2,5)$ → Đúng.

Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$A\in Ox$ nên $A(3;0;0)$, không phải $(3;2;0)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=B-A=(-3;2;0)$ với $A(3;0;0)$, $B(0;2;0)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$C(0;2;2,5)$: $B{C}^2=6,25$, $A{C}^2=19,25$, nên $B{C}^2-A{C}^2=-13\ne 5$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đỉnh trên của hộp: $E(3;2;2,5)$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức tích vô hướng: $\vec{u}\cdot \vec{v}=|\vec{u}||\vec{v}|\cos (\vec{u},\vec{v})=2\cdot 3\cdot \frac{1}{2}=3$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Phần III Câu 1, Mã đề 121: 3).